2002年-2011年浙江省高考数学试题(理)分类解析汇编-直线与圆、圆锥曲线.doc

2002年-2011年浙江省高考数学试题（理）分类解析汇编专题8：直线与圆、圆锥曲线锦元数学工作室 编辑一、选择题1. （全国2002年理5分）点到曲线（其中参数）上的点的最短距离为【 】（A）0（B）1（C）（D）2【答案】B。【考点】参数方程，两点间距离公式的应用。【分析】直接求距离的表达式，然后求最值：点P（1，0）到曲线（其中参数）上的点的距离为：。，点到曲线上的点的最短距离为1。故选B。2.（全国2003年理5分）圆锥曲线的准线方程是【 】 （A） （B） （C） （D）【答案】C。【考点】点的极坐标和直角坐标的互化，圆锥曲线的性质。【分析】由极坐标与直角坐标系的关系，可化为，则则准线方程为。故选C。3.（全国2003年理5分）已知圆C：（）及直线：，当直线被C截得的弦长为时，则【 】 （A） （B） （C） （D）【答案】C。【考点】直线与圆的位置关系。【分析】弦心距、半径、半弦长满足勾股定理，半径是2，半弦长是，则弦心距是1，用点到直线的距离可以求解：圆C：的圆心（，2），半径是2，半弦长是，则弦心距是1。圆心到直线的距离：。，。故选C。4.（全国2003年理5分）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是【 】 A B C D【答案】D。【考点】双曲线的标准方程。【分析】设双曲线方程为，将代入并整理得。由韦达定理得。MN中点的横坐标为，。又双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），。联立，解得=2，=5。双曲线的方程是。故选D。5.（浙江2004年理5分）曲线关于直线=2对称的曲线方程是【 】(A) (B) (C) (D) 【答案】C。【考点】函数的图象与图象变化。【分析】设曲线关于直线=2对称的曲线为C，在曲线C上任取一点P（，），则P（，）关于直线=2的对称点为Q（4，）。Q（4，）在曲线上，即。故选C。6.（浙江2004年理5分）若椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线的焦点分成5：3两段，则此椭圆的离心率为【 】(A) （B） （C） （D）【答案】D。【考点】椭圆的定义和性质，抛物线的性质。【分析】先求出抛物线的焦点坐标，依据条件列出比例式，得到间的关系，从而求椭圆的离心率：设椭圆的左、右焦点为F1（，0），F2（，0），又抛物线的焦点为（，0）。线段F1F2被抛物线的焦点分成5：3两段，。又，。故选D。7.（浙江2006年理5分）若双曲线上的点到左准线的距离是到左焦点距离的，则=【 】(A) (B) (C) (D)【答案】C。【考点】双曲线的性质。【分析】由双曲线的第二定义和题设条件知离心率 ，解得。故选C。8.（浙江2007年理5分）直线关于直线对称的直线方程是【 】【答案】D。【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程。【分析】设所求直线上任一点，则它关于对称点为。 在上，即。故选D。9.（浙江2007年理5分）要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是【 】【答案】B。【考点】圆方程的综合应用。【分析】一个龙头的喷洒面积为36，正方形面积为256，至少需安装三个龙头。又，三个龙头肯定不能使整个草坪都能喷洒到水。当用四个龙头时，可将正方形均分四个小正方形，同时将四个龙头分别放在它们的中心，由于（小正方形的对角线长），故可以保证整个草坪能喷洒到水。故选B。10.（浙江2007年理5分）已知双曲线的左、右焦点分别为，P是准线上一点，且，则双曲线的离心率是【 】【答案】B。【考点】双曲线的性质。【分析】设准线与轴交于A点，在RtPF1F2中，|PF1|PF2|=|F1F2|PA|， |PA|=。又|PA|2=|F1A|F2A|，化简得。故选B。11.（浙江2008年理5分）若双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为32，则双曲线的离心率是【 】 A3 B5 C D【答案】D。【考点】双曲线的定义。【分析】取双曲线的一条准线，根据题意列方程，整理即可：依题意，不妨取双曲线的右准线，则左焦点F1到右准线的距离为，右焦点F2到右准线的距离为，可得 。 双曲线的离心率 e=ca=5。故选D。12（浙江2008年理5分）如图，AB是平面的斜线段，A为斜足，若点P在平面内运动，使得ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是【 】A圆 B椭圆 C一条直线 D两条平行直线【答案】B。【考点】椭圆的定义，平面与圆柱面的截线。【分析】因为三角形面积为定值，以AB为底，则底边长一定，从而可得P到直线AB的距离为定值，分析可得，点P的轨迹为一以与平面的交线AB为轴线的圆柱面，且与圆柱的轴线斜交，由平面与圆柱面的截面的性质判断，可得P的轨迹为椭圆。故选B。13.（浙江2009年理5分）过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为若，则双曲线的离心率是【 】.o.m A B C D【答案】C。【考点】直线与圆锥曲线的综合问题，双曲线的性质。【分析】分别表示出直线和两个渐进线的交点，从而表示出 和，进而根据求得和的关系，进而根据，求得和的关系，则离心率可得：过双曲线的右顶点作斜率为的直线为，它与渐近线交于，与渐近线交于，又，。，。又，。故选C。14.（浙江2010年理5分）设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为【 】（A） （B） （C） （D） 【答案】C。【考点】双曲线的简单性质。【分析】依题意，可知三角形是一个等腰三角形，在直线的投影是其中点，由勾股定理知可知。根据双曲定义可知，整理得，代入，整理得，求得。双曲线渐进线方程为，即。故选C。15.（浙江2011年理5分）已知椭圆与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点，若恰好将线段三等分，则【 】（A） （B） （C） （D）【答案】C。【考点】椭圆的简单性质，圆锥曲线的综合。【分析】由双曲线1知渐近线方程为。又椭圆与双曲线有公共焦点，椭圆方程可化为，联立直线与椭圆方程消得，。又将线段AB三等分，解之得.。故选C。二、填空题1.（全国2002年理4分）椭圆的一个焦点是，那么【答案】1。【考点】椭圆的性质。【分析】将椭圆方程转化为标准方程，由“一个焦点是（0，2）”得到焦点的轴上，从而确定，再由建立的方程求解：方程可化为。焦点（0，2）在轴上，又，解得：。2.（浙江2005年理4分）过双曲线(0，0)的左焦点且垂直于轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于【答案】2。【考点】双曲线的性质。【分析】设双曲线 (0，0)的左焦点F1（，0），右顶点为A（，0），以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，|F1M|=|F1A|。3.（浙江2008年理4分）已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点。若，则|AB|=。【答案】8。【考点】椭圆的定义和性质。【分析】过的直线交椭圆于A、B两点，|AF1|+|BF1|=|AB|。 由椭圆的定义得，两式相加得|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=20，即|AB|+|AF2|+|BF2|=20。 又，|AB|+12=20，即|AB|=8。4.（浙江2010年理4分）设抛物线的焦点为，点.若线段的中点在抛物线上，则到该抛物线准线的距离为_ . 【答案】。【考点】抛物线的定义和简单性质。【分析】依题意可知坐标为（，0），的坐标为（，1），代入抛物线方程得 1，解得。抛物线准线方程为。点到抛物线准线的距离为。5.（浙江2011年理4分）设分别为椭圆的焦点，点在椭圆上，若;则点的坐标是 【答案】。【考点】椭圆的简单性质。【分析】设直线的反向延长线与椭圆交于点，又，由椭圆的对称性可得，设，又，解之得。点A的坐标为。三、解答题1.（全国2002年理12分）设点P到点M、N距离之差为，到、轴的距离之比为2，求的取值范围【答案】解：设点P的坐标为，依题点P到、轴的距离之比为2得，即，。点、三点不共线，得。，。点P在以M、N为焦点，实轴长为的双曲线上，故。将代入，并解得。，解得，即的取值范围为。【考点】双曲线的定义和性质。【分析】设点P的坐标为，然后由点P到、轴的距离之比为2得一元一次方程，再由点P到点（-1，0）、（1，0）距离之差为2m，满足双曲线定义，则得其标准方程，最后解方程组通过求得m的取值范围。2.（全国2003年理12分） 在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南）方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？【答案】解：如图建立坐标系以O为原点，正东方向为轴正向。在时刻台风中心的坐标为：此时台风侵袭的区域是，其中。若在时刻城市O受到台风的侵袭，则有，即。整理，得，解得。答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭。【考点】圆的方程的综合应用。【分析】建立坐标系：以O为原点，正东方向为轴正向设在时刻台风中心的坐标，可知此时台风侵袭的区域，根据题意可知其中，若在时，该城市O受到台风的侵袭，则有，从而可得关于的一元二次不等式，求得的范围，答案可得。OPAGDFECBxy3.（全国2003年理14分）已知常数，在矩形ABCD中，AB=4，BC，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由【答案】解：按题意有A（2，0），B（2，0），C（2，4），D（2，4），设由此有E（2，4），F（24，4），G（2，44）。直线OF的方程为：直线GE的方程为：从，消去参数，得点坐标满足方程整理得 当时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.当时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长：当时，点P到椭圆两个焦点（的距离之和为定值；当时，点P 到椭圆两个焦点（0， 的距离之和为定值2。【考点】轨迹方程；椭圆的性质。【分析】按题意写出A，B，C，D四点的坐标，从而根据解出E，F，G三点的坐标，用参数表示，求出OF与GE两条直线的方程，两者联立即可求出点P的坐标满足的参数方程，消去参数，得到点P的轨迹方程。由于的取值范围影响曲线的形状故按的范围来对曲线进行分类。4.（浙江2004年理12分）已知双曲线的中心在原点，右顶点为A（1，0）点P、Q在双曲线的右支上，点M（，0）到直线AP的距离为1.（）若直线AP的斜率为，且，求实数的取值范围；（）当时，APQ的内心恰好是点M，求此双曲线的方程.【答案】解：()由条件得直线AP的方程，即。点M到直线AP的距离为1，即。，解得13或-11。的取值范围是。()可设双曲线方程为由得。又M是APQ的内心，M到AP的距离为1，MAP=45，直线AM是PAQ的角平分线,且M到AQ、PQ的距离均为1。（不妨设P在第一象限）直线PQ方程为，直线AP的方程。联立解得P的坐标是（2+，1+），将P点坐标代入得，所求双曲线方程为，即。【考点】直线与圆锥曲线的综合问题，双曲线的标准方程。【分析】（）设出直线AB的方程，表示出点M到直线AP的距离求得的范围，从而求得的范围。（）设双曲线方程，由M和A求得|AM|，又因为M是APQ的内心，M到AP的距离为1，所以MAP=45，直线AM是PAQ的角平分线，且M到AQ、PQ的距离均为1，求得P点坐标，代入椭圆方程求得，求得双曲线方程。5.（浙江2005年理14分）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，长轴的长为4，左准线与轴的交点为M，|MA1|A1F1|21 ()求椭圆的方程； ()若直线：，P为上的动点，使最大的点P记为Q，求点Q的坐标(用表示)【答案】解：()设椭圆方程为，半焦距为，则，解得。() 设，当时，；当时，只需求的最大值即可。设直线的斜率，直线的斜率，当且仅当时，最大，使最大的点。【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题。【分析】（）先椭圆的标准方程，根据长轴的长为4，|MA1|A1F1|21和联立方程组，求得。椭圆的方程可得。（）设，依题意可知只需求最大值即可。设出直线和的斜率可表示出，根据的范围进而确定的范围，进而可求得最大时点Q的坐标。6.（浙江2006年理14分）如图，椭圆1（0）与过点A（2，0）B(0，1)的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率=.()求椭圆方程；()设F、F分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF的中点，求证：ATM=AFT.【答案】解：（）过 A、B的直线方程为 由题意得有惟一解，即有惟一解，=0。又，即，。所求的椭圆方程为。（）由（）得，。M（1+，0）。由 ，解得 。点T的坐标为。，又，。ATM=AFT。【考点】直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的标准方程，两角差的正切函数。【分析】（I）过点A、B的直线方程为。因为有惟一解，所以，故=0。由题意知，故所求的椭圆方程为 。（II）由（I）得，故，从而M（1+，0），由，解得，所以T。由此可由两角差的正切函数推出ATM=AF1T。7.（浙江2007年理14分）如图，直线与椭圆交于两点，记的面积为（I）求在，的条件下，的最大值；（II）当，时，求直线的方程【答案】解：（）设点的坐标为，点的坐标为，由，解得，。当且仅当时，取到最大值。（）由得，。 设到的距离为，则，又，代入式并整理，得，解得，代入式检验，。直线的方程是或或，或。【考点】椭圆的性质，椭圆与直线的位置关系。【分析】（）设出点，B的坐标利用椭圆的方程求得的横坐标，进而利用弦长公式和，求得三角形面积表达式，利用基本不等式求得其最大值。（）把直线与椭圆方程联立，进而利用弦长公式求得的长度的表达式，利用到直线的距离建立方程求得和的关系式，求得和，则直线的方程可得。8.（浙江2008年理15分）已知曲线C是到点P（）和到直线距离相等的点的轨迹。是过点Q (1，0)的直线，M是C上（不在上）的动点；A、B在上，轴（如图）。 （）求曲线C的方程；（）求出直线的方程，使得为常数。【答案】解：（）设N (，)为C上的点，则，N到直线的距离为。由题设得，化简，得曲线C的方程为。（）设，直线，则，从而。在RtQMA中，。当=2时，从而所求直线方程为。【考点】轨迹方程，直线的一般式方程。【分析】（I）设N (，)为C上的点，进而可表示出|NP|，根据N到直线的距离和|NP|进而可得曲线C的方程。（II）先设，直线，从而可得B点坐标，再分别表示出|QB|，|QM|，|MA|，最后根据求得。9.（浙江2009年理15分）已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为 （I）求椭圆的方程； （II）设点在抛物线：上，在点处的切线与交于点当线段的中点与的中点的横坐标相等时，求的最小值【答案】解：（I）由题意得。所求的椭圆方程为。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （II）不妨设则抛物线在点P处的切线斜率为，直线MN的方程为，将上式代入椭圆的方程中，得，即。直线MN与椭圆有两个不同的交点，。设线段MN的中点的横坐标是，则，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 设线段PA的中点的横坐标是，则，由题意得，即有，其中的或。当时，不等式不成立。当时代入方程得，将代入不等式成立，因此的最小值为1。【考点】圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程。【分析】（I）根据题意，求出a，b的值，然后得出椭圆的方程。（II）设出M，N，P的坐标，将直线代入椭圆，联立方程组，根据判断最值即可。10.（浙江2010年理15分）已知m1，直线，椭圆，分别为椭圆的左、右焦点. （）当直线过右焦点时，求直线的方程；（）设直线与椭圆交于两点，的重心分别为.若原点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围.【