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第七节 定积分的换元积分法 与分部积分法,一、定积分的换元积分法,二、定积分的分部积分法,一、定积分的换元积分法,定理1 设函数,单调函数,满足:,证: 所证等式两边被积函数都连续,故积分都存在 ,且它们的原函数也存在 .,是,的原函数 ,因此有,则,则有,说明,1) 当 , 即区间换为 , 时 ,定理 1 仍成立 .,2) 换元必换限 , 且新变量与旧变量的上、下限要分别对应.,3) 求出 f (t) (t)的原函数后不必把变量还原，只要把新变量的上、下限代入计算即可.,例1 计算,解,原式,例2 求,解,原式,说明:,定积分的换元公式可以反过来使用.,即有:,即可以用 来引入新变量 t ,例3 求,解,原式,或,原式,例4 计算,解,原式,用凑微分法时，若没有引入新变量，则不必换限.,例5 计算,解,原式,例6,解,例7 设 f(x)C a,a (a 0)，证明：,证明,由此可得：,1) 若 f (x) 为偶函数 ,f (x)= f (x) ,则有,2) 若 f (x) 为奇函数 ,f (x)= f (x) ,则有,注意 计算在对称于原点的区间上的定积分时利用这两个公式常能带来很大的方便.,课本 Page212,例8 计算下列定积分,解,原式,2) 计算,解,原式,单位圆的面积,课本 Page213,证,思考与练习,解,令,2、,定积分的分部积分公式,二、定积分的分部积分法,定理2,则,证,例1 计算,解,例2 计算,解,例3 计算,解,例4 计算,解,例5 设 求,解,例6 证明定积分公式,课本 Page215,注意 此公式在定积分的计算中很有用.,证,递推公式,直到下标减到0或1为止,于是,例7 计算,解,例8 计算,解,一般地有：,例9,解,1、定积分的换元法,三、小结,1) 用凑微分法时，若没有引入新变量，则不必换限.,2) 作变换 x= (t) 时, (t) 在积分区间上应单调且有连续导数 , 同时还应注意换元必换限.,3、一些特殊积分及公式等式.,2、定积分分部积分法,应该边积分边代积分限.,思考题,解,令,思考题解答,计算中第二步是错误的.,正确解法是,练 习 题,练习题答案,练 习 题,练习题答案,例5 计算,解,原式,例5 计算,解,例6 求函数
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