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9-3 三重积分,三重积分的概念 三重积分的计算 (1)利用直角坐标计算三重积分 (2)利用柱面坐标计算三重积分 (3)利用球面坐标计算三重积分,二、三重积分的计算,方法：三重积分 三次积分 利用直角坐标计算三重积 利用柱面坐标计算三重积分 利用球面坐标计算三重积分,(1)利用直角坐标计算三重积分,“穿线法” “先一后二法” （依次计算一个单积分及一个二重积分） “截面法” “先二后一法” （依次计算一个二重积分及一个单积分）,如图，,得,注意,类似的, 若平行于y轴的直线与的边界至多交于两点,可将投影在xoz面上; 若平行于x轴的直线与的边界至多交于两点,可将投影在yoz面上.,解,例3 设,计算,解,原式,三重积分的定义和计算,在直角坐标系下的体积元素,（计算时将三重积分化为三次积分）,小结,作业：,(2)利用柱面坐标计算三重积分,规定：,柱面坐标与直角坐标的关系为,如图，三坐标面分别为,圆柱面；,半平面；,平 面,如图，柱面坐标系中的体积元素为,柱面坐标系下的体积元素：,柱面坐标与直角坐标的关系：,转换公式：,解,知交线为,三重积分有以下情形之一,则适用于利用柱面坐标来计算:,(1)积分区域是圆柱体或其一部分;,(2)积分区域在xoy面的投影域是一个圆域或其一部分;,作业：,(3)利用球面坐标计算三重积分,规定：,如图，三坐标面分别为,圆锥面；,球 面；,半平面,球面坐标与直角坐标的关系为,如图，,球面坐标系中的体积元素为,如图，,球面坐标与直角坐标的关系：,球面坐标系下的体积元素：,转换公式：,例6. 求半径为a 的球面与半顶角为 的,内接锥面所围成的立体的体积.,解: 在球坐标
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