大一高等数学重点讲解课件完整版（第七章以后）

第七章 定积分的应用与广义积分,7.1 定积分的微元法,1 定积分的微元法描述,其描述过程可分为下面几步,(1) 在 a , b 内插入分点:,将曲边梯形分成几个小曲边梯形Ai ,(问题具有可加性),(2) 近似:,(3) 求和精确化:,第一步说明: 问题具有可加性,第二步的特征:,则,记,若记,即 Ai 用所求量 A 关于自变量 x 的微分近似,第三步说明:,即,20 定积分的微元法,7.2 几何应用,1平面图形面积的计算,1、直角坐标系下的面积公式,解,(1) 作草图选取积分变量,从图形可知选取 x 为积分变量,(3) 计算积分,(2) 求两曲线的交点, 确定积分区间,从而确定积分区间: -2 , 4 ,例 计算由曲线 x=2y2 和 x =1+y2 所围成的图形面积,解,(1)作草图, 选取 y 为积分变量,(2)求两曲线的交点, 确定积分区间,得 y = -1, y =1 , 积分区间-1 ,1,解联立方组：,说明:,当 y0 = 3 时 , x0 = 2,两边对 x 求导得,令 x =2 ，y =3 得,切线方程,即,选取 y 为积分变量,解,解,2、参数方程表示的图形面积的计算,则 a b , t = -1(x),说明: 若 (t) 单调减 , 则上积分上、下限倒一下,所成曲边梯形的面积,解,在 0，2 上单调增 ,利用式（2）有,解,M,S1,S2,由于,令,由于,当 时， 取最大值，,3、极坐标系下图形面积的计算,设 r = r() , , r() 在 , 上连续 ,设 , +上曲边扇形的面积为A,由于 r() 连续 , 若记,两边积分得,(1),例 求心脏线 所围图形的面积.,A1,解,画出草图 , 如图所示,确定 的变化范围 0 2,由对称性知 A=2A1 ,所以,例 求平面区域 的面积,解,画出草图, 如图所示,图形关于极轴 r 对称 A= 2A1,A1,求 与 的交点,解,得, 积分区间,例 求双纽线 所围图形的面积,解,将曲线化为极坐标方程有, 的变化范围为 (第一象限部分),2 平面曲线弧长的计算,(3),所以有,作为公式（3）的特殊情形:,注意: 公式 (4) 、(5) 中, 积分下限 积分上限 ,注意: 公式 (3) 中, 积分下限 积分上限 ,例 求曲线 的全长 .,先确定参数 t 的变化范围,由,所以曲线的定义域为,又,解,利用公式 (3) , 有,例 求曲线 的弧长,解,解,3已知平行截面积的立体体积的计算,x+x,记,由于A (x) 连续,故知,（6）,所以有计算公式,例,如图所示, 建立坐标系,在 -R , R 上任取一点 x,解,所以 , 有,4 旋转体的体积计算,旋转体:,(7),同理可得:,(8),(10),(9),解,画出草图, 选取 x 为积分变量 , 积分区间为 -1 , 1 .,所以 , 所围图形的面积,所围图形绕 x 轴旋转的旋转体体积 :,解,要使容器底面露出来 , 至少使 c = 0,当 时, 容器的底面会露出来,解,A 的图形如图所示 .,A 的边界线方程为,A 在 y 轴上的投影区间为 0 , 1,在 0 ，1 上任取一小区间 y , y + dy ,则对应于该小区间的薄片的体积微元为,所以体积:,解,平面图形如图所示,在 0 , a 内任取一小区间 x , x+dx ,则对应于该小区间的薄片的体积微元,-a a,所以所求体积 :,7.2 几何应用,1平面图形面积的计算,1、直角坐标系下的面积公式,解,(1) 作草图选取积分变量,从图形可知选取 x 为积分变量,(3) 计算积分,(2) 求两曲线的交点, 确定积分区间,从而确定积分区间: -2 , 4 ,例 计算由曲线 x=2y2 和 x =1+y2 所围成的图形面积,解,(1)作草图, 选取 y 为积分变量,(2)求两曲线的交点, 确定积分区间,得 y = -1, y =1 , 积分区间-1 ,1,解联立方组：,说明:,当 y0 = 3 时 , x0 = 2,两边对 x 求导得,令 x =2 ，y =3 得,切线方程,即,选取 y 为积分变量,解,解,2、参数方程表示的图形面积的计算,则 a b , t = -1(x),说明: 若 (t) 单调减 , 则上积分上、下限倒一下,所成曲边梯形的面积,解,在 0，2 上单调增 ,利用式（2）有,解,M,S1,S2,由于,令,由于,当 时， 取最大值，,3、极坐标系下图形面积的计算,设 r = r() , , r() 在 , 上连续 ,设 , +上曲边扇形的面积为A,由于 r() 连续 , 若记,两边积分得,(1),例 求心脏线 所围图形的面积.,A1,解,画出草图 , 如图所示,确定 的变化范围 0 2,由对称性知 A=2A1 ,所以,例 求平面区域 的面积,解,画出草图, 如图所示,图形关于极轴 r 对称 A= 2A1,A1,求 与 的交点,解,得, 积分区间,例 求双纽线 所围图形的面积,解,将曲线化为极坐标方程有, 的变化范围为 (第一象限部分),2 平面曲线弧长的计算,(3),所以有,作为公式（3）的特殊情形:,注意: 公式 (4) 、(5) 中, 积分下限 积分上限 ,注意: 公式 (3) 中, 积分下限 积分上限 ,例 求曲线 的全长 .,先确定参数 t 的变化范围,由,所以曲线的定义域为,又,解,利用公式 (3) , 有,例 求曲线 的弧长,解,解,3已知平行截面积的立体体积的计算,x+x,记,由于A (x) 连续,故知,（6）,所以有计算公式,例,如图所示, 建立坐标系,在 -R , R 上任取一点 x,解,所以 , 有,4 旋转体的体积计算,旋转体:,(7),同理可得:,(8),(10),(9),解,画出草图, 选取 x 为积分变量 , 积分区间为 -1 , 1 .,所以 , 所围图形的面积,所围图形绕 x 轴旋转的旋转体体积 :,解,要使容器底面露出来 , 至少使 c = 0,当 时, 容器的底面会露出来,解,A 的图形如图所示 .,A 的边界线方程为,A 在 y 轴上的投影区间为 0 , 1,在 0 ，1 上任取一小区间 y , y + dy ,则对应于该小区间的薄片的体积微元为,所以体积:,解,平面图形如图所示,在 0 , a 内任取一小区间 x , x+dx ,则对应于该小区间的薄片的体积微元,-a a,所以所求体积 :,7.5 广 义 积 分,然而在实际应用中, 经常面临以下问题:,定积分 的特点:,(1) 若 存在 f (x) 在 a , b 上有界,(2) 积分区间 a , b 是有界区间,(1) 无穷区间上的积分,(2) a , b 上的无界函数的积分,这就是本节要讨论的广义积分问题,10 无穷区间上的广义积分,同样的可定义:,说明:,(1) 的几何意义:,(2) 若 F(x)是 f (x) 在对应区间上的原函数, 则,同样若记,则,所以有,所以有,例 讨论广义积分 的敛散性,当 p 1 时,当 p = 1时,发散,故知,+ , 当 p 1 , 发散, 当 p 1 , 收敛,解,例 计算,解,例 求,解,注意: 不能写成,例 计算,解,说明: 此例涉及了广义积分的分部积分法,若 存在 , 收敛 ,则,即,例 计算,解,例 计算,解,例 求曲线 的斜渐近线，并求 此曲线与其斜渐近线所夹之无界区域的面积,解,曲线的斜渐近线为,又,所以面积,无穷区间广义积分的变量代换定理,例 计算,解,利用积分变量代换公式有,常义积分,例 求,解,例 证明: , 并求之.,解 令,则有,20 无界函数的广义积分,定义,说明:,其中 b 代入是左极限,即,若 a 为奇点 , F(x) 为 f (x) 在 ( a , b 上的原函数 ,即,其中 a 代入是右极限,则有,例 讨论广义积分 的敛散性 ( q0 , ba ),解,显然 x = a 是奇点 .,当 q 1 时 ,收敛,发散,当 q = 1 时 ,发散,所以有,例 判别积分 的敛散性,解,因为 是奇点 , 所以积分是广义积分,由于,注意:,以下的解法是错误的,发散,发散,解,因为 是奇点 , 所以积分是广义积分,所以广义积分 收敛 , 且,说明:,此例涉及了无界函数广义积分的分部积分法,一般地 , 如果 x = b 是奇点 , 则有,若 存在 , 收敛 ,则有,注意:,将奇点 b 代入函数时 , 认为是取极限,解,定理 (无界函数广义积分的变量代换定理),解,x =1 是奇点 , x =0 是可去间断点,解,x = -1 是奇点 , 故为广义积分,令,则,于是有,30 (Gamma) 函数,函数的定义域是 ( 0 , + ) , 且,函数具有以下重要性质:,证明,可知当 时 , 有,即,解,反复利用性质1 , 得,即,解,令,则有,高等数学研究性小课题:,函数与其原函数之间的几何性质比较及其应用,8.1 数 项 级 数,1无穷级数的基本概念,无穷级数:,无穷级数 (1) 的部分和数列:,定义 ( 无穷级数的收敛与发散 ),说明:,(2) 注意收敛数列与级数收敛的区别:,级数收敛:,( 级数 的和是其部分和数列 的极限 ),解,所以原级数收敛 , 且有,解,当 时,此时级数收敛且有和,当 时,级数发散,当 时,级数发散,当 时,不存在,级数发散,为此我们先讨论无穷级数的一些基本性质,从上面例子可知:,设 收敛于 S ,分别记 的部分和数列为 ,的部分和数列为 , 则,证明,余式, 余式 收敛,反之 设余式 (2) 收敛, 则,收敛,说明:,证明,(2),( 级数收敛的必要条件 ),设 ,则有,证明, 级数 发散,解,由于其 n 项部分和 Sn 满足,解,发散,说明:,注意:,性质 5,证明,其部分和数列为 ,由,说明:,(2) 对收敛级数不能去括号,反例:,收敛级数,去括号后:,发散级数,(3) 对发散级数加括号会改变其敛散性 (见上反例),解,则有,并且当 n 1 时 , 有,( 项 ),据收敛级数的必要条件知 发散,再根据性质 5 知原级数 发散,2 正项级数,正项级数：,设级数 是正项级数 , 则由,知 Sn 单调上升,单调上升数列 Sn 有极限 Sn 有上界,说明:,解,级数 称为 p 级数,当 p = 1 时 , 原级数即为调和级数 , 所以发散 .,当 p 1 时 , 则有,由于, 级数 发散,故有,当 p 1 时 ,设 p = 1+ ( 0 ) , 由于对任意,所以 有上界, 级数 收敛,综上所述有以下结论:,收敛 , 当 p 1 时 ;,发散 , 当 p 1 时,定理 ( 正项级数的比较判别法 ),设 是正项级数,证明,只需考虑余和 的敛散性,(1) 由 n N 时 , bn an 0 , 得,因为 收敛 余和 收敛 , 收敛, 收敛,(2) 反证法 .,设 收敛, 收敛,由 (1) 知 收敛, 收敛 ,矛盾,解,如果 0 a 1 , 则由,发散,如果 a 1 , 则由,及 收敛 , 据比较判别法知 收敛,解,因为当 x 0 时 , x sinx,而级数 收敛 收敛,据比较判别法知原级数 收敛,定理 ( 比较判别法的极限形式 ),设 是正项级数 , 如果极限,(3) 当 0 K+ 时 , 具有相同的敛散性,证明,(1) 由,对于 =1 , 存在 N 0 , 当 n N 时 , 有,现 收敛,收敛,收敛,(2) 由,存在 N 0 , 当 n N 时,有,现 发散,发散,发散,说明:,对 bn 的要求是:,通常可取:,由于 的敛散情况已知 , 据定理推得原级数,的敛散情况,解,(1),(2),而 发散 ,据比较判别法知原级数 发散,解,因为,所以,现 收敛, 原级数 收敛,证明,(1),取定,由,存在 N 0 , 当 n N 时有,现 收敛, 收敛,(2) 如果 1 , 则根据极限的性质 , 存在 N 0 ,使当 n N 时 , 有,从而有, 级数 发散,(3) 对于 p- 级数,而当 p 1 时 , 级数收敛 , 当 p 1 时级数发散,解,当 a = 0 时 , 级数收敛,当 a 0 时 , 由,据达朗贝尔判别法知 , 原级数收敛,解,由于,据达朗贝尔判别法知 , 原级数收敛,据达朗贝尔判别法知 , 原级数收敛,解,证明,(1) 由,对于,据比较判别法知 , 收敛,解,据柯西判别法知 , 原级数收敛,证明,记 由 f ( t ) 连续单调减 ,又 f (x) 单调减,若 收敛,的部分和有上界,收敛,若 发散 , 由于,及,的部分和无界,发散,综上所述 , 与 具有相同的敛散性,解,取 ,则 且对任意,的 p R , 当 x 充分大时 , f (x) 是非负且单调减的 .,当 p 1 时 ,收敛,收敛,当 p 1 时 ,发散,发散,解,由于,据比较判别法知级数 发散,注意:,由 发散,若用达朗贝尔判别法,无结论,解,由于,据比较判别法知原级数收敛,解,又,有界, 存在 A 0 使,又 收敛 ,据比较判别法知原级数收敛,解,(1) 因为,由 收敛,收敛,由比较判别法知 收敛,(2) 不一定, 考察级数,则,收敛, 而原级数是发散的,(3) 若 an 单调下降, 则,由 收敛,30 任意项级数,绝对收敛:,证明,由 收敛,收敛,收敛,收敛,本段讨论任意项级数 的审敛问题,说明：,此定理提供了任意项级数审敛的一种方法:,考察它是否绝对收敛 .,这是一任意项级数 .,因为,解,而 收敛, 级数 绝对收敛 ,从而原级数收敛,注意：,定理 (达朗贝尔),证明 (2),由,对于,发散,定理（Canchy）,解,由,所以级数 发散,关于绝对收敛级数有以下重要性质,定理,证明 “ ”,据比较判别法知,“ ”,可知 绝对收敛,因为,现 收敛 ,都收敛,由于,若记,则,推论,进一步可知绝对收敛级数可任意交换项的次序,定理,级数的柯西乘法(对角线法) :,设,其中,例如几何级数,则,即,条件收敛级数:,但关于交错级数有下面的莱布尼兹判别法,交错级数：,定理 (莱布尼兹判别法),证明,设 的部分和数列为 Sn ,考虑子列 S2k .,由于, S2k 是随 k 单调增的 .,又, S2k 单调增且有上界, S2k 收敛 ,设,再考虑奇数项的子数列 S2k+1 ,因为,据极限性质知, 交错级数 收敛,从证明过程可知:,(2),解,这是一交错级数 .,发散, 原级数非绝对收敛,由于,又 单调减且,解,当 a = 0 时 , 原级数收敛,当 a 0 时 , 考虑级数,由于,于是 , 当 时 , 原级数绝对收敛 ;,当 时 , 原级数发散 ;,当 时 ,由 知,原级数绝对收敛,解,因为 收敛 ,而,现 收敛 ,所以原级数绝对收敛,解,由当 n 充分大时 ,由 收敛,收敛,据比较判别法知 收敛 .,又由,知级数 收敛,解,若设,则级数的通项:,由于,下证 vn 单调增 , 有上界,设,则,据数学归纳法知:,设,在 两边取极限有,解得,于是有,所以原级数收敛,又由,关于条件收敛级数有以下性质,证明,反证法,矛盾,若 和 中一个收敛而另一个发散,则由,或,利用收敛级数的性质 , 可从 收敛,收敛 ;,从 收敛,收敛 ,矛盾 ,定理证毕,8.3 幂 级 数,1函数项级数,收敛域:,和函数:,余和:,2 幂级数,幂级数:,称为幂级数 (1) 的系数,式 (2) 就是以 a = 0 为基点的 x 的幂级数,问题:,(1) 幂级数 (2) 的收敛范围是怎样的 ?,(2) 幂级数 (2) 的收敛范围如何确定 ?,(3) 幂级数表示的和函数 S(x) 有何性质 ?,定理 ( 阿贝尔定理 ),证明,(1) 由 收敛, 存在 M 0 , 使,任取 x ,则 .,由于,因为,收敛,据比较判别法知级数 收敛 ,(2) 利用反证法,若 使级数 收敛 ,则由结论 (1) 可知级数 收敛 , 矛盾,所以结论成立,从而知级数 绝对收敛,定理说明:,定义,幂级数收敛域的确定:,首先必须确定幂级数 的收敛半径 r,如果 , 则有,(1) 若 = 0 ,此时对任意的 x R , 幂级数 都收敛, 收敛域为 (- , + ), 收敛半径为 r = +,(2) 若 = + ,此时对任意的 xR , x 0 , 有, 收敛半径为 r = 0, 幂级数 对所有 x 0 都发散, 收敛域为 0 ,(3) 若 0 + ,则可知,(a) 当 即 时 ,(b) 当 即 时 , 收敛半径为,综上所述有:,注意:,当 时 , 可推知,所以也有,从而幂级数的收敛半径:,其中 当= 0 时 , r = + ; 当 = + 时 , r = 0,解, 收敛半径 r = 1, 收敛区间 ( -1 , 1 ),当 x = 1 时 , 原幂级数 = ,发散,当 x = -1 时 , 原幂级数 = ,条件收敛,所以 , 幂级数的收敛域为 -1 , 1 ),解,当 时 , 原级数收敛, 收敛半径, 收敛区间,原幂级数 =,因为 收敛 ,发散,发散,所以 , 幂级数的收敛域为,当 时 ,原幂级数 =,解,注意:,此级数中有无穷多项系数,方法一:,所以 , 当 时 , 即 时 ,幂级数绝对收敛,当 时 , 即 时 ,幂级数发散, 收敛半径, 收敛区间,当 时 ,原幂级数 =,发散,当 时 ,原幂级数 =,发散,所以 , 幂级数的收敛域为,方法二:,令 , 则有,( 化为 t 的非缺项级数 ),的收敛半径为, 收敛区间,发散,又当 时 ,当 时 ,发散,所以 的收敛域为,又由 ,让,所以 , 原级数 的收敛域为,令 ，则原级数为,（ 关于 t 的幂函数）,解,的收敛半径,收敛区间为,又当 t =1 时，,发散,当 t = -1 时，,发散,的收敛域为:,级数 的收敛域为 : x 0,即 x 0,2 幂级数表示的和函数的性质,下面我们讨论幂级数表示的和函数 S(x) 的函数性质,定理 ( 幂级数的连续性 ),说明:,定理 ( 幂级数的可微性 ),说明:,即 , 逐项求导不改变幂级数的收敛半径,例如,幂级数 与,对于幂级数 , 收敛半径为,收敛区间 ( -1 , 1 ) ,可知其收敛域为 -1 , 1 ,对于幂级数 , 收敛半径为,(4) 注意: 在 x = r 0 ( r 为收敛半径 ),性质,证明,定理 ( 幂级数的可积性 ),说明:,关于幂级数的运算有以下性质,性质 1,解,先求幂级数的收敛域, 收敛区间,又当 x = 1 时 , 幂级数收敛,当 x = -1 时 , 幂级