双曲线与方程知识点总结例题习题精讲详细答案.doc

龙奇迹【学习资料网】 我们的教育理念： 奇迹，源自永不放弃！课程星级：知能梳理一、双曲线的定义1、第一定义：到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（|F1F2|）的点的轨迹（为常数）。这两个定点叫双曲线的焦点。 要注意两点：（1）距离之差的绝对值。（2）2a|F1F2|。 当|MF1|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支； 当|MF1|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支； 当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；当2a|F1F2|时，动点轨迹不存在。2、第二定义：动点到一定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比是常数e(e1)时，这个动点的轨迹是双曲线。这定点叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线。二、双曲线的标准方程（，其中|=2c）焦点在x轴上：（a0，b0）焦点在y轴上：（a0，b0）（1）如果项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果项的系数是正数，则焦点在y轴上。 a不一定大于b。（2）与双曲线共焦点的双曲线系方程是（3）双曲线方程也可设为：需要更多的高考数学复习资料 请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.： 高考数学复习资料 知识点与方法技巧总结 例题精讲(详细解答) 或者搜.店.铺.： 龙奇迹学习资料网三、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系1、点与双曲线点在双曲线的内部点在双曲线的外部点在双曲线上2、直线与双曲线代数法：设直线，双曲线联立解得（1）时，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；，或k不存在时，直线与双曲线没有交点；（2）时，存在时，若，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若，时，直线与双曲线相交于两点；时，直线与双曲线相离，没有交点；时，直线与双曲线有一个交点；不存在，时，直线与双曲线没有交点； 直线与双曲线相交于两点；3、过定点的直线与双曲线的位置关系：设直线过定点，双曲线（1）当点在双曲线内部时：，直线与双曲线两支各有一个交点；，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；或或不存在时直线与双曲线的一支有两个交点；（2）当点在双曲线上时： 或，直线与双曲线只交于点；直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；（）或（）或或不存在，直线与双曲线在一支上有两个交点；当时，或不存在，直线与双曲线只交于点；或时直线与双曲线的一支有两个交点；直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；（3）当点在双曲线外部时：当时，直线与双曲线两支各有一个交点；或或不存在，直线与双曲线没有交点；当点时， 时，过点的直线与双曲线相切 时，直线与双曲线只交于一点；需要更多的高考数学复习资料 请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.： 高考数学复习资料 知识点与方法技巧总结 例题精讲(详细解答) 或者搜.店.铺.： 龙奇迹学习资料网四、双曲线与渐近线的关系1、若双曲线方程为渐近线方程：2、若双曲线方程为（a0，b0）渐近线方程： 3、若渐近线方程为双曲线可设为, 。4、若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在x轴上，焦点在y轴上）五、双曲线与切线方程1、双曲线上一点处的切线方程是。2、过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是。3、双曲线与直线相切的条件是。需要更多的高考数学复习资料 请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.： 高考数学复习资料 知识点与方法技巧总结 例题精讲(详细解答) 或者搜.店.铺.： 龙奇迹学习资料网六、双曲线的性质双曲线标准方程（焦点在轴）标准方程（焦点在轴）定义第一定义：平面内与两个定点，的距离的差的绝对值是常数（小于）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。PP第二定义：平面内与一个定点和一条定直线的距离的比是常数，当时，动点的轨迹是双曲线。定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数（）叫做双曲线的离心率。PPPP范围，对称轴轴 ，轴；实轴长为,虚轴长为对称中心原点焦点坐标 焦点在实轴上，；焦距：顶点坐标（,0） (,0)(0, ,) (0，)离心率1)， ， e越大则双曲线开口的开阔度越大准线方程准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：顶点到准线的距离顶点（）到准线（）的距离为顶点（）到准线（）的距离为焦点到准线的距离焦点（）到准线（）的距离为焦点（）到准线（）的距离为渐近线方程 () ()共渐近线的双曲线系方程（）（）直线和双曲线的位置双曲线与直线的位置关系：利用转化为一元二次方程用判别式确定。二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。相交弦AB的弦长通径：过双曲线上一点的切线 或利用导数 或利用导数七、 弦长公式1、若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则，若分别为A、B的纵坐标，则。2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A、B两点，则弦长。3、若弦AB所在直线方程设为，则。4、特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解八、焦半径公式双曲线（a0，b0）上有一动点当在左支上时,当在右支上时,注：焦半径公式是关于的一次函数，具有单调性，当在左支端点时，当在左支端点时，九、等轴双曲线（a0，b0）当时称双曲线为等轴双曲线1。 ；2。离心率；3。两渐近线互相垂直，分别为y=；4。等轴双曲线的方程，；5。 等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。 十、共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，通常称它们互为共轭双曲线。共轭双曲线有共同的渐近线； 共轭双曲线的四个焦点共圆； 它们的离心率的倒数的平方和等于1。需要更多的高考数学复习资料 请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.： 高考数学复习资料 知识点与方法技巧总结 例题精讲(详细解答) 或者搜.店.铺.： 龙奇迹学习资料网精讲精练【例】如图所示，为双曲线的左焦点，双曲线上的点与关于轴对称，则的值是（ ）A9 B16 C18 D27 解： ，选C【例】设P为双曲线上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=3：2，则PF1F2的面积为（ ）AB12CD24解： 又由、解得直角三角形，故选B。【例】某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)思路：时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的解：如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.ABCPOxy设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（1020，0），B（1020，0），C（0，1020）设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB| |PA|=3404=1360由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，依题意得a=680, c=1020，用y=x代入上式，得，|PB|PA|,答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.【例】已知双曲线的离心率，过的直线到原点的距离是 求双曲线的方程；解：（1）原点到直线AB：的距离. 故所求双曲线方程为 【例】已知双曲线的渐近线方程是，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 解：设双曲线方程为，当时，化为，当时，化为，综上，双曲线方程为或【例】已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(12，15)，则E的方程解：设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，由题意知c3，a2b29，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：两式作差得：，又AB的斜率是1，所以将4b25a2代入a2b29得a24，b25.所以双曲线的标准方程是1.需要更多的高考数学复习资料 请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.： 高考数学复习资料 知识点与方法技巧总结 例题精讲(详细解答) 或者搜.店.铺.： 龙奇迹学习资料网【例】已知双曲线C与双曲线=1有公共焦点，且过点（3，2）.求双曲线C的方程解： 法一：设双曲线方程为=1.由题意易求c=2.又双曲线过点（3，2），=1. 又a2+b2=（2）2，a2=12，b2=8.故所求双曲线的方程为=1.法二：设双曲线方程为1，将点（3，2）代入得k=4，所以双曲线方程为1.【例】已知双曲线的渐近线方程是，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 解：设双曲线方程为，当时，化为，当时，化为，综上，双曲线方程为或【例】已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)(1)求双曲线C的方程；(2)若直线：ykxm(k0，m0)与双曲线C交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，1)，求实数m的取值范围解析： (1)设双曲线方程为1(a0，b0)由已知得a，c2. 又a2b2c2，得b21.故双曲线C的方程为y21.(2)联立整理得(13k2)x26kmx3m230.直线与双曲线有两个不同的交点，可得m23k21且k2 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为B(x0，y0)则x1x2，x0，y0kx0m.由题意，ABMN，kAB(k0，m0) 整理得3k24m1 将代入，得m24m0，m0或m4.又3k24m10(k0)，即m. m的取值范围是(4，)【例】已知直线与双曲线交于、点。（1）求的取值范围；（2）若以为直径的圆过坐标原点，求实数的值；（3）是否存在这样的实数，使、两点关于直线对称？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由。解：（1）由消去，得（1）依题意即且（2）（2）设，则 以AB为直径的圆过原点 但 由（3）（4）， 解得且满足（2）（3）假设存在实数，使A、B关于对称，则直线与垂直 ，即 直线的方程为将代入（3）得 AB中点的横坐标为2 纵坐标为 但AB中点不在直线上，即不存在实数，使A、B关于直线对称。【例】已知双曲线C的中心是原点，右焦点为F，一条渐近线m:,设过点A的直线l的方向向量。（1） 求双曲线C的方程； （2） 若过原点的直线，且a与l的距离为，求K的值；（3） 证明：当时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为.解：（1）设双曲线的方程为需要更多的高考数学复习资料 请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.： 高考数学复习资料 知识点与方法技巧总结 例题精讲(详细解答) 或者搜.店.铺.： 龙奇迹学习资料网 ，解得，双曲线的方程为（2）直线，直线由题意，得，解得（3）证明 方法一 设过原点且平行于的直线则直线与的距离当时， 又双曲线的渐近线为 双曲线的右支在直线的右下方， 双曲线右支上的任意点到直线的距离大于。故在双曲线的右支上不存在点，使之到直线的距离为方法二 假设双曲线右支上存在点到直线的距离为，则由（1）得 设，当时，； 将代入（2）得， 方程不存在正根，即假设不成立，故在双曲线的右支上不存在点，使之到直线的距离为 需要更多的高考数学复习资料 请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.： 高考数学复习资料 知识点与方法技巧总结 例题精讲(详细解答) 或者搜.店.铺.： 龙奇迹学习资料网【例】设双曲线C：y21(a0)与直线l：xy1相交于两个不同的点A、B.(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；(2)设直线l与y轴的交点为P，且，求a的值解： (1)将y1x代入双曲线y21中得(1a2)x22a2x2a20 所以， 解得0a，且a1，又双曲线的离心率e，0a且a1， e且e.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)，(x1，y11)(x2，y21)由此得x1x2由于x1，x2都是方程的两根，且1a20，x2，x. 消去x2，得，a2，a. 由a0，得a.【例】已知倾斜角为的直线过点和点，在第一象限，.(1) 求点的坐标；(2)若直线与双曲线相交于、两点，且线段的中点坐标为，求的值；(3)对于平面上任一点，当点在线段上运动时，称的最小值为与线段距离. 已知点在轴上运动，写出点到线段的距离关于的函数关系式.解：(1) 直线方程为，设点，由及，得，点的坐标为（2）由得，设，则，得（3）(解法一)设线段上任意一点坐标为，记，当时，即时，当，即时，在上单调递减，；当，即时，在上单调递增，综上所述，(解法二) 过、两点分别作线段的垂线，交轴于、，当点在线段上，即时，由点到直线的距离公式得：；当点的点在点的左边，时，；当点的点在点的右边，时，综上所述，【例】设A，B分别为双曲线1(a0，b0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线yx2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使t，求t的值及点D的坐标解：(1)由题意知a2，一条渐近线为y x.即bx2y0.b23双曲线的方程为1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1x2tx0，y1y2ty0.将直线方程代入双曲线方程得x216x840，则x1x216，y1y212.t4，点D的坐标为(4，3)需要更多的高考数学复习资料 请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.： 高考数学复习资料 知识点与方法技巧总结 例题精讲(详细解答) 或者搜.店.铺.： 龙奇迹学习资料网方法回顾1. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交。2. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切。（内切：P在右支；外切：P在左支）3. 若在双曲线（a0,b0）上，则过的双曲线的切线方程是。4. 若在双曲线（a0,b0