《概率论与数理统计》PPT课件.pptVIP

课件制作：应用数学系 概率统计课程组,概率论与数理统计,课件制作：应用数学系 概率统计课程组,概率论与数理统计,1.2 随机事件的概率,1.2.1 概率和频率,1.2.2 组合记数,1.2.3 古典概率,1.2.4 几何概率,1.2.5 主观概率,1.2 随机事件的概率,1.2.1 概率和频率,概率论研究的是随机现象的统计规律性。对于随机试验，如果仅知道可能出现哪些事件是不够的，更重要的是要知道各个事件发生可能性大小的量的描述（即数量化）.这种量的大小我们称为事件的概率。,随机事件在一次试验中是否发生带有偶然性，但大量试验中，它的发生具有统计规律性，人们可以确定随机事件发生的可能性大小。,若随机事件A在 n 次试验中发生了m 次，则量 称为事件A在n 次试验中 发生的频率，记作 ，即： .,它满足不等式：,如果A是必然事件,有m=n,则 ;,如果A是不可能事件，有m=0,则 ;,就是说： 必然事件的频率为1，不可能事件的频率为0。,表1-1可以看出，随着试验次数n的增加,A发生的频 率围绕0.5这个数值摆动的幅度越来越小。即随机事件 A发生的频率具有稳定性。一般地，在大量重复试验中随机事件A发生的频率，总是在某个确定值p附近徘徊，而且试验次数越多，事件A的频率就越来越接近p,数p称为频率的稳定中心，频率的稳定性揭示了随机现象的客观规律性，它是事件A 在一次随机试验时发生可能性大小的度量。,投一枚硬币观察正面向上的次数,n = 4040, nH =2048, f n( H ) = 0.5069,n = 12000, nH =6019, f n( H ) = 0.5016,n = 24000, nH =12012, f n( H ) = 0.5005,频率稳定性的实例,蒲丰( Buffon )投币,皮尔森( Pearson ) 投币,如: Dewey G. 统计了约438023个英语单词 中各字母出现的频率, 发现各字母出现 的频率不同：,A: 0.0788 B: 0.0156 C: 0.0268 D: 0.0389 E: 0.1268 F: 0.0256 G: 0.0187 H: 0.0573 I: 0.0707 J: 0.0010 K: 0.0060 L: 0.0394 M: 0.0244 N: 0.0706 O: 0.0776 P: 0.0186 Q: 0.0009 R: 0.0594 S: 0.0634 T: 0.0987 U: 0.0280 V: 0.0102 W: 0.0214 X: 0.0016 Y: 0.0202 Z: 0.0006,概率的统计定义：,在相同条件下重复进行的 n 次试验中, 事件 A 发生的频率稳定地在某一常数 p 附近摆动,且随 n 越大摆动幅度越小, 则称 p 为事件 A 的概率, 记作 P(A).,优点：直观 易懂,缺点：粗糙 模糊,不便 使用,1.2.2 组合记数,排列: 从 n 个不同的元素中取出 m 个 (不放 回地）按一定的次序排成一排不同的 排法共有,全排列:,组合: 从 n 个不同的元素中取出 m 个(不放 回地）组成一组， 不同的分法共有,重复组合: 从 n 个不同元素中每次取出一个， 放回后再取下一个，如此连续取r次所得的组合 称为重复组合，此种重复组合数共有,例如:,两批产品各50件,其中次品各5件,从这两批产品中各抽取1件, (1)两件都不是次品的选法有多少种? (2)只有一件次品的选法有多少种?,解 (1) 用乘法原理,结果为,(2)结合加法原理和乘法原理得选法为:,古典概型 设为试验E的样本空间，若 （有限性）只含有限个样本点; （等概性）每个基本事件出现的可能性相等; 则称E为古典概型。,古典概型概率的定义,设E为古典概型,为E的样本空间,A为任意一个事件，定义事件A的概率为:,1.2.3 古典概率,(1) 古典概型的判断方法（有限性 、等概性）； (2) 古典概率的计算步骤： 弄清试验与样本点; 数清样本空间与随机事件中的样本点数; 列出比式进行计算。,注意:,概率的性质：,例1.2. 将一颗骰子接连掷两次，试求下列事件的概率： （1）两次掷得的点数之和为8；（2）第二次掷得3点.,表示“点数之和为8”事件，,表示“第二次掷得3点”事件,解：设,所以,则,例1.2. 箱中有6个灯泡,其中2个次品4个正品,有放回地从中任取两次,每次取一个,试求下列事件的概率： （1）取到的两个都是次品;（2）取到的两个中正、次品各一个,（3）取到的两个中至少有一个正品.,解： 设A =取到的两个都是次品，B=取到的两个中正、次品各一个, C=取到的两个中至少有一个正品.,（1）样本点总数为62，事件A包含的样本点数为22，,所以 P(A)=4/36=1/9,（2）事件B包含的样本点数为42+24=16，,所以P（B）=16/36=4/9,（3）事件C包好的样本点数为62-22=32，,所以P(C )=32/36=8/9,思考：若改为无放回地抽取两次呢? 若改为一次抽取两个呢？,几何概型 设为试验E的样本空间，若 试验的样本空间是直线上某个区间，或者面、空间上的某个区域，从而含有无限多个样本点; 每个样本点发生具有等可能性 ; 则称E为几何概型。,几何概型概率的定义,设试验的每个样本点是等可能落入区域上的随机点M，且D含在内,则M点落入子域D(事件A)上的概率为:,1.2.4 几何概型(等可能概型的推广),例1.2.3 某人的表停了，他打开收音机听电台报时， 已知电台是整点报时的，问他等待报时的时间短于 十分钟的概率.,9点,10点,10分钟,及,在,是区间时，表示相应的长度；在,是平面或空间区域时，表示相应的面积或体积,注：,几何概率的性质：,两两互不相容,例1.2.4 两船欲停靠同一个码头, 设两船到达码头的时间各不相干，而且到达码头的时间在一昼夜内是等可能的.如果两船到达码头后需在码头停留的时间分别是1 小时与2 小时,试求在一昼夜内，任一船到达时，需要等待空出码头的概率.,解: 设船1 到达码头的瞬时为 x ，0 x 24 船2 到达码头的瞬时为 y ，0 y 24,设事件 A 表示任一船到达码头时需要等待 空出码头,注：用几何概型可以回答例1.2.4中提出的“概率为1的事件为什么不一定发生?”这一问题.,如图，设试验E 为“ 随机地向边,长为1 的正方形内黄、蓝两个三 角形投点” 事件A 为“点投在黄、 蓝两个三角形内” , 求,由于点可能投在正方形的对角线上, 所以,事件A未必一定发生.,1.2.5 主观概率,概率的相对频率的解释是一种很有用的解释，但有时它难以应用于必须估计其概率的特定的实际问题.可能没有合理的自然的“试验”能重复很多次，致使我们可以计算某种结果出现的相对次数.,例如，有什么试验能让你来估计下一个十年中唐山可能发生灾难性地震的概率呢？这里，不确定性在我们的头脑里，并非在现实之中.,统计界的贝叶斯学派认为：一个事件的概率是人 们根据经验对该事件发生的可能性所给出的.这样给出 的概率称为主观概率.,1. 如果一名嫌疑人的血液和犯罪现场留下的血液按照DNA分析只有十万分之一的可能不一样.你如何判断和解释?,课堂练习,2. 如果由你从0到9中随机抽取一个数算是一个试验.重复这样的试验10次, 那么得到0147802393和得到9999999999的概率是否一样?无论你怎么回答,请给出这两个事件的概率.,Application 1,Question What is the probability of rolling an even number with one dice? a number greater than 3 with one dice?,Solution The sample space for rolling one dice is S = 1,2,3,4,5,6. Lets say event A is rolling an even number and B is rolling a number greater than 3. then, A= 2,4,6 and B= 4,5,6 a) P(A) = = = b) P(B)= n(B)/n(S) = 4/6 = 2/3,Application 2,Question There are three white balls and 5 red balls in the plastic bag. What is the probability of choosing a white ball? (event A) two red balls? (event B) a white ball and three red balls? (event C),Solution (a) There are 8C1 ways to choose any one ball from the plastic bag. Since there are 3 white balls, there are 3C1 ways of choosing a white ball. Thus, P(A) = 3C1/ 8C1 = 3/8 (b) P(B) = 5C2 /8C2 = 5/14 (c) There are 8C4 ways of choosing 4 balls from 8. Also, there are 3C1 * 5C3 ways of choosing one white ball and three red balls. Thus, P(C) = (3C1 * 5C3 ) / 8C4 = 3/7,Check your understanding!,Q.1 What is the probability of choosing a vowel from the alphabet? () Q.2 There are two dice and they are rolled simultaneously. What is the probability of rolling (a) the same numbers, (b) the numbers whose sum is 7 (c) the numbers whose sum is less than or equal to 5. ( ) Q.3 A dice is rolled twice. What is the probability of having the second number that is greater than the first one? ( ),Q.4 There are 20 numbers on the board and a student is to pick 2 of them. There are 4 winning numbers that will give the student extra 3 marks on the test. What is the probability of choosing 2 winning numbers? ( ) Q.5 The set A has elements of a1, a2, a3, a4, ,a10. If I were to choose a subset, what is the probability of choosing the subset that includes a1, a2, a3 ? (all three of them as a group) () LETS FIND OUT THE ANSWERS!,Answer Key,Q.1 Among 26 alphabets, 5 of them are vowels. Therefore, P(A) = n(A)/n(S) = 5/26 Q.2 There are 36 outcomes in total as each dice has 6 numbers. (6C1 * 6C1). Part A: one can have (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6). Since n(A)=6, the P(A) = 6/36 = 1/6 Part B: There are 6 possible ways of getting a sum of 7. Thus, P(B) = 6/36 = 1/6 Part C: n(c) = 10 ( all the purple -coloured squares) Thus, P(C) = 10/36 = 5/18,Q.3 Based on the chart, there are 5+4+3+2+1 outcomes for the event A. Since it involves rolling a dice twice, n(S) = 36. P(A) = 15/36 = 5/12 Q.4 There are 2C20 ways of picking any two numbers from the board (n(S). Furthermore, the number of ways to pick two winning numbers is 4C20 (n(A). P(A) = 4C2 / 2C20 = 3/95 Q.5 The total number of subset for A is 210. To calculate the number of subset that includes a1, a2, a3, we calculate the number of subsets of a4, a5, a6.a10 , and it is 27. This is because we can add a1, a2, and a3 to each subset of a4, a5, a6.a10 . Therefore P(A) = 27/ 210 = 1/23 = 1/8,课件制作：应用数学系 概率统计课程组,概率论与数理统计,1. 概率的定义与性质,1.3.1 概率的公理化定义,1.3.2 概率的基本性质,1.3.1 概率的公理化定义,前面分别介绍了统计概率定义、古典概率及几何概率的定义，它们在解决各自相适应的实际问题中，都起着很重要的作用，但它们各自都有一定局限性.,为了克服这些局限性，1933年，前苏联数学家 柯尔莫哥落夫在综合前人成果的基础上，抓住概率 共有特性，提出了概率的公理化定义，为现代概率 论的发展奠定了理论基础.,概率的公理化的定义:,(2)规范性,(1)非负性,两两互不相容,设,是给定的实验E的样本空间，对其中的任意一 事件A，规定一个实数P(A)，若P(A)满足：,则,则称P(A)为事件A的概率.,1.3.2 概率的公理化定义,(1)P()=0，P()=1，逆不一定成立. (2)若AB=,则P(A+B)=P(A)+P(B),可推广 到有限个互斥事件的情形.即:若A1,A2,An两两互斥,则 P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An) (3)P(A-B)=P(A)-P(AB),P(-A)=1-P(A). 若A是B的子事件,则P(B-A)=P(B)-P(A)；P(A)P(B); (4)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB), P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) 可推广到有限个事件的情形.,证明 (3),A=(A-B)+AB,A-B和AB为互斥事件,所以由(2)得,P(A)=P(A-B)+P(AB),即 P(A-B)=P(A)-P(AB).,P(A+B)=PA+(B-AB),证明:(4),=P(A)+P(B-AB),=P(A)+P(B)-P(AB),类似可证其他.,得：P(B)=P(A+B)-P(A)=0.8-0.6=0.2，,例1.3.1 AB=，P(A)=0.6，P(A+B)=0.8， 求 B的逆事件的概率。,所以，P（ ）=1-0.2=0.8,解: 由P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B),思考: 在以上条件下，P（A-B）=？,例1.3.2 设事件A发生的概率是0.6，A与B都发生的 概率是0.1，A与B都不发生的概率为0.15 ,求:A发生 B不发生的概率；B发生A不发生的概率及P(A+B).,解: 由已知得,P(A)=0.6，P(AB)=0.1, P( )=0.15，,则 P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=0.5,P(B-A)=P(B)-P(AB）,P（A+B）=1-P（ ）=1-P =1-0.15=0.85,又因为P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),所以，,P(B)=P(A+B)-P(A)+P(AB)=0.85-0.6+0.1=0.35,从而，P(B-A)=0.35-0.1=0.25,1. P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(A+B)=0.6,求P(A-B). 2. P(A)=0.7，P(A-B)=0.3，求P(-AB),解答:(1)P(AB)=P(A)+P(B)- P(A+B) =0.1, 所以P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.3,(2)P(-AB)=1-P(AB)=1-P(A)-P(A-B) =1-0.7+0.3=0.6,课堂练习,A、B都出现的概率与 A、B 都不出现的概率相等，P(A)=p，求P(B).,解答,所以,P(B)=1-P(A)=1-p,4某系一年级有l00名学生，统计他们考试的成绩： 政治、数学、物理、英语四门课程得优等成绩的人数 分别依次为85，75 70，80.证明：这四门课程全优的 学生至少有10人.,证明：见书12页例1.3.2.（略）,课件制作：应用数学系 概率统计课程组,概率论与数理统计,1.4 条件概率,1.4.1 引例,1.4.2 条件概率的定义,1.4.3 条件概率的性质,1.4.4 乘法公式,1.4.5 全概率公式,1.4.6 贝叶斯 Bayes公式,在实际问题中，往往会遇到求：,在事件B已经出现的条件下，事件A发生的概率，记作P(A|B).,由于附加了条件，P(A)与 P(A|B)意义不同，一般 P(A|B) P(A),先看一个例子,引例：掷一颗均匀骰子,B=掷出偶数点，,P(A|B)=？,由于已知事件B已经发生，所以此时试验所有可能结果只有3种，而事件A包含的基本事件只占其中一种，故有,P(A|B)= 1/3,A=掷出2点，,解：掷一颗均匀骰子可能的结果有6种，且它们的出现是等可能的。,P(A)=1/6,上例中 P(A|B) P(A),它们不相等的原因在于“事件B已发生”这个新条件改变了样本空间.,设边长为1个单位 的正方形的面积 表示样本空间S,其中封闭曲线 围成的一切点 的集合表示事件 A,把图形的面积理解为相应事件的概率,则 P(A)=,A的面积/S的面积,A的面积,如果B发生，那么使 得A发生当且仅当样 本点属于AB，因此 P(A|B)应为P(AB)在 P(B)中的“比重”,当已知B发生的情况下，由原来的S 缩减为了B,这就好象给了我们一个“情报”，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题.,P(A|B)=AB的面积/B的面积,1.4.2 条件概率的定义,.,例1.4.1,古典概型,解:,设 A 表示取得木球 B 表示取得白球,例1.4.2 某人外出旅游两天, 需知道两天的天气情况, 据预报, 第一天下雨的概率为 0.6,第二天下雨的概率为0.3, 两天都下雨的概率为0.1. 求 第一天下雨时, 第二天不下雨的概率.,设A与B 分别表示第一天与第二天下雨,解:,条件概率与无条件概率 之间的大小无确定关系,上例中,一般地,例1.4.3 从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽 出2张 , 将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞 , 求2 张都是假钞的概率.,解: 令 A 表示抽到2 张都是假钞,B表示2 张中至少有1张假钞,则所求概率是,所以,1.4.3 条件概率的性质,推广:,1.4.4 乘法公式,例1.4.4 为了防止意外,矿井内同时装有A 与B两种报警设备, 已知设备 A 单独使用时有效的概率为0.92, 设备 B 单独使用时有效的概率为0.93, 在设备 A 失效的条件下, 设备B 有效的概率为 0.85, 求发生意外时至少有一个报警设备有效的概率.,设事件 A, B 分别表示设备A, B 有效,已知,求,解:,方法一,由,即,故,方法二,1.4.5 全概率公式,人们在计算某一较复杂的事件的概率时，有时根据事件在不同情况或不同原因或不同途径下发生而将它分解成两个或若干互不相容的部分的并，分别计算概率，然后求和.全概率公式是概率论中的一个基本公式，它使一个复杂事件的概率计算问题化繁就简，得以解决.,B1,Bn,AB1,AB2,ABn,A,B2,全概率公式,练习：设有分别来自三个地区的10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份. 随机地取一个地区的报名表， 求抽出一份是女生表的概率.,Ai = 报名表是第i区 i1, 2, 3,B= 抽到的报名表是女生表,解：设,P(B)= P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B |A3),由全概率公式,在第一地区的表格中抽得女生表格的概率 P(B|A1)=3/10,在第二地区的表格中抽得女生表格的概率 P(B|A2)=7/15,在第三地区的表格中抽得女生表格的概率 P(B|A3)5/25,人们为了了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票的基本因素，比如利率的变化.现在假设人们经分析估计利率下调的概率为60%,利率不变的概率为40%.根据经验,人们估计,在利率下调的情况下该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下,其价格上涨的概率为40%,求该支股票将上涨的概率.,思考题,解: 设 A 表示利率下调,设 B 表示股票价格上涨,解: 设 A 表示利率下调,设 B 表示股票价格上涨,于是,例1.4.5,解:,例1.4.6,解:,思考题：袋中有一个白球及一个红球，一次次地从袋中取球，如果取出白球，则除把白球放回再加进一个白球，直至取出红球为止.求取了n次都没有取到红球的概率.,解：记,第i次取得白球，i1, 2, , n,A=取了n次都没有取到红球,则,=,前n-2次取得白球的条件下，第n-1次取得白球,前n-1次取得白球的条件下，第n次取得白球,第一次取得白球的条件下，第二次取得白球的概率,第一次取得白球,Bayes Formula,Introduction (Exit polls). In the California gubernatorial election in 1982, several TV stations predicated, on the basis of questioning people when they exited the polling place, that Tom Bradley, then mayor of Los Angeles, would win the election. When the votes were counted, however, he lost by a considerable margin. What happened?,1.4.6 Bayes公式,Bayes公式,全概率-由因求果贝叶斯-执果求因, A,例1.4.7 数字通讯过程中，信源发射0、1两种状态信号，其中发0的概率为0.55，发1的概率为0.45。由于信道中存在干扰，在发0的时候，接收端分别以概率0.9、0.05和0.05接收为0、1和“不清”。在发1的时候，接收端分别以概率0.85、0.05和0.1接收为1、0和“不清”。现接收端接收到一个“1”的信号。问发端发的是0的概率是多少?,0.067,解：设A-发射端发射0， B- 接收端接收到一个“1”的信号,0 (0.55),0 1 不清,(0.9) (0.05) (0.05),1 (0.45),1 0 不清,(0.85) (0.05) (0.1),条件概率,小 结,缩减样本空间,定义式,乘法公式,全概率公式,贝叶斯公式,练习1,课堂练习,练习,练习 袋中有十只球,其中九白一红,十人 依次从袋中各取一球(不放回)，问第一个人 取得红球的概率是多少？第二、第三、 最后一个人取得红球的概率各是多少？,练习4 盒中装有5个产品,其中3个一等品,2个二等品, 从中不放回地取产品,每次1个,求: （1）取两次，两次都取得一等品的概率 （2）取两次，第二次取得一等品的概率 （3）取三次，第三次才取得一等品的概率 （4）取两次，已知第二次取得一等品，求: 第一次取得的是二等品的概率,解答:,（1）,提问：第三次才取得一等品的概率, 是,（2）直接解更简单,（3）,（2）,(4),课件制作：应用数学系 概率统计课程组,概率论与数理统计,1.5 事件的独立性与相关性,1.5.1 两个事件的独立性与相关性,1.5.2 有限个事件的独立性,1.5.3 相互独立事件的性质,1.5.4 Bernoulli概型,引例 箱中装有10件产品:7件正品,3件次品,甲买走1件正品,乙要求另开一箱,也买走1件正品. 记甲取到正品为事件A,乙取到正品为事件B,则,由乘法公式即得,P(AB)=P(A)P(B),从问题的实际意义理解，就是说事件A和事件B出现的概率彼此不受影响.,1.5.1 两个事件的独立性与相关性,定义: 若事件A与B满足 P(AB)=P(A)P(B), 则称A与B相互独立，简称A与B独立。,推论1: A.B为两个事件,若P(A)0, 则A与B独立等价于P(B|A)=P(B). 若P(B)0, 则A与B独立等价于P(A|B)=P(A).,证明：A.B独立P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B),P(B|A)=P(B),注意:从直观上讲,A与B独立就是其中任何一个事件出现的概率不受另一个事件出现与否的影响.,证明 不妨设A.B独立,则,其他类似可证.,推论2:在 A与 B, 与 B,A与 ，与 这四对事件中, 若有一对独立,则另外三对也相互独立。,注意: 判断事件的独立性一般有两种方法: 由定义判断,是否满足公式; 由问题的性质从直观上去判断.,例1.5.1 某高校的一项调查表明：该校有30%的学生 视力有缺陷. 7%的学生听力有缺陷，3%的学生视力与听力都有缺陷，记,=“学生视力有缺陷”，,=“学生听力有缺陷”，,=“学生听力与视力都有缺陷”，,现在来研究下面三个问题：,（1）事件,与,是否独立？,由于,所以事件,与,不独立，即该校学生视力与听力,缺陷有关联.,（2）如果已知一学生视力有缺陷，那么他听力也有缺 陷的概率是多少？,这要求计算条件概率,由定义知,（3）如果已知一学生听力有缺陷，那么他视力也有缺 陷的概率是多少？,类似地可算条件概率,定义 设,称,为事件,与,的相关系数,定理1.5.1 (1),当且仅当,与,相互独立；,(3),(2),;,定义 (n个事件的相互独立性） 设有n个事A1,A2,An,若对任何正整数m(2mn)以及,则称这n个事件相互独立.,若上式仅对m=2成立,则称这n个事件两两独立.,注意: 从直观上讲,n个事件相互独立就是其中任何一个事件出现的概率不受其余一个或几个事件出现与否的影响.,1.5.2 有限个事件的独立性,例1.5.2 随机投掷编号为 1 与 2 的两个骰子事件 A 表示1号骰子向上一面出现奇数,B 表示2号骰子向上一面出现奇数,C 表示两骰子出现的点数之和为奇数.,则,但,Exercise (Birthdays).Let A=“Alice and Betty have the same birthday” B= “Betty and Carol have the same birthday” C= “Carol and Alice have the same birthday” .Each pair of events is independent but the three are not.,1.5.3 相互独立事件的性质,性质1: 如果n个事件,相互独立，则,个事件改为相应的对立事,将其中任何,件，形成新的n个事件仍然相互独立.,性质2: 如果n个事件,相互独立，则有,例1.5.3 三个元件串联的电路中,每个元件发生断电的概率依次为0.3,0.4,0.6,且各元件是否断电相互独立,求电路断电的概率是多少?,解 设A1,A2,A3分别表示第1,2,3个元件断电 , A表示电路断电,则A1,A2,A3相互独立,A= A1+A2+A3,P(A)=P(A1+A2+A3)=,=1-0.168=0.832,例1.5.4 已知事件 A, B, C 相互独立,证明:事件,证:,事件,例1.5.5 设每个人的血清中含肝炎病毒的概率为0.4%, 求来自不同地区的100个人的血清混合液中含有肝炎病毒的概率.,解:设这100 个人的血清混合液中含有肝炎病毒为 事件 A, 第 i 个人的血清中含有肝炎病毒为事件 Ai (i =1,2,100 ).,则,若Bn表示 n 个人的血清混合液中含有肝炎病毒，则,注意:不能忽视小概率事件,小概率事件迟早要发生,一个元件(或系统)能正常工作的概率称为元件 (或系统)的可靠性.,系统由元件组成,常见的元件连接方式：,串联,并联,系统的可靠性问题,设两系统都是由 4 个元件组成,每个元件正常工作 的概率为 p , 每个元件是否正常工作相互独立.两 系统的连接方式如下图所示，比较两系统的可靠性.,S1:,S2:,例1.5.6 某射手在相同条件下独立地进行5次射击,每次击中目标的概率是0.6,求：概率最大的击中目标次数.,解：击中目标次数可能取值为0,1,2,3,4,5,设Bi(i=0,1,5)表示击中目标i次,事件Ai表示第i次射中,(i=1,2,.,5),则Ai (i=1,2,.,5)相互独立,P(B0)=,=(1-0.6)5,=0.45,P(B1)=,=50.6(1-0.6)4,例1.5.6 某射手在相同条件下独立地进行5次射击,每次击中目标的概率是0.6,求：概率最大的击中目标次数.,即,(i=0,1,2,3,4,5),类推得,P(B3),P(B4),P(B5),P(B2),解： 击中目标次数可能取值为0,1,2,3,4,5,设 Bi(i=0,1,5)表示击中目标i次,事件Ai表示第i次射中,(i=1,2,.,5),则Ai (i=1,2,.,5)相互独立,易计算：概率最大的击中目标次数为3.,一般地：设射击次数为n，每次射击击中目标 的概率为p，则： 当（n+1）p为整数时，概率 最大的击中目标次数为(n+1)p和(n+1)p-1; 当（n+1）p不为整数时，概率最大的击中目标 次数为(n+1)p的整数部分.,若某个试验由n次基本试验构成,且具有以下特点: (1) 每次基本试验有且只有两个可能结果：成功、失败; (2) 每次基本试验中每个结果出现的概率不变; (3) 基本试验之间相互独立; (4) 在相同条件下,试验可以重复进行.,则称此试验为独立重复试验或贝努里(Bernoulli)试验;由于该试验由n次基本试验构成,故亦称之为n重贝努里试验.,贝努里公式： 在n重贝努里试验中,如果“成功”在每次试验中出现的概率为p,令Bk=“在n 次试验中“成功”出现k 次”,则,1.5.4 Bernoulli概型,例1.5.7 同时掷四颗均匀的骰子,试计算: (1) 恰有一颗是6点的概率; (2) 至少有一颗是6点的概率.,解: 这是一个4重贝努里试验, 掷每一颗骰子就是一个基本试验.,每次基本试验中6点出现的概率是1/6,所以,(1) 恰有一颗是6点的概率为,(2) 至少有一颗是6点的概率为,例1.5.8 八门炮同时独立地向一目标各射击一发 炮弹,若有不少于2发炮弹命中目标时,目标就被击 毁.如果每门炮命中目标的概率为0.6, 求目标被 击毁的概率.,解：设一门炮击中目标为事件A, P(A)=0.6,设目标被击毁为事件B,则,解: 设取出的5个数按由小到大排列为,1,1,2,3,3;,1,1,2,3,4;,所取的5个数字中至少有3个数字不大于4,例1.5.9 从1,2, ,10十个数字中有放回地任取5个 数字, 求取出的5个数字中按由小 到大排列, 中间 的那个数等于 4 的概率.,令 Ak 表示所取的5个数字中恰有k 个不大于4,则,由于,、事件独立性的应用,1、加法公式的简化：若事件A1，A2，An相互独立, 则,2、在可靠性理论上的应用 如图，1、2、3、4、5表示继电器触点,假设每个触点闭合的概率为p,且各继电器接点闭合与否相互独立，求L至R是通路的概率。,设A-L至R为通路,Ai-第i个继电器通,i=1,2,5,由全概率公式,EX1.某型号火炮的命中率为0.8，现有一架敌机 即将入侵，如果欲以 99.9 % 的概率击中它，则 需配备此型号火炮多少门？,解答: 设需配备 n 门此型号火炮 设事件 表示第 i 门火炮击中敌机,故需配备 5 门此型号火炮.,课堂练习,EX2:一个学生欲到三家图书馆借一本参考书每家图书馆购进这种书的概率是1/2，购进这种书的图书馆中该书被借完了的概率也是1/2各家图书馆是否购进该书相互独立问该学生能够借到书的概率是多少？,EX3:如果有5%的人是左撇子,而你和你的兄弟都是左撇子.那么你和你兄弟都是左撇子这样事件的概率是不是0.05x0.05=0.0025?为什么？,EX4:一辆汽车的前灯在一年内失效的概率为0.2,而该汽车的电池在一年内失效的概率为0.1.那么两项同时失效的概率是不是0.2x0.1=0.02?如果电池是另外车上的,答案有所不同吗?请用常识判断,Genetics (Hardy-Weinberg equilibrium). Most animals and plants are diploid organisms: each cell has two copies of chromosome, with the exception of the chromosome that determines the individuals sex. In this case, a female has two copies of the X chromosome and a male has one X and one Y. When reproduction occurs, a special cell division process called meiosis produces reproductive cells called gametes that have one copy of each chromosome. Two gametes are then combined to produce one new individual. Each hereditary characteristic is carried by a pair of genes, one on each chromosome, so the new offspring gets one gene from its mother and one from its father. We will consider the situation in which each gene can take only two forms, called alleles, which we will denote by a and A. an example from the pioneering work of the Czech monk Gregor Mendel is A=“smooth skin” and a=“wrinkled skin” for the pea plants that he used for much of his experimental work. In this case A is dominant over a, meaning that Aa individuals (those with one A and one a) will have smooth skin.,课外学习,Let us start from an idealized infinite population in which individuals are found in the following proportions, where the proportion are nonnegative and sum to 1:,If we assume that random mating occurs then each new individual picks two parents at random from the population and picks an allele at random from the two carried by each parent. To compute the proportions of the three types in the first generation of offspring, note that (i) since the first allele is picked at random from the population it will be A with probability,and a with probability,and (ii) the second allele will be independent and have the same distribution, so the proportions in the first generation of offspring will be,Something quite remarkable happens when we use these values to compute the fractions in the second generation of offspring. An allele picked at random from the first generation will be A with probability,So the proportions in the second generation of offspring will be,Since the proportions of AA,Aa, and aa alleles reach equilibrium in one generation of offspring starting from an arbitrary distribution, it follows that if the fraction of A alleles in the population is p then the proportions of the genotypes will be,The last result is called the Hardy-Weinberg Theorem. To illustrate its use suppose that in a proportions of pea plants, 91% have smooth skin (AA or Aa, ) and 9% have wrinkled skin (aa). Since the fractions of AA, Aa and aa individuals are p2, 2p(1-p), and (1-p)2 and only aa individuals have wrinkled skin, we can infer that (1-p)=0.3 and the three proportions must be 0.49, 0.42 and 0.009.,WANG ZHONGZHI,概率统计是研究随机现象数量规律的数学,学科, 理论严谨, 应用广泛, 发展迅速. 目前, 不,仅高等学校各专业都开设了这门课程, 而且从,上世纪末开始，这门课程特意被国家教委定为,本科生考研的数学课程之一，希望大家能认真,学好这门不易学好又不得不学的重要课程.,教材 概率论及其统计应用,主要教学参考书,汪忠志等编 合肥工业大学出版社 2005年,国内有关经典著作,国外有关经典著作,本学科的 A B C,概率(或然率或几率) 随机事件出现,的可能性的量度 其起源与博弈问题有关.,16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博,中的一些问题；17世纪中叶，法国数学家B. 帕,斯卡、荷兰数学家C. 惠更斯 基于排列组合的方,法，研究了较复杂 的赌博问题， 解决了“ 合理,分配赌注问题” ( 即得分问题 ).,概率论是一门研究客观世界随机现象数量,规律的 数学分支学科.,发展则在17世纪微积分学说建立以后.,基人是瑞士数学家J.伯努利；而概率论的飞速,第二次世界大战军事上的需要以及大工业,与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息,论、控制论与数理统计学等学科.,数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、,整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的,问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策,和行动提供依据和建议的 数学分支学科.,论；使 概率论 成为 数学的一个分支的真正奠,对客观世界中随机现象的分析产生了概率,统计方法的数学理论要用到很多近代数学,知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数,学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这,样说：概率论是数理统计学的基础，数理统计,学是概率论的一种应用.