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初中数学知识总结（北师大版）一、实数1.1有理数1.1.1有理数的定义：整数和分数的统称。1.1.2有理数的分类：（1）分为整数和分数。而整数分为正整数、零和负整数 ；分数分为正分数和负分数。（2）分为正有理数、零和负有理数。而正有理数分为正整数和正分数；负有理数分为负整数和负分数。1.1.3数轴1.1.3.1数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。1.1.3.2数轴的三要素：原点正方向单位长度1.1.3.3每个有理数都能用数轴上的点表示1.1.4相反数1.1.4.1相反数的定义：只有符号不同的两个数就做互为相反数（注：0的相反数为01.1.4.2相反数的意义：离原点距离相等的两个点所表示的两个数互为相反数1.1.4.3相反数的判别（1）若 ，则 、 互为相反数（2）若两个数的绝对值相等，且符号相反，则这两个数互为相反数。1.1.5倒数1.1.5.1倒数的定义：若两个数的乘积等于1，则这两个数互为倒数。（若ab=1 ，则 a、b互为倒数）注：零没有倒数。1.1.6绝对值1.1.6.1绝对值的定义：在数轴上，表示一个数到原点的距离（a的绝对值记作a）1.1.6.2绝对值的性质：a01.1.7有理数大小的比较1.1.7.1正数大于0，负数小于01.1.7.2正数大于负数1.1.7.3两个正数，绝对值大的这个数就大，绝对值小的这个数就小；两个负数，绝对值大的这个数就小，绝对值小的这个数就大。1.1.7.4作差法：两个有理数相减。若大于0，则被减数大；若等于0，则两个数相等；若小于0，则减数大。1.1.7.5作商法：两个有理数相除（除数或分母不为0）。若大于1，则被除数大；若等于1，则两个数相等；若小于1，则除数大。1.1.8有理数的加法1.1.8.1运算法则：符号相同的两个数相加，取相同的符号，并把绝对值相加绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值（互为相反数的两个数相加等于0）任何有理数加0仍等于这个数。1.1.8.2加法交换律在有理数加法中仍然适用，即： a+b=b+a1.1.8.3加法结合律在有理数加法中仍然适用，即: a+(b+c)=(a+b)+c1.1.9有理数的减法1.1.9.1运算法则：减去一个数等于加上这个数的相反数1.1.9.2有理数减法转化有理数加法1.1.10有理数的乘法1.1.10.1运算法则：两个数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘（口诀：正正得正，负负得正，正负的负，负正的负）任何有理数乘0仍等于0多个不等于0的有理数相乘时，积的符号由负因式的个数决定：当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。1.1.10.2乘法交换律在有理数乘法中仍然适用，即 1.1.10.3乘法结合律在有理数乘法中仍然适用，即 1.1.10.4乘法分配律在有理数乘法中仍然适用，即 1.1.11有理数的除法1.1.11.1运算法则：除以一个数等于乘上这个数的倒数（除数不能为0，否则无意义）1.1.11.2有理数除法转化有理数乘法1.1.12有理数的乘方1.1.12.1有理数乘方的意义：求相同因数积的运算叫做乘方1.1.12.2有理数乘方的表示方法： 个相同因数 相乘表示为 ，其中 称为底数， 称为指数，而乘方的结果叫做幂，读作“ 的 次方”或“ 的 次幂”（当 =2时，读作 的平方，简称 方）1.1.12.3运算规律：正数的任何次幂都为正数负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数0的任何次幂都等于0（0次幂除外）任何数的零次幂都等于1（0次幂除外）1.1.13有理数的混合运算1.1.13.1运算顺序：先算乘方（即：三级运算），再算乘除（即：二级运算），最后算加减（即：一级运算）如果是同级运算，则按从左到右的运算顺序计算如果有括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号。1.1.14科学记数法1.1.14.1科学记数法的定义：把一个大于10的有理数记成 的形式（其中1 10）叫做科学记数法。1.1.15近似数1.1.15.1近似数的定义：接近准确数而不等于准确数的数叫做这个准确数的近似数或近似值。1.1.15.2求近似值的方法：四舍五入法收尾法（进一法）去尾法。1.1.15.3有效数字的定义：一个近似数精确到哪一位，从左起第一个不是0的数字起，到这一位数字上的所有数字（包括其中的0）叫做这个近似值的有效数字。1.2 实数1.2.1平方根1.2.1.1平方根的定义：如果一个数的平方等于 ，这个数就叫做 的平方根（或二次方根），即 ，我们就说 是 的平方根。1.2.1.2平方根的表示方法：如果 （ 0），则 的平方根 记作 ，“ ”读作“正负根号 ”，其中 读作“二次根号”，2叫做根指数， 叫做被开方数。1.2.1.3平方根的性质：一个正数的平方根有两个，这两个平方根互为相反数；0的平方根只有一个，就是0；负数没有平方根。1.2.1.4开平方的定义：求一个数的平方根的运算就叫做开平方（开平方和平方互为逆运算）。1.2.2算术平方根1.2.2.1算术平方根的定义：正数 有两个平方根，其中正数a的正的平方根叫做 的算术平方根，记作 ，读作“根号 ”。1.2.2.2算术平方根的性质：具有双重非负性，即： 0， 0 =a（ 0） = ，当 0时， = = ；当 0时， = =- 1.2.3立方根1.2.3.1立方根的定义：如果一个数的立方等于 ，这个数就叫做 的立方根（或叫做 的三次方根）1.2.3.2立方根的表示方法：如果 ,则x叫做a的立方根，记作 ，其中 叫做被开方数，3叫做根指数。1.2.3.3立方根的性质：正数有一个立方根，仍为正数，负数有一个立方根，仍为负数，0的立方根仍为0。 1.2.3.4开立方的定义：求一个数的立方根的运算叫做开立方（它与立方互为逆运算）1.2.4无理数1.2.4.1无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数。1.2.4.2判断无理数的注意事项：带根号的数不一定是无理数，如 是有理数，而不是无理数；无理数不一定是开方开不尽的数，如圆周率 1.2.5实数1.2.5.1实数的定义：有理数和无理数的统称1.2.5.2实数的性质：实数与数轴上的点一一对应实数a的相反数是-a，实数 的倒数是 （ 0） 0， =- 有理数范围内的运算律、幂的运算法则、乘法公式，在实数范围内同样适用1.2.5.3两个实数的大小比较：正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小。在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大作商法：两个实数相除（除数或分母不为0）。若大于1，则被除数大；若等于1，则两个数相等；若小于1，则除数大。作差法：两个有理数相减。若大于0，则被减数大；若等于0，则两个数相等；若小于0，则减数大。1.2.6二次根式1.2.6.1二次根式的定义：式子 （ 0）叫做二次根式。1.2.6.2二次根式的运算性质： （ 0， 0） （ 0， 0）1.2.6.3最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式叫做