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静电场计算题 1.如图所示，真空中一长为L的均匀带电细直杆，总电荷为q，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d的P点的电场强度 Lddqx(L+dx)dExO解：设杆的左端为坐标原点O，x轴沿直杆方向带电直杆的电荷线密度为l=q / L，在x处取一电荷元dq = ldx = qdx / L，它在P点的场强： 2分总场强为 3分方向沿x轴，即杆的延长线方向 2.一个细玻璃棒被弯成半径为R的半圆形，沿其上半部分均匀分布有电荷+Q，沿其下半部分均匀分布有电荷Q，如图所示试求圆心O处的电场强度 解：把所有电荷都当作正电荷处理. 在q处取微小电荷 dq = ldl = 2Qdq / p它在O处产生场强 2分按q角变化，将dE分解成二个分量： 3分对各分量分别积分，积分时考虑到一半是负电荷0 2分 2分所以 1分3.如图所示，一电荷面密度为s的“无限大”平面，在距离平面a处的一点的场强大小的一半是由平面上的一个半径为R的圆面积范围内的电荷所产生的试求该圆半径的大小 解：电荷面密度为s的无限大均匀带电平面在任意点的场强大小为 E=s / (2e0) 2分以图中O点为圆心，取半径为rrdr的环形面积，其电量为 dq = s2prdr 2分它在距离平面为a的一点处产生的场强 2分则半径为R的圆面积内的电荷在该点的场强为 2分由题意,令E=s / (4e0)，得到R 2分ABRO4.电荷线密度为l的“无限长”均匀带电细线，弯成图示形状若半圆弧AB的半径为R，试求圆心O点的场强 解：以O点作坐标原点，建立坐标如图所示 半无限长直线A在O点产生的场强， 2分半无限长直线B在O点产生的场强， 2分半圆弧线段在O点产生的场强， 2分由场强叠加原理，O点合场强为 2分5. OBA将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为l，四分之一圆弧AB的半径为R，试求圆心O点的场强 解：在O点建立坐标系如图所示 半无限长直线A在O点产生的场强： 2分半无限长直线B在O点产生的场强： 2分四分之一圆弧段在O点产生的场强： 4分由场强叠加原理，O点合场强为： 2分y6.图中虚线所示为一立方形的高斯面，已知空间的场强分布为： Exbx， Ey0， Ez0 aOzx a a a高斯面边长a0.1 m，常量b1000 N/(Cm)试求该闭合面中包含的净电荷(真空介电常数e08.8510-12 C2N-1m-2 )解：设闭合面内包含净电荷为Q因场强只有x分量不为零，故只是二个垂直于x轴的平面上电场强度通量不为零由高斯定理得：-E1S1+ E2S2=Q / e0 ( S1 = S2 =S ) 3分则 Q = e0S(E2- E1) = e0Sb(x2- x1) = e0ba2(2aa) =e0ba3 = 8.8510-12 C 2分7.真空中一立方体形的高斯面,边长a0.1 m，位于图中所示位置已知空间的场强分布为： Ex=bx , Ey=0 , Ez=0常量b1000 N/(Cm)试求通过该高斯面的电通量 解： 通过xa处平面1的电场强度通量 F1 = -E1 S1= -b a3 1分通过x = 2a处平面2的电场强度通量 F2 = E2 S2 = 2b a3 1分其它平面的电场强度通量都为零因而通过该高斯面的总电场强度通量为 F = F1+ F2 = 2b a3-b a3 = b a3 =1 Nm2/C 3分8. 图示一厚度为d的“无限大”均匀带电平板，电荷体密度为r试求板内外的场强分布，并画出场强随坐标x变化的图线，即Ex图线(设原点在带电平板的中央平面上，Ox轴垂直于平板) E2E2E1E1S2S12x解：由电荷分布的对称性可知在中心平面两侧离中心平面相同距离处场强均沿x轴，大小相等而方向相反 在板内作底面为S的高斯柱面S1（右图中厚度放大了）, 两底面距离中心平面均为x, 由高斯定理得 则得 xExOd/2-d/2-即 4分 在板外作底面为S的高斯柱面S2两底面距中心平面均为，由高斯定理得 则得 即 ， 4分E x 图线如图所示 2分9.一半径为R的带电球体，其电荷体密度分布为 r =Ar (rR) ， r =0 (rR)A为一常量试求球体内外的场强分布解：在球内取半径为r、厚为dr的薄球壳，该壳内所包含的电荷为 在半径为r的球面内包含的总电荷为 (rR)以该球面为高斯面，按高斯定理有 得到 ， (rR)方向沿径向，A0时向外, AR)方向沿径向，A0时向外，A2R)求两球心间的电势差 解：均匀带电球面内的电势等于球面上的电势球面外的电势相当于电荷集中在球心上的点电荷的电势由此，按电势叠加原理球心O1处的电势为： 2分球心O2处的电势为： 2分则O1、O2间的电势差为： 1分21.一电子射入强度的大小为5000 NC-1的均匀电场中，电场的方向竖直向上电子初速度为v0107 ms-1，与水平方向成q30角，如图所示求电子从射入位置上升的最大高度(电子的质量m9.110-31 kg，电子电荷绝对值e1.610 -19 C) 解：电子在电场中作斜抛运动，忽略重力，在竖直方向上有： ayeE / m 1分vy v0sinqeEt / m 1分 1分电子上升至最高点的条件是vy0，于是有： v0sinqeEt1 / m0 t1 = mv0sinq / (eE) 1分 m 1分22.在真空中一长为l10 cm的细杆上均匀分布着电荷，其电荷线密度l 1.010-5 C/m在杆的延长线上，距杆的一端距离d10 cm的一点上，有一点电荷q0 2.010-5 C，如图所示试求该点电荷所受的电场力(真空介电常量e08.8510-12 C2N-1m-2 )解：选杆的左端为坐标原点，x轴沿杆的方向 在x处取一电荷元ldx，它在点电荷所在处产生场强为： 3分整个杆上电荷在该点的场强为： 2分点电荷q0所受的电场力为： 0.90 N 沿x轴负向 3分23.如图所示，有一高为h的直角形光滑斜面, 斜面倾角为a在直角顶点A处有一电荷为q的点电荷另有一质量为m、电荷q的小球在斜面的顶点B由静止下滑设小球可看作质点，试求小球到达斜面底部C点时的速率 解：因重力和电场力都是保守力，小球从顶点B到达底部C点过程中能量守恒 3分 2分24.一半径为R的均匀带电细圆环，其电荷线密度为l，水平放置今有一质量为m、电荷为q的粒子沿圆环轴线自上而下向圆环的中心运动(如图)已知该粒子在通过距环心高为h的一点时的速率为v1，试求该粒子到达环心时的速率 解：带电粒子处在h高度时的静电势能为 2分到达环心时的静电势能为 2分据能量守恒定律 2分以上三式联立求解得到 2分 25.如图所示，两个电荷分别为q12010-9 C和q21210-9 C的点电荷，相距5 m在它们的连线上距q2为1 m处的A点从静止释放一电子，则该电子沿连线运动到距q1为1 m处的B点时，其速度多大？(电子质量me9.1110-31 kg，基本电荷e1.610-19 C，9109 Nm2/C2 ) 解：设无限远处为电势零点，则A、B两点的电势为： 代入r1=4 m，r2=1 m 得 UA63 V 2分 代入1 m，4 m得 UB153 V 2分电子在运动过程中，电势能减少，动能增加 2分 8.71106 m/s 2分26.两个同心的导体球壳，半径分别为R10.145 m和R20.207 m，内球壳上带有负电荷q-6.010-8 C一电子以初速度为零自内球壳逸出设两球壳之间的区域是真空，试计算电子撞到外球壳上时的速率(电子电荷-1.610-19 C，电子质量me9.110-31 kg，e08.8510-12 C2 / Nm2）解：由高斯定理求得两球壳间的场强为 2分方向沿半径指向内球壳电子在电场中受电场力的大小为 2分方向沿半径指向外球壳电子自内球壳到外球壳