2020版高考数学复习第四章三角函数、解三角形第7讲第2课时正、余弦定理的综合问题检测.docx

第7讲 第2课时 正、余弦定理的综合问题基础题组练1ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b，c4，cos B，则ABC的面积等于()A3BC9 D解析：选B.法一：由余弦定理b2a2c22accos B，代入数据，得a3，又cos B，B(0，)，所以sin B，所以SABCacsin B，故选B.法二：由cos B，B(0，)，得sin B，由正弦定理及b，c4，可得sin C1，所以C，所以sin Acos B，所以SABCbcsin A，故选B.2在ABC中，已知C，b4，ABC的面积为2，则c()A2 BC2 D2解析：选D.由Sabsin C2a2，解得a2，由余弦定理得c2a2b22abcos C12，故c2.3(2019河南三市联考)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，sin Asin B1，c2cos C，则ABC的周长为()A33 B2C32 D3解析：选C.因为sin Asin B1，所以ba，由余弦定理得cos C，又c，所以a，b3，所以ABC的周长为32，故选C.4在ABC中，AB3，BC，AC4，则边AC上的高为()A BC D3解析：选B.由余弦定理知cos A，所以sin A.所以SABCABACsin A343.设边AC上的高为h，则SABCACh4h3，所以h.5在ABC中，A，b2sin C4sin B，则ABC的面积为_解析：因为b2sin C4sin B，所以b2c4b，所以bc4，SABCbcsin A42.答案：26在ABC中，A60，AB2，且ABC的面积为，则BC的长为_解析：因为SABCABACsin A2AC，所以AC1，所以BC2AB2AC22ABACcos 603，所以BC.答案：7(2017高考北京卷)在ABC中，A60，ca.(1)求sin C的值；(2)若a7，求ABC的面积解：(1)在ABC中，因为A60，ca，所以由正弦定理得sin C.(2)因为a7，所以c73.由余弦定理a2b2c22bccos A得72b2322b3，解得b8或b5(舍)所以ABC的面积Sbcsin A836.8(2017高考全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(AC)8sin2.(1)求cos B；(2)若ac6，ABC的面积为2，求b.解：(1)由题设及ABC得sin B8sin2，故sin B4(1cos B)上式两边平方，整理得17cos2B32cos B150，解得cos B1(舍去)，cos B.(2)由cos B得sin B，故SABCacsin Bac.又SABC2，则ac.由余弦定理及ac6得b2a2c22accos B(ac)22ac(1cos B)3624.所以b2.综合题组练1(2019河北石家庄一模)在ABC中，AB2，C，则ACBC的最大值为()A B2C3 D4解析：选D.在ABC中，AB2，C，则4，则ACBC4sin B4sin A4sin4sin A2cos A6sin A4sin(A)，所以ACBC的最大值为4.故选D.2在梯形ABCD中，ABCD，AB1，AC2，BD2，ACD60，则AD()A2 BC D136解析：选B.因为在梯形ABCD中，ABCD，ACD60，所以BAC60.在ABC中，AB1，AC2，由余弦定理，得BC，所以AB2BC2AC2，所以ABCBCD90.在BCD中，由勾股定理，得CD3，所以在ACD中，由余弦定理，得AD.故选B.3(2019福建第一学期高三期末考试)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(acos Cccos A)b，B60，则A的大小为_解析：由正弦定理及(acos Cccos A)b，得(sin Acos Csin Ccos A)sin B，所以sin(AC)sin B，由B60，得sin B，所以sin(AC).又AC1202C(120，120)，所以AC30，又AC120，所以A75.答案：754在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，a，a2.若b1，3，则c的最小值为_解析：由a，得sin C由余弦定理可知cos C，即3cos Csin C，所以tan C，故cos C，所以c2b22b12(b)29，因为b1，3，所以当b时，c取最小值3.答案：35(综合型)(2019辽宁大连检测)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cos2Bcos2Csin2Asin Asin B.(1)求角C；(2)若c2，ABC的中线CD2，求ABC的面积S的值解：(1)由已知得sin2Asin2Bsin2Csin Asin B，由正弦定理得a2b2c2ab，由余弦定理可得cos C.因为0C，所以C.(2)法一：由|2，可得22216，即a2b2ab16，又由余弦定理得a2b2ab24，所以ab4.所以Sabsin ACBab.法二：延长CD到M，使CDDM，连接AM，易证BCDAMD，所以BCAMa，CBDMAD，所以CAM.由余弦定理得所以ab4，Sabsin ACB4.6已知a，b，c分别是ABC中角A，B，C的对边，acsin A4sin C4csin A.(1)求a的值；(2)圆O为ABC的外接圆(O在ABC内部)，OBC的面积为，bc4，判断ABC的形状，并说明理由解：(1)由正弦定理可知，sin A，sin C，则acsin A4sin C4csin Aa2c4c4ac，因为c0，所以a2c4c4caa244a(a2)20，可得a2.(2)设BC的中点为D，则ODBC，所以SOBCBCOD.又因为SOBC，BC2，所以OD，在RtBOD中，tanBOD，又0BOD180，所以BOD60，所以BOC2BOD120，因为O在ABC内部，所以ABOC60，由余弦定理得a2b2c22bccos A.所以4b2c2bc(bc)23bc，又bc4，所以bc4，所以bc2，所以ABC为等边三角形7在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin(AC)2sin Acos(AB)，且sin2Asin2Bsin2Csin Asin B0.(1)求证：a，b，2a成等比数列；(2)若ABC的面积是2，求c.解：(1)因为ABC，sin(AC)2sin Acos(AB)，所以sin B2sin Acos C，在ABC中，由正弦定理得，b2acos C，因为sin2Asin2Bsin2Csin Asin B0，所以由正弦定理可得a2b2c2ab0，所以cos C，所以C，所以ba，则b22a2a2a，所以a，b，2a成等比数列(2)ABC的面积Sabsin Cab2，则ab4，由(1)知，ba，联立两式解得a2，b2，所以c2a2b22abcos C48222()20，所以c2.8在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A.(1)求b的值；(2)若sin Bcos B2，求ABC的面积的最大值解：(1)因为sin A，所