[理学]02平面力系.ppt

力 系,静力学,基本概念,力系分为：平面力系(planar force system) 空间力系(space force system),简单力系：指的是汇交力系、力偶系。,例：起重机的挂钩。,静力学,21 平面汇交力系合成与平衡的几何法、解析法 22 平面力对点之矩的概念及计算及平面力偶 23 平面任意力系向作用面内一点简化 24 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 25 物体系的平衡静定和超静定问题 26 平面桁架内力计算,第二章 平面力系,静力学,静力学,2-1平面汇交力系合成与平衡的几何法、解析法,一、几何法,2. 任意个共点力的合成,力多边形,1.两个共点力的合成,由余弦定理：,结论：,即：,3、平面汇交力系平衡的几何条件,平面汇交力系平衡的充要条件是：,F1,Fi,F2,F3,FR,Fn,静力学,例 已知压路机碾子重P=20kN, r =60cm, 欲拉过h=8cm的障碍物。 求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。,又由几何关系：,选碾子为研究对象,取分离体画受力图,解：,碾子对障碍物的压力等于23.1kN。,静力学,二、 平面汇交力系合成与平衡的解析法,1、力在坐标轴上的投影,X=Fx=Fcosa ： Y=Fy=Fsina=F cosb,静力学,2、合力投影定理,由图可看出，各分力在 x 轴和在y 轴投影的和分别为：,合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一 轴上投影的代数和。,即：,静力学,合力的大小： 方向： 作用点：,为该力系的汇交点,3、平面汇交力系合成与平衡的解析法,平衡方程,静力学,例 图示连杆机构，已知Q、R，求图示位置平衡时，Q 与 R的关系。,解：1、研究对象： A铰,结构,60,30,90,45,B铰,设杆受拉力，则力背离铰链， 受压力，则力指向铰链，,静力学,A 铰,B 铰,A铰,2、平衡方程,x,y,x,y,X=0,Q SBA cos450 = 0,SAB R cos300 = 0,B铰,Y=0, SBA=SAB,讨论：,取AB为研究对象,x,y,静力学,X=0,Qcos450+ SCA cos450 Rcos300 = 0,讨论：,取AB为研究对象,x,y,45,90,30,60,Y=0,-Qsin450+ SCA sin450 Rsin300 SDB = 0,静力学,TBD=G,例题 井架起重装置简图如图所示，重物通过卷扬机D由绕过滑轮B的钢索起吊。起重臂的A端支承可简化为固定铰支座，B端用钢索BC支承。设重物E重G=20KN，起重臂的重量、滑轮的大小和重量索及钢的重量均不计。求当重物E匀速上升时起重臂AB和钢索BC所受的力。,解：1、取滑轮连同重物E为研究对象，受力分析：,TBD=G, Y = 0, X = 0,FAB = 45 kN,- TBC cos300 - TBD cos450 + FAB cos600= 0,TBC = 9.65 kN,- TBC cos600 - TBD cos450 + FAB cos300-G= 0,2、取汇交点B为坐标原点，建立坐标系：,3、列平衡方程并求解：,300,静力学,TBD=G, X = 0,- TBD sin150+ FAB sin300-Gsin600= 0, Y = 0,FAB = 45 kN,- TBC - TBD cos150 + FAB cos300-Gcos600= 0,TBC = 9.65 kN,解二：,静力学,例,求：平衡时，压块C对工件与地面的压力，AB杆受力.,已知： F=3kN, l=1500mm, h=200mm，忽略自重；,AB、BC杆为二力杆. 取销钉B.,解：,选压块C,例：结构如图所示，已知主动力F，确定铰链O、B约束力的方向（不计构件自重）,1、研究OA杆,2、研究AB杆,静力学,1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。,解题技巧及说明：,3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一个 未知数。,2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或特殊，都用解析法。,4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。,5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件， 一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压力。,静力学,作业 2-3 2-4,2-2 平面力矩概念及计算 平面力偶,说明：,单位Nm,静力学,静力学,定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所有各分力对同一点的矩的代数和 即：,二、合力矩定理,静力学,例 已知：如图 F、Q、l, 求： 和,解：用力对点的矩法 应用合力矩定理,静力学,例 已知：机构如图，F = 10kN， 求：MA(F) = ?,解:,方法一:,MA(F) = - F d = - 10 0.6 sin600,方法二:,MA(F) = - F cos300 0.6 + 0 = - 10 0.6 cos300,Fx = Fcos300,MA(Fx),Fy = - Fsin300,MA(Fy) = 0,MA(F) = MA(Fx) + MA(Fy),静力学,由合力矩定理,得,解：,取微元如图,例 如图所示，求F对A点的矩。,解一：应用合力矩定理,解二：由定义,静力学,三、平面力偶及其性质（couple and its properties),力偶：两力大小相等，作用线不重合的反向平行力叫力偶。,d,单位：N m,静力学,性质1：力偶既没有合力，本身又不平衡， 是一个基本力学量。,F,F/,a b c d,a b,F,静力学,力偶中两力所在平面称为力偶作用面.,力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂.,性质2：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩， 而与矩心的位置无关，因此力偶对刚体的效应用力偶矩度量。,d,力偶矩：力与力偶臂的乘积,记作M（F，F/） 简记为M,静力学,性质3：平面力偶等效定理 作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小相等，转向相同，则该两个力偶彼此等效。,静力学,静力学,试分析M0对图中A点产生的力偶矩。,试分析图中圆轮O的受力，比较二图的异同。,静力学,四、平面力偶系的合成,设有两个力偶,d,d,静力学,平面力偶系平衡,结论:,静力学,例：示矩形板，边长分别为a、2a，各受大小相等、方向相反的力偶作用，试画出整体和两板的受力图。,静力学,例 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径的孔,每个钻头的力偶矩为 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?,解: 合力偶距,平面力偶系平衡,静力学,例 图示结构，求A、B处反力。,解：1、取研究对象,整体,2、受力分析,特点：力偶系,3、平衡条件,mi=P 2aYA l=0,思考：约束力有什么变化？,m i= 0,P 2aRB cos l=0,静力学,例题. 图示铰链四连杆机构OABO1处于平衡位置.已知OA=40cm, O1B=60cm, m1=1Nm,各杆自重不计.试求力偶矩m2的大小及杆AB所受的力.,静力学,解: AB为二力杆,SA = SB = S,S,S,S,S,取OA杆为研究对象., mi = 0,m2 0.6 S = 0,(1),取O1B杆为研究对象., mi = 0,0.4sin30o S - m1 = 0,(2),联立(1)(2)两式得:,S = 5,m2 = 3,静力学,提问. 不计自重的杆AB与DC在C处为光滑接触,它们分别受力偶矩为m1与m2的力偶作用 ,转向如图.问m1与m2的比值为多大,结构才能平衡?,m1,m2,静力学,RA,RC, mi = 0,AC = a,a R - m1 = 0,m1 = a R (1),静力学,RD,R C,CD = a, mi = 0,- 0.5aR + m2 = 0,m2 = 0.5 aR (2),静力学,例题 图示刚架，其上作用三个力偶，其中 F1= F2=5kN，m2=20kNm, m3= 9kNm, 试求支座A、B处的反力。,A,B,F2,F1,m3,1m,1m,1m,m1=F1 1=5kNm,静力学,m1 - m2+ m3+FB d =0,d,解：因为作用在刚架上的主动力全是力偶，则A、B处的约束反力一定形成力偶。根据平面力偶系的平衡方程：, mi = 0,5 - 20+ 9+FB ABsin300 =0,解得：,FA=FB=2.31kN,静力学,例题.图示物体系统中AC = CD = BE = EF = a 且CF = DE . 物体重量不计. 求支座A 和B 的约束反力.,静力学,解: 取整体为研究 对象画受力图。,RA,RB,d,RA = RB = R, mi = 0,RA = RB = R =,静力学,m,所以,练习下图中，求 A、C 两点处的支座反力。,静力学,练习 试求机构在图示位置保持平衡时主动力系的关系。其中 AO=d, AB=l。,曲柄AO,A,O,B,M,解：,1、研究对象：,滑块B,M,2、研究曲柄AO,静力学,思考题：,1、m可否又BC上移至AC上？,结构视为一体时，m可移动，若分开考虑，则m不能从一体移至另一体。,2.既然一个力不能与力偶平衡， 为什么下图的圆轮能平衡？,静力学,2、图示机构平衡时两力偶之间的关系？,m1,杆BC,分析整体,答案：,静力学,力沿作用线移动：,力是滑动矢量。只适用于刚体，不适用于变形体及刚体系统。 反例为：绳子，,力线平移,静力学,力偶等效,思考题： 1、图示两结构是否等效？,2、力矩与力偶矩的异同？,静力学,小 结,力对点之矩是度量力使刚体绕一点转动效应的力学量，空间问题中为矢量，平面问题中为代数量； 力对轴之矩是度量力使刚体绕一轴转动效应的力学量，为代数量，由右手螺旋法则判断正负号； 力对点之矩在轴上的投影等于力对轴之矩； 力偶对刚体的作用效应仅为转动，力偶不能与一个力等效，也不能与一个力平衡； 力偶对刚体的转动效应决定于其三要素； 力偶等效条件，合力（偶）矩定理； 力偶系平衡的充要条件是： S M i =0。,静力学,作业 2-6 2-7,平面任意力系：各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点又不相互平行的力系。,例,力系向一点简化：把未知力系（平面任意力系）变成已知 力系（平面汇交力系和平面力偶系）,静力学,平面力系 平面力系的简化和平衡。,静力学,一、力线平移定理 (Theorem of translation of a force),观察试验：手推粉笔盒,B,2.3 平面任意力系向一点的简化,静力学,广泛应用：,打乒乓球、攻丝,旋球,静力学,二 平面一般力系向一点简化,静力学,大小： 主矩MO 方向： 方向规定 + 简化中心： (与简化中心有关) （因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和）,（转动效应）,（移动效应）,主矢（Principal vector),主矩（Principal moment),静力学,平面固定端约束,固定端（插入端）约束,雨 搭,车 刀,静力学,三、平面一般力系的简化结果 合力矩定理,简化结果：主矢 ，主矩 MO 。, =0,MO0 主矩与简化中心O无关。, =0， MO =0, 0,MO =0, 简化结果就是合力 与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）,静力学, 0,MO 0,合力 的大小等于原力系的主矢 合力 的作用线位置,静力学,结论：合力矩定理,合力对任一点之矩等于各分力对同一点之矩的代数和。,A(x,y),例：,=xFy-yFx,mo(F) =Fd,静力学,例题 求图示力系合成的结果。,解:1、取o点为简化中心，建立图示坐标系：,主矢： FR/= Fi,主矩： Mo = mo(Fi),x,y,(2,1),5,12,cos=12/13,sin=5/13,(-3,2),450,M,F3,(0,-4),O,静力学,x,y,(2,1),5,12,cos=12/13,sin=5/13,(-3,2),450,M,F3,(0,-4),O,2、求力系的主矢,F/Rx = FiX=F1cos -F2cos45o + F3 = 70N,F/Ry= Fiy= F1sin + F2sin45o = 150N,静力学,x,y,(2,1),5,12,(-3,2),450,M,F3,(0,-4),O,3、求力系的主矩,Mo = mo(Fi)= - F1 cos 1 + F1 sin 2 + F2 cos 450 2 - F2 sin 450 3 + M + F3 4=580Nm,因为主矢、主矩均不为0，所以简化的最终结果将为一个合力， 此合力的大小和方向与主矢相同。,F1X,F1y,F2X,F2y,Mo,静力学,x,y,(2,1),5,12,(-3,2),450,M,F3,(0,-4),O,F1X,F1y,F2X,F2y,Mo,4、求合力的作用线位置：,所以简化的最终结果为一个合力FR 。,x,静力学,上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。,2-4 平面任意力系的平衡条件与平衡方程,静力学,例 已知：P, a , 求：A、B两点的支座反力？,解：选AB梁研究 画受力图,解除约束,静力学,平面平行力系的平衡方程为：,平面平行力系的平衡方程,平面平行力系:,静力学,例题 平面刚架ABCD受力如图所示, q1=5kN/m, q2=10kN/m, m =20kN.m 。 求支座A的约束反力。,FAx,FAy,mA,解: 取平面刚架ABCD为研究对象画受力图,Q1 = q1 8 = 40,Q2 = 0.5 q2 12 = 60,Q1,Q2,静力学, Fx = 0,FAx + Q2 = 0,FAx = - Q2 = -60kN, Fy = 0,FAy - Q1= 0,FAy= Q1 = 40kN, mA(Fi) = 0,mA - 4 Q2 - 4 Q1 - m = 0,mA = 420kNm,列平衡方程求解:,静力学,例 图示简支梁上作用一分布载荷，其单位长度上受力的大小称为载荷集度(单位为牛顿/米)，其左端的集度为零，右端集度为 q。载荷的长度为 l，载荷的方向垂直向下。求支承处对梁的约束力。,首先在 O 点建立坐标系,第二步作受力分析,主动力为分布载荷（忽略重力），且为一平行力系,约束反力： O 为固定铰支座，A 为活动铰支座。,画出其反力,静力学,第三步，求主动力的合力,在坐标 x 处的载荷集度为 qx/l。在此处取的一微元dx，梁在微元段d x 受的力近似为 F(x) = qxdx/l。梁由 x=0 到 x=l 的分布载荷合力为,将该力系中心的位置坐标记为 xC,静力学,最后，利用平面力系的平衡方程求得 3 个未知的约束反力：,由：,由：,由：,静力学,例 已知：a,b,c,P,Q。 求：A、B处约束反力。,解：(1)明确对象，取分离体，画受力图. (2)列写适当平衡方程,由已知求未知。,静力学,其中,例,已知：,满载时，,为不安全状况,时,作业 2-9 2-10 2-12 2-13 2-16,静定（未知数三个） 静不定（未知数四个）,2-5物体系统的平衡静定与静不定问题的概念,静力学,静定,静不定,静不定问题,静力学,判断下面结构是否静定？,静力学,判断下面结构是否静定？,静力学,例,物体系统的平衡问题,外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。 内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。,物体系统（物系）：,静力学,例 已知：OA=R, AB= l , 当OA水平时，冲压力为P时， 求：M=？O点的约束反力？AB杆内力？冲头给导轨的 侧压力？,解：研究B,静力学,负号表示力的方向与图中所设方向相反,再研究轮,静力学,例 已知：图示梁，求：A、B、C处约束力。,mA,分析：,整体：,四个反力,不可直接解出,拆开：,BC杆三个反力,可解,故先分析BC杆，再分析整体或AC杆，可解。,mA,AC杆五个反力,不可解,静力学,解：1、取BC杆为研究对象,2、取整体为研究对象,XA= 0,静力学,XA= 0,（）,（）,（）,静力学,例,已知：P , a ,各杆重不计；,求：B 铰处约束力.,解：,取整体，画受力图,取DEF杆，画受力图,对ADB杆受力图,例,已知： a ,b ,P,各杆重不计， C,E处光滑；,求证：,AB杆始终受压，且大小为P.,解：,取整体，画受力图.,取销钉A，画受力图,取ADC杆，画受力图.,取BC，画受力图.,(压),刚体系平衡 系统中每个刚体平衡,例：已知 F，M ，AB = BC = L ，F 作用在BC杆的中点， 求 A、C 的约束力,静力学,方法一: 解：以 每个物体为研究对象, 画其受力图。,静力学,解：1、研究整体（刚化），画受力图,2、研究BC杆，画受力图,3、再研究整体,方法二：,静力学,思考-1,已知：如图所示结构，P和a.,求：支座A，B 处约束力.,解题思路：,先分析整体,再分析BC,总结：,一般先分析整体； 一般不拆滑轮； 矩心尽量取在较多未知力的交点上； 投影轴尽量与较多未知力相垂直。,思考-2,已知：如图所示结构，P，l，R.,求：固定端A处约束力.,解题思路：,先分析杆CD,再分析杆AB,总结：,二力杆的分析； 一般不拆滑轮。,作业 2-32 2-37 2-40,2-6 平面简单桁架Coplanar Truss的内力分析,静力学,工程实例,静力学,钱塘江桥。全长1453 米。中国第一座现代 化公路铁路两用双层 钢桁架梁桥。,武汉长江大桥。全长 1679米。于1957年建 成。跨度128米。,工程中的桁架结构,静力学,英国福斯湾桥。钢悬 臂桁架双线铁路桥。 跨度521米。1890年 建成。,北京首都国际机场 航空港内钢结构飞 机库。,静力学,静力学,静力学,静力学,底部斜框架轻易地跨越了大街，车流人流在塔下畅通无阻，更显铁塔的雄伟壮观。艾菲尔铁塔可谓建筑结构完美统一的代表。,静力学,平面桁架模型,静力学,1.各杆件为直杆，各杆轴线位于同一平面内；,2.杆件与杆件间均用光滑铰链连接；,3.载荷作用在节点上，且位于桁架几何平面内；,4.各杆件自重不计或平均分布在节点上。,桁架中每根杆件均为二力杆,关于平面桁架的几点假设：,理想桁架,桁架的实际节点,理想节点,静力学,平面桁架的构成,平面桁架先由三根杆与三个节点构成一个三角形，以后每增加一个节点增加两个杆件，从而得到几何形状不变的结构简单平面桁架。,静力学,计算杆件内力的方法, 节点法(Method of Joints) 取节点为研究对象，用平面汇交力系平衡方程求解。, 截面法(Method of Section) 适当地选取一截面，假想把桁架截开，考虑其中任一部分的平衡，应用平面力系平衡条件，求出被截杆件的内力。,静力学,解：研究整体，求支座反力,依次取A、C、D节点研究，计算各杆内力。,静力学,静力学,解： 研究整体求支反力,二、截面法,例 已知：如图，h，a，P 求：4，5，6杆的内力。,A,静力学,解法1:（节点法） 1、取整体为研究对象,受力分析如图.,列平衡方程：,例 如图平面桁架，求各杆内力。已知铅垂力P1=4 kN，水平力P2=2 kN。,联立求解： NB=2kN NAy=2kN NAx=-2kN,静力学,列平衡方程：,2、取节点A，受力分析如图。,联立求解：,NB=2kN NAy=2kN NAx=-2kN,静力学,列平衡方程：,3、取节点F，受力分析如图。