[理学]多元函数积分学习题课.ppt

多元函数积分学习题课,一、多元函数积分学内容的复习（略）,二、多元函数积分学有关例题,解：在区域 D内，显然有,故在D内,例2 估计积分大小,解：,在D内的最大值为4，最小值为1,区域D的面积为2,所以由性质6得,例3,解：,X-型,例4,解： （如图）将D作Y型,例5,解：,先去掉绝对值符号，如图,分析,积分区域可表示为X型区域,D: 1y1, 1xy.,D: 1x1, xy1.,积分区域也可表示为Y型区域,提问 哪个二次积分容易计算？,及yx所围成的闭区域,或,例6,解,积分区域可表示为X型区域,D: 1x1, xy1.,及yx所围成的闭区域,例6,例7 计算二重积分,其中:,(1) D为圆域,(2) D由直线,解: (1) 利用对称性.,围成 .,(2) 积分域如图:,将D 分为,添加辅助线,利用对称性 , 得,例8 计算二重积分,在第一象限部分.,解: (1),两部分, 则,其中D 为圆域,把与D 分成,作辅助线,(2) 提示:,两部分,说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号.,作辅助线,将D 分成,例9,证,位于柱面内的部分球面有两块 其面积是相同的,解:,例10 求球面x2y2z2a2含在圆柱面x2y2ax内部的那部分面积,由曲面方程,而,于是,解,球面与抛物面交线为,解,所围成的立体如图，,例12,所以,解: 在球坐标系下,利用洛必达法则与导数定义,得,其中,例13,例14,切平,例15,证,思路：从改变积分次序入手,例15,证,设函数 f (x) 连续且恒大于零,其中,(1) 讨论 F( t ) 在区间 ( 0, +) 内的单调性;,(2) 证明 t 0 时,(03考研),例16,解: (1) 因为,两边对 t 求导, 得,(2) 问题转化为证,即证,故有,因此 t 0 时,因,例17,解,例18,例19. 计算,其中 为曲线,解: 利用轮换对称性 , 有,利用重心公式知,(的重心在原点),例20,解,由对称性, 知,例21. 计算,其中L 是沿逆,时针方向以原点为中心,解法1 令,则,这说明积分与路径无关, 故,a 为半径的上半圆周.,解法2,它与L所围区域为D,(利用格林公式),思考:,(2) 若 L 同例2 , 如何计算下述积分:,(1) 若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分:,则,添加辅助线段,思考题解答:,(1),(2),例22计算,其中L为上半圆周,提示:,沿逆时针方向.,l,例23,L,解,(注意格林公式的条件),例27,解,解,解,例31,解,例32. 计算曲面积分,中 是球面,解:,用重心公式,例33,解,（左右两片投影相同）,解,解,(利用柱面坐标得),其中 为半球面,的上侧.,且取下侧 ,提示: 以半球底面,原式 =,记半球域为 ,高斯公式有,例36计算,为辅助面,利用,解,空间曲面在 面上的投影域为,曲面不是封闭曲面, 为利用高斯公式,故所求积分为,例38. 计算曲面积分,其中,解:,思考: 本题 改为椭球面,时, 应如何,计算 ?,提示:,在椭球面内作辅助小球面,内侧,然后用高斯公式 .,例39. 设 是曲面,解: 取足够小的正数, 作曲面,取下侧,使其包在 内,为 xoy 平面上夹于,之间的部分, 且取下侧 ,取上侧, 计算,则,第二项添加辅助面, 再用高斯公式 计算, 得,例40,利用高斯公式,解,则,即,例42,例43,例44,例45.,设L 是平面,与柱面,的交线,从 z 轴正向看去, L 为逆时针方向, 计算,解: 记 为平面,上 L 所围部分的上侧,D为在 xoy 面上的投影.,由斯托克斯公式,D 的形心,(1) 在任一固定时刻 , 此卫星能监视的地球表面积是,例46地球的一个侦察卫星携带的广角高分辨率摄,象机能监视其”视线”所及地球表面的每一处的景象并摄,像, 若地球半径为R , 卫星距地球表面高度为H =0.25 R ,卫星绕地球一周的时间为 T , 试求,(2) 在,解: 如图建立坐标系.,的时间内 , 卫星监视的地球,表面积是多少 ?,多少 ?,(1) 利用球坐标, 任一固定时刻监视的地球表面积为,(2) 在,时间内监视的地球表面积为