2019版高考数学复习备考技法专题二4大数学思想系统归纳——统一统思想讲义理（普通生，含解析）.docx

备考技法专题二 4 大数学思想系统归纳统一统思想第1讲函数与方程思想函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式或方程与不等式的混合组)，然后通过解方程(组或不等式组)来使问题获解方程是从算术方法到代数方法的一种质的飞跃，有时，还可以将函数与方程互相转化、接轨，达到解决问题的目的函数与方程的思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解决有关求值、解(证明)不等式、解方程以及讨论参数的取值等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的应用(一)借助“显化函数关系”，利用函数思想解决问题在方程、不等式、三角、数列、圆锥曲线等数学问题中，将原有隐含的函数关系凸显出来，从而充分运用函数知识或函数方法使问题顺利获解例1已知数列an是各项均为正数的等差数列，a12，且a2，a3，a41成等比数列(1)求数列an的通项公式an；(2)设数列an的前n项和为Sn，bn，若对任意的nN*，不等式bnk恒成立，求实数k的最小值解(1)因为a12，aa2(a41)，又因为an是正项等差数列，所以公差d0，所以(22d)2(2d)(33d)，解得d2或d1(舍去)，所以数列an的通项公式an2n.(2)由(1)知Snn(n1)，则bn，令f(x)2x(x1)，则f(x)2，当x1时，f(x)0恒成立，所以f(x)在1，)上是增函数，故当x1时，f(x)minf(1)3，即当n1时，(bn)max，要使对任意的正整数n，不等式bnk恒成立，则需使k(bn)max，所以实数k的最小值为.技法领悟数列是定义在正整数集上的特殊函数，等差、等比数列的通项公式，前n项和公式都具有隐含的函数关系，都可以看成关于n的函数，在解等差数列、等比数列问题时，有意识地凸现其函数关系，从而用函数思想或函数方法研究、解决问题 ，不仅能获得简便的解法，而且能促进科学思维的培养，提高发散思维的水平应用体验1已知等差数列an满足3a47a7，a10，Sn是数列an的前n项和，则Sn取得最大值时n_.解析：设等差数列an的公差为d，3a47a7，3(a13d)7(a16d)，4a133d.a10，d，0A.由正弦定理得.0tan A，2，即2.答案：(2，)应用(二)转换“函数关系”，利用函数思想解决问题在有关函数形态和曲线性质或不等式的综合问题、恒成立问题中，经常需要求参数的取值范围，如果按照原有的函数关系很难奏效时，不妨转换思维角度，放弃题设的主参限制，挑选合适的主变元，揭示它与其他变元的函数关系，切入问题本质，从而使原问题获解例2已知函数f(x)lg，其中a为常数，若当x(，1时，f(x)有意义，则实数a的取值范围为_解析参数a深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于a的不等式(组)非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把a分离出来，重新认识a与其他变元x的依存关系，利用新的函数关系，使原问题“柳暗花明”由0，且a2a120，得12x4xa0，故a.当x(，1时，y与y都是减函数，因此，函数y在(，1上是增函数，所以max，a，故a的取值范围是.答案技法领悟发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系，反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现本题主客换位后，利用新建函数y的单调性巧妙地求出实数a的取值范围此法也叫主元法应用体验3对于满足0p4的所有实数p，使不等式x2px4xp3成立的x的取值范围是_解析：设f(p)(x1)px24x3，则当x1时，f(p)0.所以x1.函数f(p)在0,4上恒为正，等价于即解得x3或x0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中y1y2，则y1y2，y1y2，所以|y2y1|，所以SAOB|OE|y2y1|.设t，则g(t)t，t，所以g(t)10，所以g(t)在区间，)上为增函数，所以g(t)，所以SAOB，当且仅当m0时等号成立所以AOB的面积存在最大值，为.应用(三)构造“函数关系”，利用函数思想解决问题在数学各分支形形色色的问题或综合题中，将非函数问题的条件或结论，通过类比、联想、抽象、概括等手段，构造出某些函数关系，在此基础上利用函数思想和方法使原问题获解，这是函数思想解题的更高层次的体现特别要注意的是，构造时，要深入审题，充分发掘题设中可类比、联想的因素，促进思维迁移例3已知函数f(x)ex2x2a，xR，aR.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当aln 21且x0时，exx22ax1.解(1)由f(x)ex2x2a，知f(x)ex2.令f(x)0，得xln 2.当xln 2时，f(x)ln 2时，f(x)0，故函数f(x)在区间(ln 2，)上单调递增所以f(x)的单调递减区间是(，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，)，f(x)在xln 2处取得极小值f(ln 2)eln 22ln 22a22ln 22a.(2)证明：设g(x)exx22ax1(x0)，则g(x)ex2x2a，由(1)知g(x)ming(ln 2)22ln 22a.又aln 21，则g(x)min0.于是对xR，都有g(x)0，所以g(x)在R上单调递增于是对x0，都有g(x)g(0)0.即exx22ax10，故exx22ax1.技法领悟一般地，要证f(x)g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)f(x)g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式若F(a)0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可应用体验5.(2018天津高考)如图，在平面四边形ABCD中，ABBC，ADCD，BAD120，ABAD1.若点E为边CD上的动点，则的最小值为()A.B.C. D3解析：选A如图，以D为坐标原点建立平面直角坐标系，连接AC.由题意知CADCAB60，ACDACB30，则D(0,0)，A(1,0)，B，C(0，)设E(0，y)(0y)，则(1，y)，y2y2，当y时，有最小值.6设函数f(x)在R上存在导函数f(x)，对于任意的实数x，都有f(x)f(x)2x2，当x0时，f(x)12x，若f(a1)f(a)2a1，则实数a的最小值为()A B1C D2解析：选A设g(x)f(x)x2，则g(x)g(x)0，所以g(x)为R上的奇函数当x0时，g(x)f(x)2x10，所以g(x)在(，0)上单调递减，所以g(x)在R上单调递减因为f(a1)f(a)2a1，所以f(a1)(a1)2f(a)(a)2，即g(a1)g(a)，所以a1a，解得a，所以实数a的最小值为.应用(四)构造“方程形式”，利用方程思想解决问题分析题目中的未知量，根据条件分别列出关于未知数的方程(组)，使原问题得到解决，这就是构造方程法，是应用方程思想解决非方程问题的极富创造力的一个方面例4(2018全国卷)已知点M(1,1)和抛物线C：y24x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若AMB90，则k_.解析由题意知，抛物线的焦点坐标为F(1,0)，设直线方程为yk(x1)，直线方程与y24x联立，消去y，得k2x2(2k24)xk20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x21，x1x2.由M(1,1)，得(1x1,1y1)，(1x2,1y2)由AMB90，得0，(x11)(x21)(y11)(y21)0，x1x2(x1x2)1y1y2(y1y2)10.又y1y2k(x11)k(x21)k2x1x2(x1x2)1，y1y2k(x1x22)，11k2k10，整理得10，解得k2.答案2技法领悟本题由AMB90，知0，从而得出关于k的方程，问题即可解决应用体验7(2018浙江高考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a，b2，A60，则sin B_，c_.解析：由正弦定理，得sin Bsin A.由余弦定理a2b2c22bccos A，得74c24ccos 60，即c22c30，解得c3或c1(舍去)答案：38已知x，则函数y的最小值为_解析：将原函数变形为y2x25x20，x.设f(x)y2x25x2，该方程有解的充要条件为ff(2)0或解得y，所以ymin，此时x或x2.答案：应用(五)转换“方程形式”，利用方程思想解决问题把题目中给定的方程根据题意转换形式，凸现其隐含条件，充分发挥其方程性质，运用有关方程的解的定理(如根与系数的关系、判别式、实根分布的充要条件)使原问题获解，这是方程思想应用的又一个方面例5已知sin()，sin()，求的值解法一：由已知条件及正弦的和(差)角公式，得所以sin cos ，cos sin .从而.法二：令x.因为，且.所以得到方程.解这个方程得x.技法领悟本例解法二运用方程的思想，把已知条件通过变形看作关于sin cos 与cos sin 的方程来求解，从而获得欲求的三角表达式的值应用体验9已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正棱柱的体积取最大值时，其高的值为()A3 B.C2 D2解析：选D设正六棱柱的底面边长为a，高为h，则可得a29，即a29，那么正六棱柱的体积Vhh，令y9h，则y9，令y0，解得h2，易知当h2时，y取最大值，即正六棱柱的体积最大10设非零向量a，b，c满足abc0，|a|2，b，c120，则|b|的最大值为_解析：abc0，a(bc)，|a|2|b|22|b|c|cos 120|c|2，即|c|2|b|c|b|240，|b|24(|b|24)0，解得0|b|，即|b|的最大值为.答案：总结升华 函数与方程思想在解题中的应用主要涉及以下知识(1)函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解(2)三角函数中有关方程根的计算，平面向量中有关模、夹角的计算，常转化为函数关系，利用函数的性质求解(3)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数或一元二次方程来解决(4)解析几何中有关求方程、求值等问题常常需要通过解方程(组)来解决，求范围、最值等问题常转化为求函数的值域、最值来解决(5)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决第2讲数形结合思想数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想数形结合思想的应用包括以下两个方面：以形助数以数助形借助形的直观性来阐明数之间的联系以形助数常用的有：借助数轴，借助函数图象，借助单位圆，借助数式的结构特征，借助于解析几何方法借助于数的精确性来阐明形的某些属性以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系，借助于运算结果与几何定理的结合由“形”到“数”的转化，往往比较明显，而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识，因此，数形结合的思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化方法一：直接作图例1(1)已知函数f(x)sin x2|sin x|，x0,2的图象与直线yk有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是_(2)已知函数f(x)|lg x|.若0ah(1)3，即a2b的取值范围是(3，)故选C.答案(1)(1,3)(2)C技法领悟本例(1)中有一条明显的“动态”水平直线，通过上下移动观察其与函数图象的交点情况但有些题中的这条水平线就不容易能看出来，如本例(2)，实际上存在一条“虚拟”的水平直线，这一点固然重要，却不是本题的关键本题的关键在于水平直线与函数图象的两个交点的横坐标并非毫无关联，而是满足一定的关系，即ab1，这一关键之处决定了该类型题目的难度和极易出错的特性在此，务必注意到水平直线穿函数图象所得交点的横坐标之间的联系比如，一条水平直线穿二次函数图象的交点的横坐标之和为定值，且为对称轴的两倍；一条水平直线穿三角函数图象的交点的横坐标满足一定的周期性，等等应用体验1已知f(x)|x|x1|，若g(x)f(x)a的零点个数不为0，则a的最小值为_解析：原方程等价于f(x)其图象如图所示，要使af(x)有零点，则a1，因此a的最小值为1.答案：12已知函数f(x)sin的相邻两条对称轴之间的距离为，将函数f(x)的图象向右平移个单位后，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到g(x)的图象，若g(x)k0在x上有且只有一个实数根，则k的取值范围是()A. B.C. D.1解析：选D因为f(x)相邻两条对称轴之间的距离为，结合三角函数的图象可知，所以T，所以2，f(x)sin.将f(x)的图象向右平移个单位得到f(x)sin4sin，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到g(x)sin.所以方程为sink0.令2xt，因为x，所以t.若g(x)k0在x上有且只有一个实数根，即ysin t与yk在上有且只有一个交点作出ysin t与yk的图象如图所示，由正弦函数的图象可知k或k1，即k或k1.方法二：先变形后作图例2(1)直线y1与曲线yx2|x|a有四个交点，则a的取值范围为_ (2)已知函数g(x)ax22x，f(x)且函数yf(x)x恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是_解析(1)利用分离参数思想，直线y1与曲线yx2|x|a有四个交点，等价于方程1ax2|x|有四个不同的根，令g(x)x2|x|，画出g(x)的图象，如图(1)所示将水平直线y1a从上往下平移，当1a0，即a1时，有3个交点，再往下平移，有4个交点，继续往下平移，当1a，即a时，有两个交点如图(2)所示，因此a的取值范围为.(2)f(x)yf(x)x恰有3个不同的零点等价于yf(x)与yx有三个不同的交点，试想将曲线f(x)上下平移使之与yx有三个交点是何等的复杂，故可变形再结合图象求解由f(x)x可得f(x)xa所以yf(x)x有三个零点等价于a有三个根令h(x)画出yh(x)的图象如图所示，将水平直线ya从上向下平移，当a0时，有两个交点，再向下平移，有三个交点，当a1时，有三个交点，再向下就只有两个交点了，因此a1,0)答案(1)(2)1,0)技法领悟如果对本例(1)不变形，也可求出参数的取值范围，变形只是让作图更简单易行然而多数情况下，变形是解题的关键如本例(2)，如果不变形，恐怕不是复杂一点点的问题了应用体验3对任意实数a，b定义运算“*”：a*b设f(x)(x21)*(4x)，若函数yf(x)m的图象与x轴恰有三个不同的交点，则m的取值范围是()A(2,1) B0,1C2,0) D2,1)解析：选D解不等式x21(4x)1，得x2或x3.所以f(x)作出其图象如图中实线所示令yf(x)m0，则f(x)m.由图可知，当1m2，即2m1时，函数yf(x)的图象与直线ym恰有三个不同的交点，故当2m1时，函数yf(x)m的图象与x轴恰有三个不同的交点4若关于x的方程kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围为_解析：当x0时，显然是方程的一个实数解；当x0时，方程kx2可化为(x4)|x|(x4)，设f(x)(x4)|x|(x4且x0)，y，原题可以转化为两函数有三个非零交点则f(x)(x4)|x|的大致图象如图所示，由图，易得0.所以k的取值范围为.答案：应用(二)利用数形结合求解kxbf(x)型问题方法一：旋转动直线若直线的斜率在变化，则这样的直线往往都恒过某一个定点，对于这类型的题，首先找出这个定点非常关键，然后确定相应的临界情形，最后考虑旋转的方向 例3(1)已知函数f(x)|x2|1，g(x)kx，若f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是()A. B.C(1,2) D(2，)(2)(2018天津高考)已知a0，函数f(x)若关于x的方程f(x)ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是_解析(1)由题意得函数f(x)的图象与函数g(x)的图象有两个不同的交点，分别画出函数yf(x)与yg(x)的图象如图所示直线g(x)kx过原点这个定点，寻找临界点，当直线过点(2,1)时，直线与函数f(x)|x2|1只有一个交点，此时k，然后直线绕着原点逆时针旋转，当与yf(x)在x2时的图象平行时，就只有一个交点，所以k1，故选B.(2)作出函数f(x)的大致图象如图所示l1是过原点且与抛物线yx22ax2a相切的直线，l2是过原点且与抛物线yx22axa相切的直线由图可知，当直线yax在l1，l2之间(不含直线l1，l2)变动时，符合题意由消去y，整理得x2ax2a0.由a28a0，得a8(a0舍去)由消去y，整理得x2axa0.由a24a0，得a4(a0舍去)综上可得a的取值范围是(4,8)答案(1)B(2)(4,8)技法领悟解决此类问题，初始位置(临界情况)的选取相当重要，一般来说，初始位置要么恰好满足题意，要么恰好不满足题意，具体情况还得具体分析应用体验5已知方程ax40有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是_解析：方程ax40有两个不相等的实数根等价于函数y与yax4有两个不同的交点，y 是一个半圆，直线yax4是绕点(0,4)旋转的动直线，画出y的图象，如图所示，要使ax4有两个不同的实数解，当它们相切时是临界情形，可计算出此时a的值，由(a21)x2(8a4)x160，0a.由图可知，直线yax4绕点(0,4)顺时针旋转到直线过点(4,0)时是另一个临界条件，所以当1a时，直线与曲线有两个交点，于是a的取值范围为.答案：6用maxa，b表示a，b两个数中最大数，设f(x)maxx28x4，log2x，若g(x)f(x)kx有两个零点，则k的取值范围是()A(0,3) B(0,3C(0,4) D0,4解析：选C画出f(x)的图象如图所示，g(x)有两个零点，即yf(x)的图象与ykx的图象有两个交点，从图象上看，当直线与二次函数上方相切时有一个交点，此时x28x4kx，0k14，k212(舍去，此时与下方相切)，所以当0k|xa|至少有一个负数解，则a的取值范围是_解析(1)画出函数yf(x)的图象，如图所示，yxa是斜率恒为1的动直线，首先考虑直线过原点(这就是我们所说的初始位置)，此时直线刚好与yf(x)的图象有两个交点，将直线往下平移会有三个交点，一直平移直到与yf(x)，x0,1相切，此时刚好又出现两个交点的情形(注意平移的动作慢一点)，此时联立x2xa0，14a0a，所以在一个周期内得到满足条件的a的值为a0或a，又因为周期为2，所以a2k或a2k(kZ)(2)令f(x)2x2，g(x)|xa|，由于g(x)|xa|的图象是V形首先将这个V形的尖点放在点(2,0)(这是我们所说的初始位置，该点往往都是使得结论恰好成立或者恰好不成立的位置，然后再平移)，此时a2.然后再将V形尖点向左平移，即如图中的箭头所示由图可知，向左平移的临界情况是V形尖点右支与f(x)相切，此时联立知x2xa20有一个解，14(2a)0a.要特别注意，此时g(x)|xa|的图象与f(x)2x2的图象相切，但不等式取不到等号，因此a，注意到a2时无负数根，因此a的取值范围为.答案(1)D(2)技法领悟对于平移动直线情形，关键在于如何选取初始位置(临界情形)，这个难把握之处正是本块内容的核心，初始位置的选取并非信手拈来，而是有根有据的，通过本例中的两个题目，仔细体会应用体验7已知函数f(x)且关于x的方程f(x)xa0有且只有一个实根，则实数a的取值范围为()A(1，) B(1,3)C(，1) D(2,4)解析：选A画出f(x)图象，如图所示，则由方程有且仅有一个实根可得f(x)的图象与直线yxa的图象只有一个交点首先让直线过(0,1)(这是我们所说的初始位置，因为当直线向下平移时你会发现有两个交点)，由图可知，只有向上平移才能满足f(x)图象与直线yxa只有一个交点，所以a的取值范围是(1，)8已知函数f(x)若方程f(x)xa有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为()A(，0 B0,1)C(，1) D0，)解析：选C注意本题只有在(1，)内才是周期为1的函数，根据函数的解析式首先画出在(，0内的图象，然后截取(1,0的图象向右一个单位一个单位的平移，可以得到f(x)的图象，如图所示yxa是斜率为1的动直线，首先让直线过(0,1)(这是我们所说的初始位置，因为当直线向下平移时你会发现有两个交点，向上平移只有一个交点)，由图可知，只有向下平移才能满足f(x)图象与直线yxa有两个交点，所以a的取值范围是(，1)例5(1)(2018全国卷)设F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，O是坐标原点过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|OP|，则C的离心率为()A. B2C. D.(2)已知圆C：(x3)2(y4)21和两点A(m，0)，B(m，0)(m0)若圆C 上存在点P，使得 APB90，则 m的最大值为()A7 B6C5 D4解析(1)如图，过点F1向OP的反向延长线作垂线，垂足为P，连接PF2，由题意可知，四边形PF1PF2为平行四边形，且 PPF2是直角三角形因为|F2P|b，|F2O|c，所以|OP|a.又|PF1|a|F2P|，|PP|2a，所以|F2P|ab，所以ca，所以e.(2)根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r1，且|AB|2m，因为APB90，连接OP，易知|OP|AB|m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离因为|OC| 5，所以|OP|max|OC|r6，即m的最大值为6.答案(1)C(2)B技法领悟(1)在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，这样使数更形象，更直白，充分利用图象的特征，挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式，避免一些复杂的计算，给解题提供方便(2)应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：比值可考虑直线的斜率；二元一次式可考虑直线的截距；根式分式可考虑点到直线的距离；根式可考虑两点间的距离应用体验9过直线xy20上一点P作圆x2y21的两条切线，若两条切线的夹角是60，则点P的坐标是_解析：如图，由题意可知APB60，由切线性质可知OPB30.在RtOBP中，OP2OB2，又点P在直线xy20上，所以不妨设点P(x,2x)，则OP2，即x2(2x)24，整理得x22x20，所以x，即点P的坐标为(，)答案：(，)10已知抛物线的方程为x28y，F是其焦点，点A(2,4)，在此抛物线上求一点P，使APF的周长最小，此时点P的坐标为_解析：因为(2)284，所以点A(2,4)在抛物线x28y的内部，如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQl于点Q，过点A作ABl于点B，连接AQ，由抛物线的定义可知APF的周长为|PF|PA|AF|PQ|PA|AF|AQ|AF|AB|AF|，当且仅当P，B，A三点共线时，APF的周长取得最小值，即|AB|AF|.因为A(2,4)，所以不妨设APF的周长最小时，点P的坐标为(2，y0)，代入x28y，得y0，故使APF的周长最小的点P的坐标为.答案：总结升华运用数形结合思想分析解决问题的3个原则(1)等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞，有时，由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明(2)双向性原则在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的(3)简单性原则找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于哪种方法更为简单第3讲分类讨论思想在解题时，我们常常遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法、统一的式子继续进行了，因为这时被研究的问题包含了多种情况，这就必须在条件所给出的总区域内，正确划分若干个子区域，然后分别在多个子区域内进行解题，这里集中体现的是由大化小，由整体化为部分，由一般化为特殊的解决问题的方法，其研究方向基本是“分”，但分类解决问题之后，还必须把它们总合在一起，这种“合分合”的解决问题的过程，就是分类讨论的思想方法分类讨论是许多考生的弱点，也是高考的热点和难点分类讨论思想在函数、数列、不等式、解析几何、立体几何、概率等数学问题求解中有广泛的应用例1(2018武昌调研)等比数列an的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，Sn24Sn3恒成立，则a1的值为()A3B1C3或1 D1或3解析设等比数列an的公比为q，当q1时，Sn2(n2)a1，Snna1，由Sn24Sn3得，(n2)a14na13，即3a1n2a13，若对任意的正整数n,3a1n2a13恒成立，则a10且2a130，矛盾，所以q1，所以Sn，Sn2，代入Sn24Sn3并化简得a1(4q2)qn33a13q，若对任意的正整数n该等式恒成立，则有解得或故a11或3.答案C技法领悟本题易忽略对q1的情况进行讨论，而直接利用Sn，很容易造成漏解或增解，若本题是解答题，这种解答是不完备的本题根据等比数列前n项和公式的使用就要分q1，Snna1和q1，Sn进行讨论应用体验1已知函数f(x)若f(1)f(a)2，则a的所有可能值为_解析：f(1)e01，即f(1)1.由f(1)f(a)2，得f(a)1.当a0时，f(a)1ea1，所以a1.当1a0时，f(a)sin(a2)1，所以a22k(kZ)所以a22k(kZ)，k只能取0，此时a2.因为1a0，且a1)在1,2上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)(14m)在0，)上是增函数，则a_.解析：若a1，有a24，a1m，此时a2，m，此时g(x)为减函数，不合题意；若0a0，且a1)的定义域和值域都是1,0，则ab_.解析：当a1时，函数f(x)axb在1,0上为增函数，由题意得无解当0a0时，g(x)的对称轴x0，g(x)在(0,1)内单调递增，符合题意，当a，则当x时，f(x)0.所以f(x)在x2处取得极小值若a，则当x(0,2)时，x20，ax1x10.所以2不是f(x)的极小值点综上可知，a的取值范围是.技法领悟(1)本题研究函数性质对参数a进行分类讨论，分为a和a两种情况(2)若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论，此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标准明确、不重不漏应用体验5已知函数f(x)mx2xln x，若在函数f(x)的定义域内存在区间D，使得该函数在区间D上为减函数，则实数m的取值范围为_解析：f(x)2mx1，即2mx2x10时，由于函数y2mx2x1的图象的对称轴x0，故只需0，即18m0，解得m0时，令g(x)0，解得x，则g(x)的单调递减区间是(，)，(，)综上所述，当m0时，g(x)的单调递减区间是(，)；当m0时，g(x)的单调递减区间是(，)，(，)例4(2018全国卷)设抛物线C：y22x，点A(2，0)，B(2,0)，过点A的直线l与C交于M，N两点(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；(2)证明：ABMABN.解(1)当l与x轴垂直时，l的方程为x2，可得点M的坐标为(2,2)或(2，2)所以直线BM的方程为y(x2)或y(x2)，即x2y20或x2y20.(2)证明：当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以ABMABN.当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x2)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x10，x20.由得ky22y4k0，所以y1y2，y1y24.直线BM，BN的斜率之和为kBMkBN.将x12，x22及y1y2，y1y2的表达式代入式分子，可得x2y1x1y22(y1y2)0.所以kBMkBN0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以ABMABN.综上，ABMABN成立技法领悟(1)本题中直线l的位置不确定，设直线方程时，应分两种情况讨论(2)根据图形位置或形状分类讨论的关键点确定特征，一般在确立初步特征时将能确定的所有位置先确定分类，