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第二节 不定积分的换元积分法,一、不定积分的第一类换元法,二、不定积分的第二类换元法,三、基本积分表 (2),问题,解决方法,利用一阶微分形式不变性 .,解,一、第一类换元法,?,在一般情况下：,设,则,由此可得换元法定理,定理1 设 f(u) 具有原函数 F (u) , u= (x) 有连续 导数 , 则有换元公式：,不定积分的第一类换元法 凑微分法 .,说明 使用此公式的关键在于将,化为,例1 求下列不定积分,一般地,4) 解,5) 解,例 求,解法1,解法2,解法3,观察重点不同，所得结论形式可能不同.,例2 求,解,例3 1) 求,例4 1) 求,2) 求,思考：求不定积分,求,例5 求,解,同理可得,( 使用了三角函数恒等变形 ),例6 (1) 求,类似地可推出,(2) 求,例7 求下列不定积分,例8 求,解,说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.,例9 求,解,例10 求,解,( 使用三角函数恒等变形 ),例11 求,解,例12 (1) 求,(2) 求,例13 求下列不定积分,例14 求,解,例15 求,原式,解,例16 (1) 求,(2) 求,小结:,第一类换元积分(凑微分)是把被积函数中的某个函数看做一个新变量.,凑微分法常见类型:,练习：,求下列不定积分,解,解,解,解,解,解,问题,解决方法,改变中间变量的设置方法.,过程,令,( 应用“凑微分”即可求出结果 ),二、不定积分的第二类换元法,定理2 设 x = (t) 是单调可导函数 , 且 (t) 0 连续 , 则有换元公式：,不定积分的第二类换元法 .,例1 求,解,例2 求,解,例3 求,解,说明(1) 以上几例所使用的均为三角代换.,三角代换的目的是化掉根式.,一般规律如下：当被积函数中含有,可令,可令,可令,说明(2) 积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.,例4 求,令,解,例5 求,解,令,说明(3) 当被积函数含有两种或两种以上的根式 时，可采用令 (其中 n 为各根指数的最小公倍数) .,例6 求,解,令,说明(4) 当分母的阶较高时, 可采用倒代换,例8 求,令,解,说明(5) 积分中为了化掉根式除采用三角代换 外还可用双曲代换.,也可以化掉根式 .,例 中, 令,三、基本积分表 (2) P182,例 求下列不定积分,例 1),解,例 2),解,四、小结,1. 两类积分换元法：,(一) 凑微分,(二) 三角代换、根式代换,2. 基本积分表(2),第一类换元积分是把被积函数中的某个函数看做一个新变量.,
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