西科大网络教育线性代数指导书练习题参考答案.doc

莈薆肁膅莄薅膃蒀蚃薄袃芃蕿薃羅葿蒅薂肇芁莁薁膀肄虿蚀衿芀薅蚀羂肃蒁虿膄芈蒇蚈袄膁莃蚇羆莆蚂蚆肈腿薈蚅膁莅蒄蚄袀膇莀螄羃莃芆螃肅膆薄螂螄莁薀螁羇芄蒆螀聿葿莂蝿膁节蚁螈袁肅薇螈羃芁蒃袇肆肃荿袆螅艿芅袅羈肂蚄袄肀莇薀袃膂膀蒆袂袂莅莁袂羄膈蚀羁肇莄薆羀腿膇蒂罿袈莂莈薆肁膅莄薅膃蒀蚃薄袃芃蕿薃羅葿蒅薂肇芁莁薁膀肄虿蚀衿芀薅蚀羂肃蒁虿膄芈蒇蚈袄膁莃蚇羆莆蚂蚆肈腿薈蚅膁莅蒄蚄袀膇莀螄羃莃芆螃肅膆薄螂螄莁薀螁羇芄蒆螀聿葿莂蝿膁节蚁螈袁肅薇螈羃芁蒃袇肆肃荿袆螅艿芅袅羈肂蚄袄肀莇薀袃膂膀蒆袂袂莅莁袂羄膈蚀羁肇莄薆羀腿膇蒂罿袈莂莈薆肁膅莄薅膃蒀蚃薄袃芃蕿薃羅葿蒅薂肇芁莁薁膀肄虿蚀衿芀薅蚀羂肃蒁虿膄芈蒇蚈袄膁莃蚇羆莆蚂蚆肈腿薈蚅膁莅蒄蚄袀膇莀螄羃莃芆螃肅膆薄螂螄莁薀螁羇芄蒆螀聿葿莂蝿膁节蚁螈袁肅薇螈羃芁蒃袇肆肃荿袆螅艿芅袅羈肂蚄袄肀莇薀袃膂膀蒆袂袂莅莁袂羄膈蚀羁肇莄薆羀腿膇蒂罿袈莂莈薆肁膅莄薅膃蒀蚃薄袃芃蕿薃羅葿蒅薂肇芁莁薁膀肄虿蚀衿芀薅蚀羂肃蒁虿膄 西科大网络教育线性代数指导书练习题参考答案1、计算排列3，2，1，4，5和3，4，1，2，5的逆序数，并说明奇偶性。答：32，31，21，所以3，2，1，4，5逆序数为3，是奇数；同理，31，32，41，42，所以3，4，1，2，5逆序数为4 ，是偶数。2、由行列式性质2（P26）知a11 a12 a13 a11 a12 a1310a21 10a22 10a23 10 a21 a22 a23 10220a31 a32a33 a31 a32 a333、答： 1 -2 5 01 -2 5 0 1 -2 5 0 1 -2 5 0D=-2 3 -8 -1 = 0 -1 2 -1 = 0 -1 2 -1 = 0 -1 2 -13 1 -2 40 7 -17 4 0 0 -3 -3 0 0 -3 -31 4 2 -50 6 -3 -5 0 0 9 -11 0 0 0 -20=1(-1)(-3)(-20)=60（用行列式性质化上三角行列式）4、答：1 0 -12 0 1 0 1 2D=1 2 0 ,M11= 3 2 =4,M12= -1 2 =2,M13= -1 3 =5 -1 3 21A11=（-1）1+1M11=4，A12=（-1）1+2M12=-2，A13=（-1）1+3M13=51 1 1 11 4 16 645、答：D4= 4 3 7 -5 1 3 9 2716 9 49 25 = 1 7 49 343 =（-5-4）（-5-3）（-5-7）（7-4）64 27 343 -125 1 -5 25 -125 （7-3）（3-4）=10368P426、答： 1 2 -1 2 1 2 -1 2 1 2 -1 -8 1 2 -8D= 3 0 1 5 = 3 0 1 5 =3 0 1 15 =（-1）4+3（-1） 3 0 151 -2 0 3 0 -4 1 1 0 -4 1 11 04 11-2 -4 1 6 0 0 1 10 0 0 -1 01 2 -13 2 -13 2 -13= 3 0 0 =3（-1）2+1 =-3 =32（-15）=900 -4 11 -4 11 0 -15（尽可能出现较多0，注意行列变换时，要在前自加“-”号）7、答：0 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0D= 1 0 1 1 = 3 0 1 1 =3 1 0 1 1 =3 1 -1 0 01 1 0 1 3 1 0 1 1 1 0 1 1 0 -1 01 1 1 0 3 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 -1=31（-1）（-1）（-1）=-38、答：x+y-2z=-4 1 1 -2 1 0 0-7 31 -7 -315x-2y-7z=-7 A= 5 -2 -7 = 5 -7 31 = = =142x-5y-3z=1 2 -5 -3 2 -7 -13-7 13 0 -2 -4 1 -2 0 -19 -14 -19 -1419 1419 14A1=-7 -2 -7 = 0 -37 -28 = = = =141 -5 -3 1 -5 -3 -37 -2837 28 -1 0 1 -4 -2 1 -2 -2 1 -2 -2 5 -75 -7A2 = 5 -7 -7 = 5 0 -7 = 5 0 -7 =(-2)(-1)1+2 =2 =-14 2 1 -3 2 4 -3 4 0 -74 -7-1 0 1 1 -4 1 0 -4 1 0 -4 1 -4 1 -4A3 = 5 -2 -7 = 5 -7 -7 = 5 -7 -7 =(-7)(-1)2+2 =-7 =282 -5 1 2 -7 1 -3 0 8 -3 8 -3 0 由克莱姆法则x = =1, y = =-1, z = =2 x=1线性方程组解为 y=-1 z=29、答：设f(x)=ax3+bx2+cx+d (a0),由f(0)=0,f(1)=-1,f(2)=4,f(-1)=1 0+0+0+d=0 d=0得： a+b+c+d=-1 a+b+c=-1 8a+4b+2c+d=4 8a+4b+2c=4 +得2b=0b=0-a+b-c+d=1 -a+b-c=1 a+c=-1a=1 8a+2c=4 c=-2 f(x)=x3-2x10、答： 1 a1 a12a1n-11 a2 a22a2n-1 范得蒙行列式(ai-aj)0 系数行列式A= 1jin1 an an2ann-1aiaj(ij;i,j=1,2,n) 1 a1 a1n-1 1 1 a12 a1n-1A1= 1 a2 a2n-1 =A, A2= 1 1 a22 a2n-1 =0,同理，A3=A4=An=0 1 an ann-1 1 1 an2 ann-1由克莱姆法则x1= = =1,x2 = 0=x3=xn=0线性性方程组解为 x1=1x2=0xn=02 1 -1-4 3 32 1 -1-4 3 -311、答：由-3 1 1 -2x= 1 -1 -3 得 -3 -1 1 - 1 -1 -3 =2x6 2 2 3 -1 12x= -4 0 4 x= -2 0 21 2 3 1 2 0 11+20+33 4 -1 10 4 -112 、答：AB= -2 1 2 0 1 1 = 4 -3 -1 = 4 3 -13 0 -1 1 -1 3 -1 1 2 3 2 7 6 813、答：AB= 1 -2 1 3 0 -1 1 = -5 3 5 32 2 1 2 2 -5 2 -5(AB)T= 7 3 BTAT=(AB)T= 7 36 5 6 58 3 8 3a b 2 -1 0 1 1 2 a=1,b=214、答：由 = = 得c d b -c 1 0 -c b c=-c,d=ba=1,b=2,c=0,d=215、答：A为任一方阵 （A+AT）T=AT+（AT）T=AT+A=A+AT（AAT）T=（AT）TAT=AAT（矩阵性质）A+AT，AAT均为对称阵16、答：n阶方阵可逆 0，且AA-1=In=1 = A* =In （A*）-1= 同时可证明（A*）-1=（A-1）* 17、答：3-2| 0 05-3| 0 0A1 03 -2A=-|- =A1= 0 0 |3 40 A25 -30 0 | 1 2A1*=-3 2A1 =1A1 = =A1*= -3 2-5 3, -5 33 42 -42 -41 -2A2 =12A2*= -1 3 A2 =2, A2-1 = -1 3 = A1-1 0 -3 2 0 0A-1= P 90 5 3 0 00 A2-10 0 1 -20 0 18、答：方法1：P80方法 方法2： 1 4 -3|1 0 0 1 -4 -3 1 0 0 1 5 -3|0 1 0 0 -1 0 -1 1 0 -1 6 4|0 0 1 0 0 1 -1 2 1 1 -4 0 -2 6 3 1 0 0|2 2 3 0 1 0 1 -1 0 0 1 0|1 1 00 0 1 -1 2 1 0 0 1|-1 2 12 2 3A-1= 1 -1 0-1 2 1P107-108，注意：用初等变换方法求逆矩阵时只用行初等或只用列初等变换，不能行列初等变换混用，即一直用行初等或列初等变换使（A，I） （I，A-1）19、答：AX=B，若A-1存在，则A-1AX=A-1B 即X=A-1B1 1 -1 1 1 -1|1 0 0 1 1 -1 1 0 0A= 0 2 2 0 2 2 |0 1 0 0 2 2 0 1 01 -1 0 , 1 -1 0|0 0 1 0 2 1 -1 0 1 1 1 -1 1 0 0 1 1 0 0 2 2 0 1 0 0 2 0 0 0 3 -1 1 1 0 0 3 -1 1 1 1 1 0 1 0 0| 1 0 0 0 1 1 | 0 0 1 0 0 1| 1 -1A-1= X=A-1B= 1 1 2 1 = 1 1 0 2|1 0 0 1 0 2 1 0 020、答：（A，I）= 0 3 4|0 1 0 0 3 4 0 1 0 -1 1 0|0 0 1 0 1 2 1 0 11 0 2 1 0 0 1 0 2 1 0 0 1 0 2 1 0 0 0 1 2 1 0 1 0 1 2 1 0 1 0 1 2 1 0 1 0 3 4 0 1 0 0 0 -2 -3 1 -3 0 0 1 1 0 0| -2 1 -3-2 1 -30 1 0| -2 1 -2 A-1= -2 1 -20 0 1| 此题也可只用么列初等变换使 A II A-1 用A-1= A*求也方便。 -1 21、答：方法同20题。 A-1=-1 1 0 0 1 -2 0 0 -2 5 0 022、答：方法同17题。A-1=0 0 0 0 23、答：1=22-3 向量1,2,3线性相关。24、答：设有实数x1,x2,x3,使x11+x22+x33=0, 则 2x1-x2=03x1+4x2=02x3=0x1=0显然 x2=01,2,3线性无关。x3=0或： 2 -1 03 4 0 0, 1,2,3线性无关。(P141引理)0 0 21 1 2 2 1 1 1 2 2 125、答：A= 0 2 1 5 -1 0 2 1 5 -1 2 0 3 -1 3 0 -2 -1 -5 11 1 0 4 -1 0 0 -2 2 -2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 0 2 1 5 -1 0 2 1 5 -10 0 0 0 0 0 0 -2 2 -2 (A)=30 0 -2 2 -2 0 0 0 0 0注：1）求矩阵的有3种方法a用求极大线性无关组方法b初等变换求矩阵秩c行列式法求矩阵秩（正式） 2）学用初等变换法求矩阵秩，此时可用行变换，也可用列变换，只要将A化为三角形矩阵（上、下三角形均可）求对角矩阵，再数一下主对角线上非重元素个数即为(A)。 3）对向量组的秩。可将它化为矩阵来求秩。见下题。 11 0 -126、答：设A=（1,2,3,4）= 2 = -2 3 1 3 2 1 -1 43 2 -41 0 -11 0 -11 0 -11 0 -10 3 -10 1 10 1 10 1 10 1 1 0 3 -1 0 0 -4 0 0 -40 2 -10 2 -10 0 -30 0 0(A)=3 1,2,3,4的秩为3。 1 -2 2 3 也可设A=0 3 1 2 , (A)=3-1 1 -1 -4 27、答：设存在x1,x2,x3使=x11+x22+x33x1+3x2-2x3=41 3 -2x1 43x1+2x2-5x3=11或= 3 2 -5 x2 = 11 即 2x1+x2+x3=3 2 1 1 x3 31 3 -2 1 3 -2 -7 1 -6 1 3 2 -5 = 0 -7 1 = = =3002 1 1 0 -5 5-5 50 54 3 -2 10 5 0 1 4 -2 1 4 -2A1= 11 2 -5 = 26 7 0 =70-526=-60,A2= 3 11 -5 = 0 -1 1 =03 1 1 3 1 1 2 3 1 0 -5 5由克莱姆法则x1=-60-30 =2,x2=0 代入x3=-1 =21-3x11 3 -2 -1 4注：求x1,x2,x3也可用 x2 = 3 2 -5 11x3 2 1 1 31 3 -2| 4 初等行变换 1 0 0| 2 x1 2或用增矩阵 3 2 -5 | 11 0 1 0| 0 此时 x2 = 0 2 1 1 | 3 0 0 1| -1 x3 -1 1 1 -1 1 1 1 1 -1 1 -1 128、答:= 2 = 1 1 -1 2 2 = 1 1 -1 23 -1 1 1 3 3 -1 1 1 31 -1 1|1 0 0 1 -1 1 1 0 0 1 -1 1 1 0 0 1 1 -1|0 1 0 0 2 -2 -1 1 0 0 1 -1 0-1 1 1|0 0 1 0 0 2 1 0 1 0 0 1 0 1 -1 0 0 1 0 0| 0 0 1 0 0 0 1 0| 0 0 0 1 0 0 0 1| 0 1 -1 1 -1 0 1 1 -1 = 0 -1 1 1 0 1 01 1=1+2 2 = 0 =2 2= 2+33 0 3 3= 1+ 329、答：1、2=-1-3 1,2,3线性相关。 1 -2 3 1 -2 3 1 -2 3或 0 2 -5 = 0 2 -5 = 0 2 -5 =0 1,2,3线性相关。-1 0 2 0 -2 5 0 0 02、1+2=3 1,2,3线性相关。30、答：1、对。设有x1,x2,x3,使x1(1+2)+x2(2+3)+x3(3+1)=0则（x1+x3）1+(x1+x2)2+(x2+x3)3=0x1+x3=0 1 0 11,2,3线性无关 x1+x2=0其系数行列式 1 1 0 =20x2+x3=00 1 1方程组有唯一解x1=x2=x3=0 1+2,2+3,3+1 线性无关2、错。设有x1,x2,x3,x4,使x1(1+2)+x2(2+3)+x3(3+4)+x4(4+1)=0则(x1+x4)1+(x1+x2)2+(x2+x3)3+(x3+x4)4=0x1+x4=0 1,2,3,4线性无关 x1+x2=0 x2+x3=0x3+x4=01 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 -1 1 1其系数行列式 1 1 0 0 = 1 1 0 -1 = 1 1 0 0 1 1 = 1 1 =00 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 10 0 1 1 0 0 1 1方程组有非实解（如x1=1,x2=-1,x3=1,x4=-1）1+2,2+3,3+4,4+1线性相关。 31、答：以构造矩阵1 0 3 1 2 1 0 3 1 21 0 3 1 2 A= -1 3 0 -1 1 为方便求极大元素组 0 3 3 0 30 0 0 0 02 1 7 2 50 1 1 0 1 0 1 1 0 14 2 14 0 6 初等行变换 0 2 2 -4 -20 0 0 -4 -41 0 3 1 2 (A)=3,含3个向量的一个极大线性元素0 1 1 0 1组，三个非原行的主列在1，2，4列，故0 0 0 -4 -4 1,2,4为向量组的一个极大元素组。0 0 0 0 0123451 0 3 1 21 0 3 1 21 0 3 0 1 3=31+2+040 1 1 0 10 1 1 0 10 1 1 0 15=1+2+40 0 0 -4 4 0 0 0 1 1 0 0 0 1 10 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0注：这里取三个非原行的主列所在的为向量组的一个极大元素组，且因为其所构成矩阵行列式不为零，此向量组必线性无关，对A用初等行变换（不用列变换）是因为保持1,2位置不变，否则要变换，麻烦。从简化的阶梯形矩阵中容易找到35由1,2,4线性变出时前的系数。 1 2 0 1|3x1+2x2+x4=332、答：=(Ab)= 2 -1 1 1|1 即 2x1-x2+x3+x4=1 有3个方程0 1 0 0|2 x2=24个未知量。 1 -1 2| 31 -1 2 3 1 -1 2 333、答: = -1 3 -1|-1 0 2 1 2 0 2 1 20 2 1| 20 2 1 2 0 0 0 01 0 4(A)=()=23 方程有无穷多个解。0 2 1 23-2=1，1个基础解系（对应各方程组）0 0 0 0x1=4-x3取待解:x3=0,x4=4,x2=1(令x3=1,x1=-,x1=对应各2x2=2-x3得基础解系y=次方程组） 41x1=+4原方程组解为X=1+ 即x2=+1(R) 01x3=1 1 -1 2 11 1 0 5 01 1 0 0 034、答：系数矩阵A=0 0 1 3 -1 0 0 1 3 -10 0 1 0 -10 0 2 1 -20 0 0 -5 00 0 0 1 0x1+x2=0 x1=-x2秩为3，基础解系有5-3=2个向量。x3-x5=0 x3=x5x4=0 x4=0-10-10取y1= 1 y2= 0 原方程解为1y1+2y2=1 1 +20 010100000101(1,2R) 1 2 -1 3 1 21 2 -1 3 1 235、答：= 2 4 -2 6 3 6 0 0 0 0 1 2-1 -1 1 -1 3 40 0 0 2 4 61 2 -1 3 1 21 2 -1 0 -5 -7 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 20 0 0 1 2 30 0 0 1 0 -11 2 -1 0 0 3 0 0 0 0 1 2 (A)=()=355-3=2个相伴各次方程 0 0 0 1 0 -1组的基础解系。 3x1+2x2-x3=3 0x1=-2x2+x3 x5=2 待解 = 0 对应各次方程组 x4=0x4=-1 -1x5=0 2取x2=1,x3=0,得x1=-2,x4=x5=0, 取x2=0,x3=1,得x1=1,x4=x5=0 -2 1y1= 1 y2= 0 0 10 00 0 3 -2 1 0 1 0原线性系数方程为+1y1+2y2= 0 +1 0 +2 1 (1,2R) -1 0 0 2 0 0x1=-21+2+3 x2=1即 x3=2 (1,2R)x4=-1x5=2 1 1 0 -3 -1 1 1 0 -3 -1 1 1 0 -3 -136、答：A= 1 -1 2 -1 1 0 -2 2 2 20 1 -1 -1 -14 -2 6 -5 1 0 -6 6 7 5 0 0 0 1 -12 4 -2 4 -16 0 2 -2 10 -14 0 0 0 12 -121 1 0 -3 -1 1 1 0 0 -40 1 -1 -1 -1 0 1 -1 0 -20 0 0 1 -1 0 0 0 1 -1 （A）=350 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5-3=2个基础解系 x1+x2-4x5=0x1=-x2+4x5 令x2=1,x5=0 得x1=-1,x3=1,x4=0x2-x3-2x5=0 x3=x2-2x5 令x2=0,x5=1 得x1=4,x3=-2,x4=1x4-x5=0x4=x5 -1 4y1= 1 y2= 0 1 , -2 原线性方程组解为1y1+2y20 10 1 (1,2R )1 1 -3 -1|11 1 -3 -1 11 1 -3 -1 1 3 -1 -3 4|4 0 -4 6 7 1 0 -4 6 7 137、答：= 1 5 -9 -8|0 0 0 0 0 00 0 0 0 0(A)=(A)=24 4-2=2个对应各次方程组基础解系 x1+x2-3x3-x4=1 待解：x3=x4=0, x2=, x1= = -4x2+6x3+7x 0 x1= 0 x1+x2=3x3-x4 y1= x2= x3=14x2=6x3+7x4 x4=0y2=0原方程组解为+1y1+2y2 1 = +1 +2 01 000 1x1= 1+ 2+ x2= 1+ 2- 1,2R即 x3=1x4=2 1 1 1 1 1 a 1 1 1 1 1 a38、答：= 3 2 1 1 -3 0 0 -1 -2 -2 -6 -3a 0 1 2 2 6 b 0 1 2 2 6 b5 4 3 3 -1 2 0 1 2 2 6 2-5a1 1 1 1 1|a 0 -1 -2 -2 -6|-3a0 0 0 0 0|b-3a0 0 0 0 0|2-2a b-3a=0 a=1 时有解。当（A）=（）时有解，此时 2-2a=0b=3 1 1 1 1 1 1 x1+x2+x3+x4+x5=1 秩为25 5-2=3相伴各此时 0 1 2 2 6 3x2+2x3+2x4+6x5=3 次方程组有3个基础解向0 0 0 0 0 0量。0 0 0 0 0 0 -2 令x3=x4=x5=0,x2=3,x1=2 故待解：= 3 0 0 0x1+x