2018_2019学年高中数学第四讲用数学归纳法证明不等式优化总结学案新人教A版.docx

第四讲 用数学归纳法证明不等式本讲优化总结用数学归纳法证明恒等式学生用书P62证明代数恒等式的关键是：第二步将式子转化成与归纳假设结构相同的形式凑假设，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论所需要的形式凑结论用数学归纳法证明：12223242(2n1)2(2n)2n(2n1)(nN)【证明】(1)当n1时，左边12223，右边1(211)3，等式成立(2)假设当nk(k1，kN)时，等式成立，即12223242(2k1)2(2k)2k(2k1)，则当nk1时，12223242(2k1)2(2k)2(2k1)22(k1)2k(2k1)(2k1)22(k1)22k25k3(k1)(2k3)(k1)2(k1)1，即当nk1时，等式成立由(1)(2)可知，对任何nN等式都成立若nN，用数学归纳法证明：coscoscoscos.证明：(1)当n1时，左边cos，右边cos，左边右边，等式成立(2)假设nk(k1，kN)时，等式成立，即coscoscoscos，当nk1时，coscoscos即当nk1时，等式也成立由(1)(2)知，等式对nN均成立用数学归纳法证明不等式学生用书P62证明不等式的题型多种多样，所以不等式的证明是一个难点，在由nk成立，推导nk1也成立时，过去讲过的证明不等式的方法在此都可以使用，如比较法、放缩法、分析法、反证法等，有时还要考虑与原不等式等价的命题设an(nN)，求证：n(n1)an(n1)2.【证明】当n1时，a1，n(n1)1，(n1)22，所以12，所以n1时，不等式成立假设当nk时不等式成立，即k(k1)ak(k1)2，当nk1时，k(k1)ak1k(k1)(k1)(k1)(k2)(k1)(k1)1，(k1)2(k1)2(k1)2(k2)2(k1)12，所以(k1)(k1)1ak1(k1)12，即当nk1时，不等式也成立根据可知对任意的nN，不等式n(n1)an(n1)2恒成立设0a1，定义a11a，an1a，求证：对一切正整数n，有1an1，a11a，命题成立(2)假设nk(kN)时，命题成立即1ak(1a)a1.同时，ak1a1a，故当nk1时，命题也成立，即1ak1，综合(1)(2)可知，对一切正整数n，有1anb1，当n2时，a29，b23，则a2b2，当n3时，a316，b37，则a3b3，当n4时，a425，b415，则a4b4，当n5时，a536，b531，则a5b5，当n6时，a649，b663，则a6b6，当n7时，a764，b7127，则a7bn.猜想：当nN，n6时，anbn.前一结论上面已用穷举法证明，后一猜想用数学归纳法证明如下：当n6时，上面已证a6b6.假设当nk(kN，k6)时，上述结论成立，即当k6时，(k1)22k1.当nk1时，要证ak1bk1，即证(k2)22k11，这只要证(k2)2(k1)21，只要证(k2)2(k1)2121，即k24k41，由k6得上式显然成立，所以当nk1时，上述猜想成立综上所述，当nN，1n5时，anbn；当nN，n6时，anbn.数列an满足a11，an(nN，n2)(1)写出数列an的前五项；(2)猜测数列an的通项公式，并用数学归纳法证明解：(1)a11，a2，a3，a4，a5.(2)猜想an(nN)下面用数学归纳法证明：当n1时，a11，显然成立假设当nk(k1，kN)时结论成立，即ak.当nk1时，ak1.这表明当nk1时，结论成立由知，结论对所有的正整数都成立1求证对任意正整数n，有132333n3(12n)2成立证明：(1)当n1时，左边1，右边1，左边右边，所以原等式成立(2)假设当nk(k1)时，等式成立，即1323k3(12k)2.在上式等号两边同时加上(k1)3，得1323k3(k1)3(12k)2(k1)3(k1)3k24(k1)12k(k1)2.即当nk1时，1323n3(12n)2也成立综合(1)(2)可知，对任何正整数n，原等式成立2数列an满足Sn2nan(nN*)(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想解：(1)当n1时，a1S12a1，所以a11.当n2时，a1a2S222a2，所以a2.当n3时，a1a2a3S323a3，所以a3.当n4时，a1a2a3a4S424a4，所以a4.由此猜想an(nN*)(2)证明：当n1时，a11，结论成立假