浙江专用2020版高考数学专题4三角函数4.4三角函数的最值与综合应用检测.docx

4.4三角函数的最值与综合应用挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点三角函数的最值与综合应用1.理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质(如单调性、最大值和最小值).2.会用三角函数解决一些简单的实际问题.2017浙江,18三角函数的最小正周期、单调区间三角函数的恒等变换2015浙江文,11三角函数的最小值与最小正周期三角函数的恒等变换2014浙江,17三角函数的实际应用函数的最值分析解读1.三角函数的最值问题是三角函数性质和三角恒等变换的综合应用,是数形结合的较好体现,是高考的热点.2.三角函数是基本初等函数,它是描述周期现象的重要模型,在数学和其他领域中具有重要的作用,在高考命题中,单摆、弹簧振子、圆上一点的运动,以及音乐、波浪、潮汐、四季变化等周期现象是新的命题背景,借此突出数学的应用性质,也是高考命题的关注点.3.预计2020年高考试题中,本节内容是高考命题的热点,复习时应高度重视.破考点【考点集训】考点三角函数的最值与综合应用1.(2018浙江镇海中学单元测试,12)函数f(x)=sin 2x+e|sin x+cos x|的最大值与最小值之差等于.答案e2+12.(2018浙江宁波模拟(5月),18(1)已知函数f(x)=4cos xsin-1.求函数f(x)的单调递增区间.解析f(x)=4cos x32sinx-12cosx-1=3sin 2x-cos 2x-2=2sin-2,由于-+2k2x-+2k,kZ,所以-+kx+k,kZ.所以f(x)的单调递增区间为,kZ.炼技法【方法集训】方法1求三角函数的值域(最值)的方法1.(2017浙江金华十校调研,17)若函数f(x)=|asin x+bcos x-1|+|bsin x-acos x|(a,bR)的最大值为11,则a2+b2=.答案502.(2017浙江台州调研,18)在平面直角坐标系xOy中,已知点P12,32,将向量绕原点O按逆时针方向旋转x弧度得到向量.(1)若x=,求点Q的坐标;(2)已知函数f(x)=,令g(x)=f(x)f,求函数g(x)的值域.解析(1)由已知得xQ=cos=cos cos -sinsin =2-64,yQ=sin=sin cos +cos sin =2+64,所以点Q的坐标为2-64,2+64.(2)函数f(x)=12,32=cos+32sin=cos x-34sin x+cos x+34sin x=cos x,于是,g(x)=cos xcos=1+cos2x4-34sin 2x=-sin.因为-1sin1,所以g(x)的值域为-14,34.方法2三角函数的综合应用问题的方法1.(2017浙江杭州质检,9)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b=5,1tanA2+1tanC2-5tanB2=0,则a+c=() A.6B.7C.8D.9答案B2.(2018浙江名校协作体,18)函数f(x)=2sin(x+)+1的图象过点,且相邻的两个最高点与最低点的距离为蟺2+642.(1)求函数f(x)的解析式和单调增区间;(2)若将函数f(x)图象上所有点向左平移个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的,得到函数g(x)的图象,求g(x)在上的值域.解析(1)由已知相邻的两个最高点和最低点的距离为蟺2+642,可得蟺蠅2+42=蟺2+6422,解得=2.f=2sin+1=2+1,sin=22.又0,=,f(x)=2sin+1,当f(x)单调递增时,- +2k2x+2k,kZ,-3蟺8+kx+k,kZ.f(x)的单调增区间为,kZ.(2)由题意得g(x)的解析式为g(x)=-2sin 4x+1,当x时,4x4蟺3,-32sin 4x1,g(x)-1,3+1.过专题【五年高考】统一命题、省(区、市)卷题组考点三角函数的最值与综合应用1.(2016课标全国,12,5分)已知函数f(x)=sin(x+),x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在上单调,则的最大值为() A.11B.9C.7D.5答案B2.(2017课标全国文,13,5分)函数f(x)=2cos x+sin x的最大值为.答案53.(2017课标全国理,14,5分)函数f(x)=sin2x+3cos x-的最大值是.答案14.(2017山东理,16,12分)设函数f(x)=sin蠅x-?6+sin蠅x-?2,其中03.已知f =0.(1)求;(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在上的最小值.解析本题考查了y=Asin(x+)的图象和性质及最值.(1)因为f(x)=sin蠅x-?6+sin蠅x-?2,所以f(x)=32sin x-cos x-cos x=32sin x-cos x=312sin蠅x-32cos蠅x=3sin蠅x-?3.由题设知f=0,所以-=k,kZ.故=6k+2,kZ,又00,0)的图象变换:由y=sin x的图象变换得到y=Asin(x+)(A0,0)的图象有两种方法.方法一:(先平移后伸缩)y=sin x的图象y=sin(x+)的图象y=sin(x+)的图象y=Asin(x+)的图象.方法二:(先伸缩后平移)y=sin x的图象y=sin x的图象y=sin(x+)的图象y=Asin(x+)的图象.教师专用题组考点三角函数的最值与综合应用1.(2017北京文,16,13分)已知函数f(x)=3cos-2sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求证:当x时, f(x)-.解析本题考查三角恒等变换,三角函数的性质.(1)f(x)=32cos 2x+sin 2x-sin 2x=sin 2x+32cos 2x=sin.所以f(x)的最小正周期T=2蟺2=.(2)证明:因为-x,所以-2x+5蟺6.所以sinsin=-.所以当x时, f(x)-.易错警示正确化简y=f(x)是解题的关键.在(2)中,证明f(x)-时容易忽视x的取值范围.2.(2015天津,15,13分)已知函数f(x)=sin2x-sin2,xR.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.解析(1)由已知,有f(x)=1-cos2x2-=1212cos2x+32sin2x- cos 2x=34sin 2x-cos 2x=sin.所以, f(x)的最小正周期T=2蟺2=.(2)因为f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数, f =-, f =-, f=34.所以, f(x)在区间上的最大值为34,最小值为-.评析本题主要考查两角差的正弦公式和余弦公式、二倍角公式,三角函数的最小正周期、单调性等基础知识.考查基本运算能力.3.(2014重庆,17,13分)已知函数f(x)=3sin(x+)的图象关于直线x=对称,且图象上相邻两个最高点的距离为.(1)求和的值;(2)若f伪2=,求cos的值.解析(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为,所以f(x)的最小正周期T=,从而=2蟺T=2.又因为f(x)的图象关于直线x=对称,所以2+=k+,k=0,1,2,.由-得k=0,所以=-2蟺3=-.(2)由(1)得f伪2=3sin=34,所以sin伪-蟺w6=.由2蟺3得0-,所以cos伪-蟺w6=1-142=154.因此cos=sin =sin伪-蟺6+蟺6=sin伪-蟺w6cos+cos伪-蟺w6sin=32+154=3+158.4.(2014四川,16,12分)已知函数f(x)=sin.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)若是第二象限角, f伪3=coscos 2,求cos -sin 的值.解析(1)因为函数y=sin x的单调递增区间为,kZ.由-+2k3x+2k,kZ,得-+2k蟺3x+2k蟺3,kZ.所以,函数f(x)的单调递增区间为,kZ.(2)由已知,有sin=cos(cos2-sin2),所以sin cos+cos sin=(cos2-sin2).即sin +cos = (cos -sin )2(sin +cos ).当sin +cos =0时,由是第二象限角,知=3蟺4+2k,kZ.此时,cos -sin =-.当sin +cos 0时,有(cos -sin )2=.由是第二象限角,知cos -sin 0,此时cos -sin =-52.综上所述,cos -sin =-2或-52.评析本题主要考查正弦型函数的性质,二倍角与和差角公式,简单的三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力,考查分类与整合、化归与转化等数学思想.5.(2014湖北,17,11分)某实验室一天的温度(单位:)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:f(t)=10-3cost-sint,t0,24).(1)求实验室这一天的最大温差;(2)若要求实验室温度不高于11 ,则在哪段时间实验室需要降温?解析(1)因为f(t)=10-2=10-2sin,又0t24,所以t+11时实验室需要降温.由(1)得f(t)=10-2sin,故有10-2sin11,即sin-.又0t24,因此7蟺6t+,即10t18.在10时至18时实验室需要降温.评析考查了正弦函数的性质,考查了运算求解能力.正确利用正弦函数的单调性是解题的关键.计算失误是造成失分的重要原因之一,应充分重视.【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共8分)1.(2018浙江绍兴高三3月适应性模拟,10)已知x0,蟺6,y0,蟺6,且xtan y=2(1-cos x),则() A.yB. yC. yx答案C2.(2018浙江镇海中学阶段测试,4)有4个关于x的函数:y1=sin x+cos x,y2=sin x-cos x,y3=sin xcos x,y4=sinxcosx.这4个函数中,在0,蟺2上单调递增的函数的个数是()A.0B.1C.2D.3答案C二、填空题(单空题4分,多空题6分,共12分)3.(2019届浙江高考信息卷(二),14)已知函数f(x)=sin2x-sin2,xR, f(x)在区间上的最大值是,最小值是.答案34;-4.(2018浙江“七彩阳光”联盟期初联考,15)已知函数f(x)=sin(x+)的图象过点0,32.若f(x)f对xR恒成立,则的值为;当最小时,函数g(x)=f-22在区间0,22上的零点个数为.答案=1+12k,kZ;8三、解答题(共30分)5.(2019届浙江名校新高考研究联盟第一次联考,18)已知函数f(x)=3sin 2x+2sin2x.(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间;(2)求f(x)在区间0,蟺2上的最大值.解析(1)f(x)=3sin 2x+2sin2x=3sin 2x+1-cos 2x=2sin+1.故T=2蟺2=.令2k-2x-2k+,kZ,得k-xk+,kZ,所以f(x)的单调递增区间为,kZ.(2)当x0,蟺2时,2x-,所以sin-12,1,所以f(x)在区间0,蟺2上的最大值为3.6.(2018浙江嵊州第一学期期末质检,18)已知函数f(x)=2sin xcosx-蟺3+cosx,x0,蟺2.(1)求f;(2)求f(x)的最大值与最小值.解析(1)cos=32,sin=,所以f=232+32=3.(2) f(x)=2sin xcosx-蟺3+cosx=2sin x12cosx+32sinx+cosx=sin 2x+32(1-cos 2x)=3sin+32.因为x0,蟺2,所以2x-.又因为y=sin z(zR)在区间上单调递增,在区间上单调递减,所以,当2x-=,即x=时, f(x)取得最大值332;当2x-=-,即x=0时, f(x)取得最小值0.7.(2018浙江温州二模(3月),18)如图,已知函数f(x)=sin(x+)的图象与坐标