2018_2019学年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一不等式2基本不等式学案.docx

2基本不等式1.理解并掌握定理1、定理2，会用两个定理解决函数的最值或值域问题2能运用基本不等式(两个正数的)解决某些实际问题,学生用书P5)1重要不等式定理1：如果a，bR，那么a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立2基本不等式(1)定理2：如果a，b0，那么，当且仅当ab时，等号成立(2)定理2的应用：对两个正实数x，y，如果它们的和S是定值，则当且仅当xy时，它们的积P取得最大值，最大值为如果它们的积P是定值，则当且仅当xy时，它们的和S取得最小值，最小值为21判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)a，b的算术平均数是，几何平均数是.()(2)应用基本不等式求最值时应注意“一正、二定、三相等”()(3)若a2b22ab对任意a，b恒成立，则ab2也对任意实数a，b恒成立()答案：(1)(2)(3)2若a，bR，且ab0，则下列不等式中恒成立的是()Aa2b22abBab2CD2答案：D3已知x3，则x的最小值为()A2B4C5 D7答案：D4若a0，b0，且ab1，则ab的最大值为_解析：因为1ab2，所以ab.答案：利用基本不等式证明不等式学生用书P6已知a，b，cR，且abc1.求证：9.【证明】法一：因为a，b，cR，且abc1，所以3332229.当且仅当abc时，等号成立即9.法二：因为a，b，cR，且abc1，所以(abc)111332229，当且仅当abc时，等号成立所以9.利用基本不等式证明不等式的方法与技巧(1)方法：用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形形式进行证明(2)技巧：对含条件的不等式的证明问题，要将条件与结论结合起来，寻找出变形的思路，构造出基本不等式，切忌两次使用基本不等式用传递性证明，有时等号不能同时取到 1.已知：a、b、c、d都是正数，求证：(abcd)(acbd)4abcd.证明：由a、b、c、d都是正数得：0，当且仅当abcd时，等号成立0，当且仅当acbd时，等号成立所以(abcd)(acbd)abcd.即(abcd)(acbd)4abcd.当且仅当bc，且ad时，等号成立2已知a，b为实数，求证：(abc)证明：由不等式a2b22ab，得，即，同理，三式相加得(abc)(当且仅当abc时，等号成立)利用基本不等式求函数最值学生用书P6(1)当x0时，求f(x)的值域；(2)设0x，求函数y4x(32x)的最大值；(3)已知x0，y0，且1，求xy的最小值【解】(1)因为x0，所以f(x).因为x2，所以0.所以0f(x)1，当且仅当x1时取“”即f(x)的值域为(0，1(2)因为0x，所以32x0.所以y4x(32x)22x(32x)2.当且仅当2x32x，即x时，等号成立所以y4x(32x)的最大值为.(3)因为x0，y0，1，所以xy(xy)1061016.当且仅当，又1，即x4，y12时，上式取等号故当x4，y12时，有(xy)min16.应用基本不等式求最值的步骤(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值；(2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取(1)变为同正；(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决 1.设函数f(x)2x1(x0)，则f(x)()A有最大值B有最小值C是增函数 D是减函数解析：选A.因为x0，所以f(x)2x112121.当且仅当2(x)，即x时，等号成立故f(x)max21.2已知lg xlg y2，则的最小值为_解析：因为lg xlg y2，所以lg(xy)2.所以xy102.所以，当且仅当xy10时，等号成立答案：3设x，yR，且2x8yxy0，求xy的最小值解：由2x8yxy0得，y，所以xyx(x8)8(x8)1021018，当且仅当x8，即x12，y6时，等号成立，所以xy的最小值为18.基本不等式的实际应用学生用书P7某游泳馆出售冬季游泳卡，每张240元，其使用规定为：不记名，每卡每次只限一人，每天只限一次某班有48名同学，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次游泳还需包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的包车费都为40元(1)若每个同学游8次，每人至少应交多少元钱？(2)若每个同学游4次，每人至少应交多少元钱？【解】设买x张游泳卡，总开支为y元(1)每批去x名同学，共需去批，总开支又分为：买卡所需费用240x元，包车所需费用元所以y240x40(0x48，xZ)因为y24024023 840，当且仅当x，即x8时，等号成立，所以每人至少应交80(元)(2)每批去x名同学，共需去批，总开支又分为：买卡所需费用240x元，包车所需费用元所以y240x40(0x48，xZ)，即y24024021 920，当且仅当x，即x4时，等号成立由0x48，546，xZ可知，当x15时，y12402 736；当x26时，y22402 720.因为y1y2，所以当x6时，y有最小值，ymin2 720.故每人至少应交56.67(元)利用基本不等式解决应用题时，首先要仔细阅读题目，弄清要解决的实际问题，确定是求什么量的最值，然后分析题目中给出的条件，建立y的函数表达式yf(x)(x一般为题目中最后所要求的量)，最后利用不等式的有关知识解题求解过程中要注意实际问题对变量x的范围的制约 为确保世界杯总决赛的顺利进行，组委会决定在体育场外临时围建一个矩形观众候场区，总面积为72 m2(如图所示)，要求矩形场地的一面利用体育场的外墙，其余三面用铁栏杆围，并且要在体育场外墙对面留一个长度为2 m的入口现已知铁栏杆的租用费用为100元/m.设该矩形区域的长为x(单位：m)，租用铁栏杆的总费用为y(单位：元)(1)将y表示为x的函数(2)试确定x，使得租用此区域所用铁栏杆所需费用最小，并求出最小值解：(1)依题意有：y100，其中x2.(2)由基本不等式可得：y100100100(22)2 200，当且仅当x，即x12时取“”综上：当x12时，租用此区域所用铁栏杆所需费用最小，最小费用为2 200元1由基本不等式变形得到的常见的结论(1)ab；(2) (a，bR)；(3)2(a，b同号)；(4)(ab)4(a，bR)；(5)a2b2c2abbcca.2利用基本不等式求最值，关键是对式子进行恰当的变形，合理构造“和式”与“积式”的互化，必要时可多次应用基本不等式注意一定要求出使“”成立的自变量的值，这也是进一步检验是否存在最值的重要依据1已知正数x，y满足xy1，则x2y2的最小值为_解析：正数x，y满足xy1，则x2y22xy2，当且仅当xy1时，取得最小值2.答案：22设a0，b0，若是3a与3b的等比中项，则的最小值是_解析：因为是3a与3b的等比中项，所以3a3b3ab3，所以ab1，所以ab(当且仅当ab时等号成立)，所以4.答案：43当x时，函数yx的最小值为_解析：因为x，所以x0，所以yx4，当且仅当x，即x时，取“”答案：