小学五年级奥数教材：带余数的除法教案.doc

小学五年级奥数教材：带余数的除法前面我们讲到除法中被除数和除数的整除问题.除此之外，例如：163=51，即16=53+1.此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法。 一般地，如果a是整数，b是整数（b0），那么一定有另外两个整数q和r，0rb，使得a=bq+r。 当r=0时，我们称a能被b整除。 当r0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）.用带余除式又可以表示为ab=qr，0rb。 例1 一个两位数去除251，得到的余数是41.求这个两位数。 分析 这是一道带余除法题，且要求的数是大于41的两位数.解题可从带余除式入手分析。 解：被除数除数=商余数， 即被除数=除数商+余数， 251=除数商+41， 251-41=除数商， 210=除数商。 210=2357， 210的两位数的约数有10、14、15、21、30、35、42、70，其中42和70大于余数41.所以除数是42或70.即要求的两位数是42或70。 例2 用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16.被除数、除数、商数与余数的和是933，求被除数和除数各是多少？ 解：被除数=除数商+余数， 即被除数=除数40+16。 由题意可知：被除数+除数=933-40-16=877， （除数40+16）+除数=877， 除数41=877-16， 除数=86141， 除数=21， 被除数=2140+16=856。 答：被除数是856，除数是21。 例3 某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几？ 解：十月份共有31天，每周共有7天， 31=74+3， 根据题意可知：有5天的星期数必然是星期四、星期五和星期六。 这年的10月1日是星期四。 例4 3月18日是星期日，从3月17日作为第一天开始往回数（即3月16日（第二天），15日（第三天），）的第1993天是星期几？ 解：每周有7天，19937=284（周）5（天）， 从星期日往回数5天是星期二，所以第1993天必是星期二. 例5 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数。 这是一道古算题.它早在孙子算经中记有：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？” 关于这道题的解法，在明朝就流传着一首解题之歌：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知.”意思是，用除以3的余数乘以70，用除以5的余数乘以21，用除以7的余数乘以15，再把三个乘积相加.如果这三个数的和大于105，那么就减去105，直至小于105为止.这样就可以得到满足条件的解.其解法如下： 方法1：270+321+215=233 233-1052=23 符合条件的最小自然数是23。例5 的解答方法不仅就这一种，还可以这样解： 方法2：3，7+2=23 23除以5恰好余3。 所以，符合条件的最小自然数是23。 方法2的思路是什么呢？让我们再来看下面两道例题。 例6 一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小的自然数。 分析 “除以5余3”即“加2后被5整除”，同样“除以6余4”即“加2后被6整除”。 解：5，6-2=28，即28适合前两个条件。 想：28+5，6？之后能满足“7除余1”的条件？ 28+5，64=148，148=217+1， 又148210=5，6，7 所以，适合条件的最小的自然数是148。 例7 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，求符合条件的最小自然数。 解：想：2+3？之后能满足“5除余3”的条件？ 2+32=8。 再想：8+3，5？之后能满足“7除余4”的条件？ 8+3，53=53。 符合条件的最小的自然数是53。 归纳以上两例题的解法为：逐步满足条件法.当找到满足某个条件的数后，为了再满足另一个条件，需做数的调整，调整时注意要加上已满足条件中除数的倍数。 解这类题目还有其他方法，将会在有关“同余”部分讲到。 例8 一个布袋中装有小球若干个.如果每次取3个，最后剩1个；如果每次取5个或7个，最后都剩2个.布袋中至少有小球多少个？ 解：2+5，71=37（个） 37除以3余1，除以5余2，除以7余2， 布袋中至少有小球37个。 例9 69、90和125被某个正整数N除时，余数相同，试求N的最大值。 分析 在解答此题之前，我们先来看下面的例子： 15除以2余1，19除以2余1， 即15和19被2除余数相同（余数都是1）。 但是19-15能被2整除. 由此我们可以得到这样的结论：如果两个整数a和b，均被自然数m除，余数相同，那么这两个整数之差（大-小）一定能被m整除。 反之，如果两个整数之差恰被m整除，那么这两个整数被m除的余数一定相同。 例9可做如下解