吉林省高中数学联赛答案.doc

2014年全国高中数学联赛（吉林赛区）预赛暨2014年吉林省高中数学联赛试题参考答案一、选择题（每小题6分，共30分）1已知函数，则的值为（ ）A B0 C1 D2在中，则的值为（ ）A B C D 3下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是（ ）A B C D4某地举行一次民歌大奖赛，六个省各有一对歌手参加决赛，现要选出4名优胜者则选出的4名中恰只有两个人是同一省份的歌手的概率为（ ）A B C D 5若五项的数列满足，且对任意的，均有在该数列中 ； ； 为等差数列； 集合含个元素则上述论断正确的有（ ）个A1 B2 C3 D4 二、填空题（每小题6分，共30分）6函数y=f(x)是定义在R上的周期为3的函数，右图中表示的是该函数在区间2, 1上的图像，则的值等于 7在中， ，则 8下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为_ 9给定平面上四点，满足，则面积的最大值为 _ 10方程组的一个实数解为三、解答题（第12题15分，第13，14，15每小题25分，共90分）11设集合，(1) 若，求的值；(2) 若，且，求实数的取值范围12函数，求函数的最大值13直线的方程为，为直线上的两点，其横坐标恰为关于的一元二次方程的两个不同的负实数根直线过点和线段的中点，是轴上的一条动线段，考虑一切可能的直线，当和线段无公共点时，长的最大值是否存在？如果存在，求出最大值；如果不存在，说明理由14若存在集合满足：，且，则称为的一个二分划（）设判断是否为的一个二分划，说明理由；（）是否能找到的一个二分划满足：中不存在三个成等比数列的数；中不存在无穷的等比数列说明理由一、选择题（每小题5分，共30分）1已知函数，则的值为（ ）A B0 C1 D解：答案: A2在中，则的值为（ ）A B C D 解：由正弦定理，得，于是所以答案: D3下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是（ ）A B C D解：设，则因此，是奇函数又为区间上的单调递减函数， 为区间上的单调递增函数，而为与的复合函数，因此函数在区间上单调递减答案: C4某地举行一次民歌大奖赛，六个省各有一对歌手参加决赛，现要选出4名优胜者则选出的4名中恰只有两个人是同一省份的歌手的概率为（ ）A B C D 解：选出的4名选手中恰有且只有两个人是同一省份的歌手的概率答案: A5若五项的数列满足，且对任意的，均有在该数列中 ； ； 为等差数列； 集合含个元素则上述论断正确的有（ ）个A1 B2 C3 D4 解：论断正确的有因为，所以；因为且 所以 于是 所以为等差数列，且，因此；集合含个元素答案: D二、填空题（每小题5分，共30分）6函数y=f(x)是定义在R上的周期为3的函数，右图中表示的是该函数在区间2, 1上的图像，则的值等于 解：7在中， ，则 解：由已知得，于是，即所以或情形：，此时，所以情形：，此时，所以8下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为_ 解：由三视图判断该几何体为三棱锥（如图）,由俯视图知平面丄平面，;再根据左视图得出，进而丄平面，且，又从主视图中得出所以9给定平面上四点，满足，则面积的最大值为 _ 解：由题可知，且与的夹角为.考虑以原点为圆心，半径分别为的三个圆，则可以将固定在圆上，将在圆上运动.作于，则当且仅当三点共线且与方向相同时，面积取得最大值最大此时由，得于是. 10方程组的一个实数解为解：恰为方程的四个实根方程可变形为于是或所以方程组的四个实数解为：，的排列（答出四个数的任意一个排列即可）三、解答题（第12题15分，第13，14，15每小题25分，共90分）11设集合，(1) 若，求的值；(2) 若，且，求实数的取值范围解：，设 （1） 由可得， （2），当时，由得当时，若，则，当时，不合题意；当时，符合题意 若 ，则 综上，12函数，求函数的最大值解：当时，函数取最大值13直线的方程为，为直线上的两点，其横坐标恰为关于的一元二次方程的两个不同的负实数根直线过点和线段的中点，是轴上的一条动线段，考虑一切可能的直线，当和线段无公共点时，长的最大值是否存在？如果存在，求出最大值；如果不存在，说明理由解：设，则记线段的中点为，则设直线交轴于，根据、三点共线得：，于是又为关于的一元二次方程的两个不同的负实数根，知解得于是 所以线段长的最大值存在，且14若存在集合满足：，且，则称为的一个二分划（）设判断是否为的一个二分划，说明理由；（）是否能找到的一个二分划满足：中不存在三个成等比数列的数；中不存在无穷的等比数列说明理由（）， ，故不是的一个二分划（）能找到中形成的等比数列可以唯一地用一个正整数数对来表示，其中为数列的首项，为数列的公比，反之每一对也唯一地表示一个无穷的等比数列 正整数数对可以排序如下将这些数对所对应的无穷等比数列依次记为先在中任取一个数，在中取数，使得；在中取数，使得；在中取数，使得；一般的，在中取数，使得；如此得到正整数，由这些数组成集合