2013-第4版姜启源数学模型复习总结.doc

第四版姜启源数学模型复习总结第1章：了解模型的概念与分类，熟练掌握数学模型的定义，数学模型的重要应用，建模的重要例子-指数模型,Logist模型。建模的一般方法及其在建模中的应用。建模的一般步骤（每步的主要内容与问题）。建模的全过程（框图）4个环节的含义。模型的特点（技艺性）。模型分类（表现特征），建模中的能力培养。数学建模实例的建模思想及其步骤1 数学模型的概念：模型：模型是为了一定目的，对客观事物的一部分信息进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。模型的分类：具体模型（或物质模型，实的），包括直观模型，物理模型。抽象模型（或理想模型，虚的），包括思维模型，符号模型，数学模型。数学模型：对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。2 建模的重要意义（1）数学以空前的广度和深度向一切领域渗透在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具了; 数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地.数学建模的具体应用：分析与设计，预测与决策，优化与控制，规划与管理。3实例1：椅子问题：实际问题转换为数学问题的方法：位置用角度，放平问题转化为连续函数的零点问题（连续函数的零点定理）矩形椅子问题：（1）用表示椅子对角线与轴的夹角，因为假设地面是连续曲面，椅子各点到地面的距离是的连续函数。设相邻的两点到地面的的距离之和为，两点到地面的距离之和为，令，则是的连续函数。（2）因为假设地面是相对平坦的，在任一位置至少三只脚着地，不妨设时，。（3）将椅子旋转，则旋转到原来的位置，旋转到的位置，即与的位置互换，因此有，因此，即连续函数在两端点异号，由连续函数的介值定理（零点定理），知存在一点使,即。因为至少有一个为零，因此，即对应的位置就是椅子能放稳的位置。 实例2-商人过河问题：属于多步决策问题，即动态规划问题。多步决策问题（确定多步的决策改变系统的状态）的三要素：状态，决策，状态转移方程（状态在决策下的转移律）。实例3-施救问题。 药物排除过程-指数衰减方程：，分离变量，积分得到，解。 吸收-排除过程的方程：。求解过程：凑微分（完全积分法） 积分得到，因此习题：对于给定的确定的最大值与之间的关系。关键是求最大值点，满足，此时。半衰期确定衰减系数：实例3-人口模型：指数模型，其解，假设条件：人口相对增长率为常数。（指数增长，指数衰减）阻滞增长模型（logistic模型），求解步骤：分离变量，裂项，积分，其解为，曲线为曲线。6 建模方法与步骤基本方法：机理分析与测试分析（统计分析）机理分析：根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律测试分析（统计分析）：将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型。在建模中的应用：用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数。能将道理讲道理，讲不清道理讲数据。建模步骤：模型准备，模型假设，模型构成，模型求解，模型分析，模型检验，模型应用。模型准备：了解实际背景，明确建模目的，搜索相关信息，把握对象特征，形成一个较为“清晰”的问题。模型假设：分析影响因素，分析设置变量，假设变量之间的关系，要在合理（保真）和简化（可行）之间折中，是数学建模艺术之所在。模型构成：用数学语言，符号描述问题（特有规律的数学表示）。尽量采用简单的数学工具。模型求解：数学方法，软件和计算机求解析解，近似解或数值解。模型分析：对结果进行误差分析，统计分析，敏感性分析，对算法和数据进行稳定性分析，对模型进行稳健性分析。模型检验：与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性。模型应用：把数学模型的结果翻译回原问题，解决实际问题。建模的全过程（四个环节，两个世界，双向翻译）掌握框图：四个环节：表述（Formulation)- 根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题求解（Solution)- 选择适当的数学方法求得数学模型的解答.解释（Interpretation)- 将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象.验证（Verification)-用现实对象的信息检验得到的解答.7 数学模型的特点与分类特点：逼真性与可行性（建模的两个重要方面，要折中兼顾，反映建模艺术）；渐进性-渐进不断改进的迭代过程；强健性（稳健性）-模型对假设条件的敏感性；可转移性-模型结构可借鉴可移植（数学建模ABC）；模型的技艺性（与其说是一门技术，不如说是一门艺术）；模型的局限性（认识，手段）。分类：应用领域，方法，表现形态，建模目的，了解程度。所用的数学方法分：初等模型，连续优化模型，离散优化模型，微分方程模型，代数方程与差分方程模型，稳定性（平衡点）模型，离散模型（层次分析模型，图模型），概率模型，统计回归模型，博弈模型，马氏链模型，动态优化模型。按表现形态（特征）分为：确定的还是随机的，静态的还是动态的，离散的还是连续的，线性的还是非线性的。了解程度分为：白箱，灰箱，黑箱。8。建模能力培养：想象力，洞察力，判断力。类比和悟性，实践性。习题：4.正方形椅子问题：如何转化为连续函数的零点存在性问题：位置，函数，转动角度。5.多步决策问题-三要素6.施救问题：模型，求解最大值点满足，第2章：初等模型1 光盘的数据容量 CLV光盘：，近似计算螺旋线长度：同心圆周长，环形区域面积计算,平均周长近似。CAV光盘：取决于最里圈的密度，等效长度为。对于给定的，求使容量最大。，。2双层玻璃模型建模。掌握分析变量关系和建立模型的方法，了解热传导关系表示。 单层和双层的热量 ，取，得到。3划艇比赛成绩建模：掌握比例关系建模方法，得到，进而得到。4实物交换：掌握交换方案的确定方法。无差别曲线（族）（在其上满意度相同，或效用函数值相同，效用函数等值性）。无差别曲线的特征：单调减，下凸的交换路径：甲乙两族无差别曲线族的切点构成交换路径。交换方案确定：交换路径和等价交换线（价值等值线）的交点即为交换方案。2.5 均流池设计 1。恒定流出量和最大容量。恒定流出量等于平均流量。最大容量计算，计算各时间的容量（初值值未定，取为零），考虑最大-最小即当容量。最优设计问题：成本最小设计（等式约束优化问题） 求解（消元法，乘子法）2.6 交通流模型（1）交通流的基本参数及其特征：流量，流速，密度，。速度和流量模型：对数模型，二者之间的联系。（2）2.9 天气预报的评价 给出4种预报方法有雨概率和实际观测结果（有雨，无雨），评价优劣（1）计数模型-把概率进行0,1处理，计算准确率，该方法未考虑具体的概率值。（2）计分模型-考虑对预报概率进行赋分：（1），（2），（3）习题：1.比例关系方法推导2.无差别曲线的含义，协议线，7。大包装问题：总成本构成：生产成本正比于重量，包装成本正比于，固定成本。单价表示，分析单价的性质，一阶导数和二阶导数性质。8.鱼重量模型，建模，根据数据确定参数。第3章 连续优化模型1 存储模型。掌握推导不允许缺货情况下的订货模型并求解；推导增加购买货款情况下的建模求解问题（习题1）；建立允许缺货情况的订货模型；建立生产销售存储模型（习题2）。 不容许缺货的存储模型：订货费和存储费，每天的费用，求解得到， 允许缺货的存贮模型：订货费+贮存费+缺货费，订货周期，订货量的二元函数：画图表示：开始缺货时间，总费用平均每天的费用求导得到：。相当于容许缺货。2 最优生猪出售时间模型：掌握利润建模优化方法，掌握求解对参数的敏感性系数方法（敏感性分析方法）。利润表示最优时间满足：，利润最优性条件：边际收入=边际支出。依赖于参数，相对敏感度系数（弹性系数，百分比），含义：变化1%，则相应变换。符号表示变换趋势。3 建立救火模型并求解，并对模型假设进行分析和推广。画图表示对变化图，为开始救火时刻，为火灭时刻，损失费和救援费：求解得到6消费者的选择。理解均衡消费问题的含义，建立均衡消费模型，推导均衡消费条件，掌握效用函数的基本特征。要点：均衡消费问题-偏爱程度用无差别曲线（效用函数等值线）表示。已知甲乙价格, 有钱，试分配,购买甲乙数量,使 最大.其模型为 具有等式约束的最大值问题。求解约束最大值问题的乘子法步骤：（1）构造函数：（2）求的无约束极值问题。均衡消费条件-边际效用之比等于价格之比。应用：给定效用函数求费用之比。习题4：（1）效用函数等值线即为无差别曲线，单调减，下凸的。（2）验证效用函数一、二阶导数条件；（3）求消费比例。效用函数的基本特征（一阶条件和二阶条件）：（B) 效用函数与无差别曲线的关系：效用函数的等值性就是无差别曲线，即由隐式方程确定函数曲线为无差别曲线，其特征是单调减，下凸的，即（A) 效用函数等值线即无差别曲线是单调减的，下凸的。由（B)推出（A）（习题）证明思路：由两端关于求导，求出，证明，即单调减。要证下凸，需再求导，计算，证明。效用函数的构造：几种典型的效用函数（验证满足条件B）及均衡消费费用比（1）调和效用函数（2）幂效用函数（3）均根方效用函数效用最大化模型的应用： 例1 征销售税还是征收入税 效用函数等值线为，对甲征收销售税，则约束为，设均衡消费点为，税为。若改为收收入税，则约束变为。讨论对应的消费点的效用值以比较满意度。例2 价格补贴给生产者还是消费者：设价格时消费点为，消费线为，补贴给生产者的量为，使价格保持。若补给消费者，容许价格为，则消费线为。此时消费线外推，绝对斜率变大，通过原来的消费点，此时均衡消费点的效用值大。3.5。生产者的决策最大利润模型：投入量为，最大点方程。最大利润在边际产值等于边际成本时达到。最优定价模型：产销平衡时，价格为，销量为，则利润为，最大值点满足，即投资费用一定的产值最大模型：等式约束的条件极值。 最大值点方程，边际产值等于价格之比。习题6 两段定价问题求解：利润表示，求最大值点。若销量一定，则为等式约束的极值问题。产值最大与费用最小的对偶关系（对偶原理） 费用一定下产值最大模型； 产值一定下费用最小模型对应的相同。习题：1，2，3,4（1-3），5,6，8习题：（1）考虑购买货物费用问题：（2）生产销售存储问题。存储量函数的表示，费用表示。第4章 离散优化模型1 数学规划（最优化模型）概述。规划模型（最优化模型）的三要素：决策（设计，控制）变量，目标函数和约束条件。最优化模型就是在满足约束条件的集合中（可行集）求目标函数的最优值。按目标函数分分为多目标规划和单目标规划。单目标规划模型的一般形式：线性规划：目标函数和约束条件都是线性的称为线性规划。不是线性规划统称为非线性规划。二次规划：目标函数是二次的，约束条件是线性的称为二次规划。整数规划：决策变量均取整数值的规划称为整数规划。部分决策变量取整数，其它取实数则称为混合整数规划。只取0,1的变量称为0-1变量。实际问题建模（生产计划-线性规划）。建模，软件计算，LINGO编程：编程语句及其编程： sets.endsets; 定义数组变量和连接矩阵（派生矩阵） ，属性变量（变量实例）data.enddata,for,sum,gin,bin等结果分析：约束条件分析（SLACK OR SURPLUS,紧约束)影子价格含义，敏感性分析：目标函数系数，约束条件右端系数的变化范围。1 生产计划建模：决策变量为目标为利润（费用），约束为生产要素限制，一般为线性规划。2 运输问题建模：一般运输问题建模。第个供应点（源）第个需求点（汇）的量为，则模型为编程问题：其它变形问题：货物装运问题，考虑平衡问题。4 选拔与选课问题 特殊类型的运输问题：0-1变量表示搭配标示， 三要素： 选课问题：先修条件约束处理 多目标问题转化为单目标的方法：目标转化为约束条件，加权法。6 原料下料问题。掌握下料问题建模的一般方法。下料问题：按照工艺要求，确定下料方案，使所用材料最省，或利润最大。建模方法和步骤：确定下料模式及相关参数，按第模式下料次数为决策变量，建立目标函数和约束条件建立模型。重点：钢管下料（一维问题）问题，由程序确定切割模式问题的编程。易拉罐下料（二维），主要是建模。习题1,2,3,4,7，11 第5章 微分方程模型5.1 传染病模型：掌握SI模型的建模与求解，SIR模型的建立与在相平面上求解，做出相轨线。模型：，掌握分离变量方法求解（分离，积分），渐进性质模型：，掌握求解过程模型：。相平面上的相轨线方程在相平面上画出轨线。分析证明的变化趋势和渐进性质。5.2 经济增长模型： 应用Douglas生产函数分析相对增长率之间的关系，资金和劳动力的最佳搭配。贝努力方程的求解。生产函数，相对变化率之间的关系资金-劳动力的最优组合（利润最大）：增长动态模型：封闭方程：，贝努力方程的求解：，推导的条件。5.3 战争模型：一般模型正规战争：，掌握微分消元（高阶方程）求解，相平面方程和相轨线，分析结局和获胜条件。游击战模型：，相平面方程，相轨线，分析结局和获胜条件混合战争模型，相轨线，分析结局和获胜条件5.4 血药浓度分布模型 （二室模型）一般模型（药量或浓度形式）（1）快速静脉注射：掌握求齐次方程组通解的方法：（1）求的特征值及特征向量，设，则通解为，其中为待定常数，由初始条件确定。特征值与矩阵元素的关系（维达公式：特征值之和等于矩阵的迹（对角元之和），特征值之积等于行列式）（2）静脉恒速：，求非齐次方程组（为常向量）通解方法：齐次通解+特解 ，常数向量特解满足 （3）口服和肌肉注射：吸收室 ，其求非齐次方程通解方法。特解为代入方程确定。习题：1,2,3,4,5,6,11,12第6章 代数方程与差分方程建模6.1投入产出模型表示第个部门消耗第种产品，可表示为，表示第产品对第产品的消耗系数，则模型的矩阵形式为，问题由d求x ,x对d的敏感性（变化性）6.2 CT技术及其图像重建X射线强度衰减模型，沿线积分得到，即离散模型问题转化求解。6.3 量纲分析与无量纲化建模。掌握量纲齐次原理和无量纲建模方法。（1）量纲齐次原理：两端量纲一致，确定变量之间的幂律（指数）关系。-定理：确定变量之间简化关系的步骤（减少变量个数，降维）：（1）确定基本量纲；（2）用基本量纲表示其它量的量纲，得到表示矩阵（列表示）；（3）求解；（4）构造无量纲量-对应；（5）原方程可简化为（2）无量纲化简化ODE：定义特征尺度（参考尺度），做无量纲化变换，变换导数得到关于新变量的ODE；求解或近似求解。6.4 蛛网现象与差分方程组1。掌握蛛网差分方程和求平衡点的方法，掌握分析二维平衡点稳定性条件的方法（平衡点展开，消元得到递推公式） 线性差分方程（组）平衡点及其稳定性分析方法： 一阶线性差分方程：，平衡点。齐次方程为，稳定条件：。二阶线性差分方程：，平衡点方程。稳定性就是讨论是否收敛于零，满足齐次方程，其解为，是特征方程的根。稳定条件是其模小于1 价格和供应量变化的蛛网现象和蛛网差分模型（差分方程）平衡点方程：稳定性条件：而，得到稳定条件为，即。6.5 减肥计划模型体重模型：差分方程反问题：（1）求系数（参数）平衡点方程：，可确定。由求解得到,且（2）求：，递推求解由求。6.6 具有年龄结构的人口模型（L-模型）掌握人口年龄结构的-模型和矩阵的重要性质。 1-龄组，其它组 分量形式和矩阵形式的转换递推：。-矩阵的重要性质：的特征方程为最大正特征值是单根，当存在，则.求的特征向量：特征值和特征向量的定义，取，依次求解其它方程得到特征向量为。繁殖率稳态条件：,当，当时。习题：1,2,3,7,8,9,10,11。第7章 稳定性模型7.1 捕鱼模型：（1）掌握求方程平衡点的方程，判断平衡点稳定条件。（2）以产量、效益为目标确定最优捕捞强度和渔量，产量。（1）求自治方程的平衡点方法：平衡点方程，得到平衡点 内容摘要：（1）自治系统（右端只依赖于）的平衡点方程为。达到平衡状态，不随时间变化，。如果系统到达初始状态，将不再变化。 平衡点稳定的定义：如果对所有的初始点均成立，则平衡点是稳定的。按定义讨论，必须求出，检验极限，这种方法称为间接方法（要求解）（2） 平衡点稳定性分析的直接方法-线性化方法（将在点展开，取其线性部分得到线性近似方法结论：稳定，不稳定，直接分析方程（3）产量模型和效益模型：具有捕捞的渔量方程平衡点：。产量效益：，渔量产量，7.2 军备竞赛：一、基本要求掌握求线性微分方程组平衡点的方法，判断平衡点稳定的方法，并用于军备竞赛问题：方程，求平衡点，讨论稳定条件。 二、内容摘要 一般模型自治系统求平衡点平衡点方程。稳定性分析：考虑误差，满足齐次方程，（考虑平衡点的稳定性。只需考虑齐次方程的解），稳定条件的两个特征值均为负实数或具有负实部，行列式为正，对角元之和为负（其误差具有形式）对于模型，矩阵形式平衡点方程，稳定性分析：稳定条件。7.3 竞争模型一、基本要求 掌握非线性自治微分方程组的平衡点及其稳定性分析方法（线性化方法），二、内容摘要：（1）一般的的平衡点方程为。设为，分析稳定性：线性化方法（展开取其线性部分）变为线性方程，其稳定条件为行列式为正，对角元之和为负（特征值为负或负实部）。（2）竞争模型：，求平衡点令得到局部稳定性条件：的行列式和对角元之和。7.6 差分形式（离散）的阻滞增长模型一、要求：掌握求非线性差分方程的平衡点及其稳定性分析的方法，了解非线性差分方程（迭代）的混沌现象。二、要点： 非线性差分方程平衡点方程，稳定性分析：取近似稳定条件为。，变换平衡点方程：，平衡点为。稳定条件：线性化分析方法。倍周期分析。 第8章： 离散模型8.1 层次分析方法 掌握层次分析的基本步骤，能够用层次分析方法解决实际问题要点：层次分析结构图：三层结构图：目标层，准则层，方案层 各层之间的关联矩阵（成对比较阵），计算权向量（最大特征值对应的特征向量）。一致性检验（一致性指标，一致性比率）权向量的综合过程，递推公式 完全一致阵的性质：秩为1，可表示为的形式，唯一正的特征值为。 正互反矩阵的最大正的特征值，当时为一致阵，对应的归一化特征向量为权向量。 层次分析法的基本步骤：建立层次分析结构图，给出各层的成对比较矩阵，计算特征值和特征向量、权向量，进行一致性检验（一致性指标，随机一致性指标，一致性比率），权向量综合（合成）。 8.2 循环比赛的名次 掌握竞赛图的结构和性质：顶点和有向边，双向连通图-任一对顶点之间存在两条有向路径相互连通。 性质：必有完全路径。若唯一则按路径排序。双向连通竞赛图的排序方法：邻接矩阵及其含义，素阵-存在正整数， ,.素阵的最大特征值为正单根，其对应的特征向量为极限得分，可作为排序依据。第10章 统计分析模型10.1 牙膏销售量建模 模型：,其中为价格差，为广告费，为随机误差，服从均值为零的正态分布。 将数据代入模型，得到关于参数的矛盾方程组，可表示为该模型称为线性模型，其中系数矩阵称为结构矩阵。用最小二乘法求参数就是的最小二乘估计。函数调用格式： b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X,alpha)结果分析：bint为b的置信区间，不能包含零点。如果包含零点说明该变量影响不显著。可考虑引进新的变量，如交互作用。重点是根据模型类型和数据写出结构矩阵：将数据代入模型得到关于未知参数的矛盾方程组，一个数据对应一个方程，X的第一列是第一个参数的系数，第2列是第二个参数的系数，依次类推。(2) 完全二次多项式回归模型 模型为，调用函数RSTOOL以交互式画面给出值及其预测区间。调用格式为RSTOOL（X,Y,model)其中X为自变量的数据构成的结构矩阵，Y为因变量的数据，model为模型选项，这里选quddratic表示全二次多项式。10.2 薪金建模属性变量-变量取值没有具体的数值意义，对应于属性变量引入0-1标示变量以刻画属性变量的不同取值。标示变量的个数等于属性变量取值个数-1，如属性变量有三个取值，则用两个标示变量以（1,0），（0，1）和（0,0）标示，若属性变量取值为4个，则以三个标志变量表示，即（1,0,0），（0,1,0），（0,0,1）和（0,0,0）表示。引入标示变量后，其建模与通常数值变量建模类似。10.3 酶促反应-非线性回归模型M-M模型，根据数据估计参数（1）线性化模型：。对变换后的线性模型用最小二乘求解，并不意味着对原来的模型也是最小二乘意义下的最优估计。利用线性化模型得到的参数值可作为非线性拟合方法的初始值。（2）对原模型直接进行非线性回归,调用函数格式beta,R,J=nlinfit(x,y,model,beta0);betaci=npparci(beta,R,J);重点：modelfun的编写（M-文件或者在线定义函数）。习题：1，2，4，5试验内容：(1)调用多重线性回归函数regress(2)调用RSTOOL(3)调用非线性拟合nlinfit 产生数据：模型为b0=17.324;b1=1.3070;b2=-3.6956;b3=0.3486;f=(x1,x2)17.324+1.3070*x1-3.6956x2+0.3486*x2.2x1=-1:0.1:1;x2=x1.2; y=f(x1,x2);x1,x2,y-1.0000 4.0000 6.8122 -0.9000 4.1000 6.8557 -0.8000 4.2000 6.9062 -0.7000 4.3000 6.9636 -0.6000 4.4000 7.0281 -0.5000 4.5000 7.0994 -0.4000 4.6000 7.1778 -0.3000 4.7000 7.2632 -0.2000 4.800