大学物理物理学课件质点的运动.ppt

1,大学物理,2,世界是由物质组成的。,物质又是由什么组成的呢？ 基本粒子。如：电子、质子、中子、光子、子、介子等等。 粒子又是依靠什么结合在一起组成绚丽多彩的物质世界的呢？ 相互作用：引力相互作用，电磁相互作用，等等。 物质又以什么形式存在着呢？ 实物和场。 实物具有静止质量，有一定的体积，以空间间断形式存在。 场没有确定的体积，以连续形式存在，具有叠加性。如电场、磁场、引力场等。,3,物理学是研究什么问题的呢？,物理学研究物质最基本、最普遍的运动规律。 当然，通过学习我们能够获得丰富的物理知识，对周围的物质世界有更多的了解；但是我们学习大学物理不仅仅是为了学知识，它更是一种素质教育，是一种科学思想、科学精神、科学态度及科学方法的培养和熏陶。养成严谨、求实、开拓的作风，将是同学们一生受益的。 大学物理学是一门较难学的课程。 一是不少新的物理概念难于理解，而一些旧的物理概念也有深化和提高。,4,二是课程信息容量大，教学进度快。,三是大学物理注重用高等数学，特别是用微积分和矢量来表述物理概念和求解问题。,如何学习大学物理学呢？,一是要认真听讲。不仅要听老师对物理概念、物理内容的讲解，还要注意学习老师利用所学知识分析问题和解决问题的思想方法和技巧。 二是及时复习，勤思多练。,最后祝同学们在新的学习征途中，不断取得进步，圆满完成本课程的学习任务。 祝大家成功。,5,1课前预习； 2上课认真听讲，要求记笔记； 3课后认真复习，作业要独立完成，按时交作业，作业按内容每章交12次； 4一些基本的概念要求记住，重要的公式要求会推导； 考试时间： 期中考试：第910周 期末考试：2007年7月18日（20周） 总评分数平时分0.1+期中分0.2+期末分 0.7,对于大学物理学习的几点要求,6,力学部分,1什么是力学,力学研究机械运动规律及其应用的物理学分支。 机械运动是指物体之间或物体各部分之间发生的相对位置的变化。,2力学的分类,根据研究内容分类 运动学（Kinematics）研究物体运动的规律 动力学（Dynamics） 研究物体运动的原因 静力学（Statics） 研究物体平衡时的规律 根据研究对象分类 质点力学研究对象为质点 刚体力学研究对象为刚体,3数学工具微积分和矢量,7,第一章 质点的运动,1-1 质点和参考系 1-2 描述质点运动的物理量 1-3 描述质点运动的坐标系 1-4 牛顿运动定律（自学 ） 1-5 力学中常见的力 1-6 伽利略相对性原理,8,1-1 质点和参考系,一、质点 如果物体的大小和形状在所研究的问题中不起作用或作用很小,就可以忽略物体的大小和形状,而把物体抽象为只有质量的几何点,这样的研究对象在力学中称为质点。,定义：力学中的质点，是没有体积和形状，只具有一定质量的理想物体。,9,二、参考系,哲学论断：人不能两次踏入同一条河流。,一切物体的运动是普遍的、绝对的，绝对静止的物体是不存在的。,因此，为了描述一个物体的运动，必须选择另一物体或几个彼此之间相对静止的物体群作为参考物。在研究物体运动时被选作参考物的物体或物体群，称为参考系。,10,对于物体的同一个运动，选择不同的参考系，对运动的描述是不同的。 那么在研究物体运动时，应该选择哪个物体作为参考物呢？这要根据问题的性质、计算和处理上的方便来决定。,例如，研究地球相对于太阳的运动，常选择太阳作为参考系；研究人造地球卫星的运动，常选择地球作为参考系；研究河水的流动，常选择地面作为参考系。,11,为了作定量的描写，需要在参考系上选用一个固定的坐标系。坐标系的原点可取在参考系的一个固定点上。 常用的坐标系是直角坐标系，还有平面极坐标系、自然坐标系等。 坐标系是参考系的代表和抽象。,12,1-2 描述质点运动的物理量,时刻与时间 位置矢量 位移与路程 速度与速率 加速度,13,一、时刻与时间,时刻：某一瞬间时钟的读数。 时间：时间间隔，时间是标量，国际单位制（SI）是s（秒）。 质点的位置与时刻相对应。 质点运动所经过的路程与时间相对应。,14,二. 位置矢量,位置矢量描述一个质点在空间位置的矢量。,15,质点在运动，位置在变化，即位置矢量是时间t的函数:,在 国际单位制(SI)中,位置矢量大小的单位为米(m),与长度单位相同。,16,三、位移和路程,如图所示,质点沿曲线C运动，在时刻t,质点位于A点, 而在时刻t+t,质点到达B点。 从起点A指向终点B的有向线段AB=r, 称为质点在时间t内的位移。而A到B的路径长度S,称为路程。位移和路程的单位相同，国际单位制（SI）是m（米）。,17,(1).由图可见，位移是位置矢量r 在时间t内的增量:,可见位移可通过位置矢量来计算。,18,(2).位移和路程是两个不同的概念。,位移代表位置变化，是矢量，在图中，是有向线段AB, 它的大小是| r ,即割线AB的长度。路程表示路径长度，是标量，它的大小是曲线弧AB的长度S 。在一般情况下, S和| r |并不相等。 只有当t0时,才有 |r | S 。 如果质点沿着任意闭合曲线运动一周后，其位移为0，而路程为整个闭合曲线的周长。,19,四、速度和速率,1.平均速度和平均速率 如图所示,质点在时刻t到t+t这段时间内的位移为 r,路程为S，于是我们定义，质点在时间t内的平均速度:,质点在时间t内的平均速率:,即:平均速度为单位时间内的位移;而平均速率为单位时间内的路程。,20,则平均速度为,而平均速率为,比如，质点经时间t绕半径R的圆周运动一圈，,21,2.瞬时速度和瞬时速率,为了确切描述质点在某一时刻运动的快慢和方向,我们对平均速度和平均速率取极限,就得:,22,速度和速率具有相同的单位，在国际单位制中 为ms-1（米/秒）,因为：,则质点在从时间t0到t内完成的位移为：,位移公式,23,五.加速度,如图所示, 设时刻t质点位于A点，速度为 ,则在时间t内质点速度的增量为,为了描述速度随时间的变化情况，我们定义：质点的平均加速度,经时间t运动到B点，速度为 ,24,质点的(瞬时)加速度定义为,这就是说,质点在某时刻或某位置的(瞬时)加速度等于速度矢量 对时间的一阶导数,或等于矢径 对时间的二阶导数。,加速度的方向是：当t0时,速度增量 的极限方向。应该注意到, 的方向和它的极限方向一般不同于速度 的方向,因而加速度的方向与同一时刻速度 的方向一般不相一致。,在曲线运动中,加速度的方向总是指向曲线凹的一边的。,在国际单位制中,加速度的单位为米/秒2(ms-2)。,25,根据加速度的定义式可得：,如果在时刻t0,质点的速度为v0,在时刻t,质点的速度为v,那么速度的变化可写为,或：,这称为速度公式。若将该式代入位移公式，可以得到位置矢量的一般表达式,26,1-3 描述质点运动的坐标系,仅有参考系还不能把质点运动时的确切位置定量地表示出来，建立坐标系则可以解决这个问题。,一、直角坐标系,在参考系上取一固定点作为坐标系的原点O ，过点O画三条相互垂直的带有刻度的坐标轴，即x轴、y轴和z轴，就构成了直角坐标系O-xyz。直角坐标系属于右旋系。,27,在直角坐标系oxyz中,质点P的位置可由坐标(x,y,z)来确定(如图);,也可以用从坐标原点O指向P点的有向线段 来表示,这个有向线段 叫做质点P的位置矢量,简称位矢或矢径。坐标x,y,z 便是 沿坐标轴的三个分量。,28,29,位置矢量的方向,可由其方向余弦确定: cos=x/r,cos=y/r,cos=z/r,30,它们都叫做质点的运动方程。 轨道方程 质点在空间运动时的轨迹方程，称为轨道方程。从式中消去t就得到x,y,z所满足的方程,它就是质点在此直角坐标系中的轨道方程。,消去时间t得： x2+y2=62 这就是轨道方程。,运动方程,质点运动时,它的坐标和位置矢量都要随时间变化,所以它们都可以表示为时间t的函数:,31,速度的大小也可由下式给出,显然,速度在三个坐标轴上的分量分别 等于相应坐标对时间的一阶导数:,在直角坐标系中,32,33,以上内容的学习要点是：认真学习用微积分来处理物理问题的方法。,由前面的讨论我们得到了质点的位置矢量、速度和加速度在直角坐标系中的正交分解式。这些式子表明,任何一个曲线运动都可以分解为沿x,y, z 三个方向的直线运动,每个方向上的运动是相互独立的,整个运动可看作是沿三个坐标轴方向的直线运动的叠加,这就是运动的叠加原理。,34,例题1-1 一质点沿x轴运动,运动方程为x=t39t2 +15t+1 (SI),求: (1)质点首先向哪个方向运动?哪些时刻质点调头了？ (2)质点在02s内的位移和路程。,可得：t=1s,5s;又由于1,5s前后速度改变了方向(正负号），所以t=1s,5s调头了。 因t=0时速度 =+15m/s,所以质点首先向x轴正方向运动。,=3t2-18t+15=3(t-1)(t-5)=0,调头的必要条件是速度为零，即,解（1）质点做直线运动时，调头的条件是什么？,35,x=x(2)-x(0)=3-1=2m 考虑到t=1s时调头了，故02s内的路程应为 s=|x(1)-x(0)|+|x(2)-x(1)|=7+5=12m,(2)质点在02s内的位移可表示为,x=t39t2 +15t+1,36,问：质点作什么样的运动？,例题1-2 质点的位置矢量为：,解：,x =3+2t2, y =2t2-1，,y =x-4 直线,质点作匀加速直线运动。,37,解 (1)由矢径的表达式可知, x=Rcos t ， y=Rsin t 从以上两式中消去t,得到粒子的轨道方程： x2+y2=R2 这是一个以原点o为中心,半径为R的圆。,由于t=0时,x=R, y=0,而t0+时,x0,y0,由此判定粒子是作逆时针方向的圆周运动。,38,其大小为,粒子在任一时刻t的速度、加速度为,39,(2)在时间t=/2/内的位移为,注意到为角速度，在时间t=/2/内粒子刚好运动半个圆周，故路程: S=R。,40,例题1-4 质点在xoy平面内运动，x=2t, y=19-2t2 (SI);求：(1)质点在t=1s、t=2s时刻的位置,以及这1s内的位移和平均速度；(2)第1s末的速度和加速度；(3)轨道方程；(4)何时质点离原点最近?,平均速度 ：,位移：,当t=1s时，,解 (1)位矢：,当t=2s时，,41,代入t=1s,得：,加速度：,速度：,(2)第1s末的速度和加速度；,42,(3)从x,y消去t,就得轨道方程：,由此方程可解得，t= 0,3s (略去t=-3s); 代入t=0, r=19(m); t=3s, r=6.08(m), 可见t=3s时最近。,r有极小值的必要条件是：,(4)何时质点离原点最近?,x=2t, y=19-2t2,这是一条抛物线,43,例题1-5 在离水面高度为h的岸边，一人以恒定的速率收绳拉船靠岸。求船头与岸的水平距离为x时，船的速度和加速度。,解 对矢径未知的问题,须先建立坐标系,找出矢径,再求导。,44,解2:,船的速度:,45,完成积分就得运动方程:,又由, 有,完成积分得：,解 由,例题1-6 质点沿x轴运动,加速度和速度的关系是: a =-k ,式中k为常量;t=0时， x =x 0 , = 0，求质点的运动方程。,46,二、 平面极坐标系,在参考系上取一固定点O作为极点，过极点O作一条固定射线OA为极轴。过极轴作平面，假定质点在该平面内运动。在某时刻质点处于点P，连线OP称为点P的极径，用表示，自OA到OP所转过的角为点P的极角。,平面极坐标系,利用上述关系，可以进行两种坐标系之间的转换。 在平面极坐标系中，也定义了两个单位矢量，即径向单位矢量和横向单位矢量。径向单位矢量沿极径增大的方向，横向单位矢量与径向单位矢量垂直，沿极角增大的方向 。,描述坐标系中质点P的位置，可用（,）两个量来描述 显然，平面极坐标系与二维直角坐标系之间的变换关系可以表示为：,47,描述物体运动的角参量,引入描写物体运动角参量的原因,虽然直角坐标系是最广泛采用的坐标系，但在处理如圆周运动一类的平面运动时，采用平面极坐标系更为简便。,描写物体运动的角参量,A.角位移：在t时间内，物体绕转轴转过的角度，且规定逆 时针方向角位移为正，顺时针方向角位移为负。,B.角速度：某一时刻t，角位移随时间变化的快慢。,说明：角速度是矢量，方向按右手螺旋法则判定(下页图)。,这时质点运动不存在径向速度，其横向速度可以表示为：,48,C.角加速度：某一时刻t，角速度随时间变化的快慢。,径向加速度和横向加速度可分别表示为：,前一项是圆周运动的向心加速度，负号表示这个加速度的方向指向极点，即圆心；后一项称为切向加速度，沿圆周的切线方向。,49,角参量与线参量之间的关系,(1).条件:下述关系对圆周运动 成立,(2).角参量与线参量之间的关系,A.数值大小关系,B.矢量关系,我们简单回顾匀变速运动规律，包括匀变速直线运动和匀变速圆周运动。匀变速运动具有相似的物理规律，请大家从物理和数学角度仔细体会下面比较列表。,50,附表：常见匀变速运动规律的描述,匀变速直线运动,匀变速圆周运动,状态参量,位置,位移,速 度,加速度,运动规律的描述,匀速运动,右手螺旋定则,匀变速运动,51,三、自然坐标系,该坐标系也定义两个随质点位置的变化而改变方向单位矢量，一个指向质点运动方向的切向单位矢量，用表示，另一个是垂直于切向并指向轨道凹侧的法向单位矢量，用n表示。它们也随质点位置的不同而不同。 在自然坐标系中表示质点速度，非常简单，因为无论质点在什么位置上速度都只有切向分量，无法向分量。 自然坐标系在描述物体曲线运动方面有较大优越性 。,建立在质点运动轨迹上，以其切向和法向两个方向的单位矢量作为其独立的坐标方向的坐标系，称为自然坐标系。,52,设质点沿曲线C运动。可认为任一时刻质点都在一个圆上运动，这个圆称为曲率圆，如下图所示。,曲线运动,53,而加速度,设质点时刻t在p1点, 经时间t到达p2点，如下图所示。,54,由图可知，ds=d(为曲率半径),于是,于是得到,55,小结：,大小：,方向：沿半径指向圆心。 名称：向心(法向)加速度。,大小：,方向：沿轨道切线方向。 名称：切向加速度。,作用：描述速度方向的 变化。,作用：描述速度大小的 变化。,56,总加速度的大小:,57,由an=| at | 得:,解得,(2)由,解 (1)由公式：,58,例题1-8 求斜抛体在任一时刻的法向加速度an 、切向加速度at和轨道曲率半径(设初速为o，仰角为)。,解 设坐标x、y沿水平和竖直两个方向，如图示。,总加速度(重力加速度)g是已知的;所以an 、at 只是重力加速度g沿轨道法向和 切向的分量,由图可得：,59,讨论：(1).在轨道的最高点，显然=0，y=0,故该点：,an=g, at=0,60,(2). 速率可由已知公式直接写出:,61,3t2=3, 求出t=1s,解(1)由,有,又,62,例题1-10 一半径R=1m的飞轮，角坐标=2+12t-t3 (SI),求：(1)飞轮边缘上一点在第1s末的法向加速度和切向加速度；(2)经多少时间、转几圈飞轮将停止转动？,an=R2=(12-3t2)2 , at=R =-6t 代入t=1s, an=81 2 , at= -6 (SI) (2)停止转动条件：=12-3t2=0, 求出：t=2s。 t=2s, 2=18，,解(1),t=0, 0=2 所以转过角度：=2-0=16=8圈。,63,解,例题1-11 质点沿半径为R的圆周运动，速率=A+Bt (A、B为正的常量)。t=0质点从圆上某点出发，求：该质点在圆上运动一周又回到出发点时它的切向加速度，法向加速度和总加速度的大小是多少？,由于=B/R为常量，于是可用:,因：=A+Bt=R, 所以t=0时, o=A/R；,求出时间t。,=2,64,o=A/R,解得,=2,65, 前面提到,运动的描述是相对的,就是说,对于不同的参考系,同一质点的位移、速度和加速度一般都是不同的。那么在不同的参考系看来，这些物理量之间又有什么联系?下面就来研究这个问题。,四、 相对运动,应用矢量相加的 三角形法则,从图可以看出：,我们假定参考系S和S之间只有相对平移而无相对转动,且各对应坐标轴在运动中 始终保持平行。,.p,66,对上式两边求增量,我们得到位移之间的关系:,一般又称为速度合成定理。它表示：质点P对S系的速度等于质点P对S系的速度与S系对S系的速度的矢量和。 注意：(1) 以上两式是矢量关系式。 (2).双下标先后顺序交换意味着改变一个符号,即：,对时间求导,我们就得点P在S,S中的速度和加速度之间的关系：,67,记忆方法：,s s,对船 船对,68,解 首先要正确写出速度合成定理：,上式是一个矢量关系式。求解上式的办法有两个： （1）矢量三角形法,例题1-12 一人骑自行车以速率向正西行驶，今有风以相同速率由北向南方向吹来，试问：人感到的风速大小是多少？风从哪个方向吹来？,由于人对地=风对地= , 可求得风对人速度的大小是：,风对人=,人感到风从西北方向吹来。,69,由速度合成定理可得：,(2)单位矢量法,大小：,风对人=,方向：与x轴正方向的夹角：,建立如下图所示的直角坐标系，,70,例题1-13 当火车静止时，乘客发现雨滴下落方向偏向车头,偏角300；当火车以35m/s的速率沿水平直路行驶时，发现雨滴下落方向偏向 车尾，偏角450,假设雨滴相对于地 面的速度保持不变，求雨滴相对 地的速度的大小。,将上式向x 、 y方向投影，有 x方向:雨对地cos60=-雨对车cos45+35 y方向: -雨对地cos30=-雨对车cos45 解得： 雨对地=25.6m/s。,71,1-4 牛顿运动定律（自学）,动力学研究物体之间的相互作用，以及这种相互作用所引起的物体的运动状态发生变化的规律。 牛顿运动定律质点动力学的基础。 本章讨论牛顿运动定律的内容及其对质点运动的初步应用。,72,牛顿(Isaac Newton, 16421727),重要贡献有万有引力定律、经典力学、微积分和光学。 万有引力定律：总结了伽利略和开普勒的理论和经验，用数学方法完美地描述了天体运动的规律。 牛顿运动三大定律：自然科学的数学原理中含有牛顿运动三条定律和万有引力定律，以及质量、动量、力和加速度等概念。 光学贡献：牛顿发现色散、色差及牛顿环，他还提出了光的微粒说。 反射式望远镜的发明,英国物理学家、数学家、天文学家，经典物理学的奠基人。,我不知道世人将如何看我，但是，就我自己看来，我好象不过是一个在海滨玩耍的小孩，不时地为找到一个比通常更光滑的贝壳而感到高兴，但是，有待探索的真理的海洋正展现在我的面前。,73,一、牛顿第一定律（惯性定律） 任何物体都要保持其静止或匀速直线运动状态,直到外力迫使它改变运动状态为止。 牛顿第一定律包含了两个重要的物理概念： 惯性任何物体都具有保持其运动状态不变的性质。 力是使物体改变其运动状态,或是使物体获得加速度的一种作用。 我们把牛顿第一定律能成立的参考系称为惯性系，不能成立的参考系称为非惯性系。,74,二、牛顿第二定律,瞬时性：力和加速度同时存在，同时消失。,独立性：每个力对物体产生的加速度，与是否存在别的力无关 或：多个力对同一物体产生的加速度，等于每一个力单独对物体产生的加速度的矢量和。,75,矢量性：牛顿第二定律满足矢量的合成与分解。,在牛顿第二定律中引入的物体质量，称为惯性质量。,76,三、牛顿第三定律（作用力与反作用力定律）,两物体之间的作用力和反作用力，大小相等、方向相反,且在同一直线上。,数学表示：,理解： A.作用力和反作用力分别作用于不同物体上，各自产生各自的效应。,B.作用力和反作用力性质相同，且大小相等，方向相反，作用在同一直线上。,C.作用力与反作用力同时存在，同时消失。,在国际单位制中，力的单位是N（牛顿） 1N = 1kgms-2,77,牛顿定律的适用范围,低速、宏观、实物。 惯性系。,78,1-5 力学中常见的力 万有引力、弹性力、摩擦力,一、万有引力 宇宙中的一切物体都在相互吸引着，这种吸引力就是万有引力。 万有引力遵从万有引力定律：,式中G=6.6725910-11Nm2kg2，称为引力常量。在万有引力定律中引入的物体质量，称为引力质量。 引力质量 = 惯性质量,万有引力是自然界所有力中强度最弱的相互作用力，是长程力。,79,例如，我们考察地面上一个质量为m的物体与地球之间的万有引力的大小。这时把地球近似看作质量均匀分布的、半径为R、质量为M的球体。则：,又因为这个物体受到地球的引力而获得加速度（重力加速度），根据牛顿第二定律有,80,由以上两式可得：,因此可以得到两个结论： （1）物体的重力加速度g的数值与其自身的质量无关； （2）重力加速度g的数值随着物体离开地面的高度的增加而减小。,81,二、弹性力,与物体形变量有关的力，称为弹性力。弹性力是一种接触力，其方向永远垂直于过两物体接触点的切面。 名词：弹性形变，弹性限度。 弹力、支撑力、张力都属于弹性力。,对于水平放置的弹簧，在弹性限度内,弹性力 f = -kx 式中，k是弹簧的劲度系数, x表示弹簧的形变量，负号表示弹性力的方向于形变方向相反。上式又叫胡克定律。,82,滑动摩擦力f 的大小与正压力N成正比,即 f = N 式中, 为滑动摩擦系数,其数值由两接触物体的材料性质和接触面的粗糙程度决定。 对于同样的两个物体,0。,三、摩擦力,当一个物体在另一个物体表面上滑动或有滑动趋势时，在这两个物体的接触面上就会产生阻碍物体间作相对滑动的力，这种力就是摩擦力。,静摩擦力：两接触物体间虽未发生相对运动,但存在着相对运动趋势时,就产生静摩擦力。静摩擦力f是个变力：0 f 0 N (最大静摩擦力） 式中,0为静摩擦系数。,83,基本方法： 隔离体法+正交分解 当问题涉及几个运动状态不同的物体时，必须把每个物体从总体中分离出来,分别加以研究,这种分析的方法叫做隔离体法,它是解决力学问题的重要的分析方法。而物体间的联系用力来表示。 选取适当的坐标系，写出牛顿第二定律沿各个坐标轴方向（即相互垂直的方向上）的分量式,最后联立求解这些方程。,四、牛顿定律的应用,84,例题1-14 如图所示，在质量为M、倾角为的光滑斜面上放置一质量为m的物体，要使物体m相对斜面静止，水平推力F应为多大？（设斜面与地面间的摩擦可以忽略）,x: Nsin=ma y: Ncos=mg,解: 对m:,解得 a=g.tan (M+m): F=(M+m)a =(M+m)g.tan ,85,讨论(1)：在上图中，要物体m不下滑，斜面的加速度a至少应为多少?(设斜面与物体m间的摩擦系数为)。 物体m受三个力作用: N, mg, Fs=N。,问题：若a,N ,使 Nmg, m是否会上升呢?,水平: N=ma 竖直: N=mg 解得 a=g/ 。,86,讨论(2)：在上面的图中，要物体m不下滑，圆筒的角速度至少应为多少?(设圆筒与物体m间的摩擦系数为)。 图中物体m受三个力作用: N, mg, Fs=N。,水平: N=mR2 竖直: N=mg,解得,87,例题1-15 一人在平地上拉一个质量为m的木箱匀速地前进,木箱与地面的摩擦系数=0.6,肩上绳的支持点距地面高度h=1.5m,问绳长L为多长时最省力?,水平方向：Fcos-fk=ma=0 （匀速） 竖直方向：Fsin+N-mg=0 , fk= N 解得：,从而得到 tan = 。 L=h/sin=2.92m时,最省力。,解 先找出力与某个变量()的关系，再求极值。,F有极小值的充要条件是：,88,例题1-16 如图所示，质量为m的钢球由静止开始从A点沿圆心在o、半径为R的光滑半圆形槽下滑。当滑到图示位置（钢球中心与o的连线和竖直方向成角）时，求这时钢球对槽的压力以及钢球的法向加速度和切向加速度。,下面讨论利用自然坐标系解题的方法。,切向：mgsin=mat=m (2),法向：N-mgcos =man=m (1),解 由 fn=man , ft=mat 有,89,得：N=3mgcos ,积分得：,这里：/R= =-d /dt。将上式变为积分式就是,由式: mgsin=mat得： at=gsin,(这可由机械能守恒得到),90,例题1-17 半径为R的光滑半球形碗内有一个小钢球,当碗以角速度转动时,小球离碗底有多高?,解,由 fn=man , ft=mat 有,法向:,Nsin =m2Rsin,竖直:,Ncos =mg,N =m2R,解得,91,1-6 伽利略相对性原理,一、伽利略变换和伽利略相对性原理 1. 伽利略变换经典力学时空观的数学表达 设惯性系S相对惯性系S以速度u沿x轴正方向作匀速直线运动，且两惯性系的各对应坐标轴相互平行,而当t=t=0时两坐标系的原点o与o重合。,92,现在从S、 S系对同一质点P进行观测，它在两惯性系中的时空关系为：,93,速度变换与加速度变换:,经典力学认为,物体的质量与运动无关，于是有,94,这就是说, 力学规律(牛顿运动定律)对一切惯性系来说,都具有相同的形式;或者说, 在研究力学规律时，一切惯性系都是等价的。力学规律(牛顿运动定律)在伽利略变换下的这种不变性，叫做力学相对性原理，或伽利略相对性原理。 应当注意：这里说的不变，是力学规律(牛顿运动定律)的形式不变，而不是所有的力学量的形式不变。,2. 伽利略相对性原理,95,3.伽利略变换的困难 首先是电磁现象的规律问题。 如果用伽利略变换对电磁现象的基本规律(麦克斯韦方程组)进行变换,发现这些规律对不同的惯性系并不具有相同的形式。 可见, 电磁现象的基本规律不符合伽利略变换！ 另一个问题是真空中的光速问题。 大家都知道，真空的光速是c。可这个c是对什么参考系来说的呢？,96,如果一个人以速度u平行于光的传播方向运动，在你看来，他测得的光速应该是,式中o、o是两个与参考系无关的常量,因此c也应该与参考系无关。 这些事实表明，光波或电磁波的运动不服从伽利略变换!,c=cu 可根据麦克斯韦电磁理论，光在真空中的速率由下式决定,97,伽利略变换和电磁规律的矛盾引导人们去思考:是伽利略变换正确而电磁现象的基本规律不符合相对性原理呢?还是电磁现象的基本规律符合相对性原理而伽利略变换应该修正呢?,在这些重大问题面前，当时许多著名的物理学家绞尽脑汁，仍一筹莫展。有的把这形容为物理学晴朗天空边际上的一朵乌云，预感到物理学中一场重大革命即将发生。 1905年，富于创新精神的年仅26岁的青年物理学家爱因斯坦脱颖而出，对此进行了深入的研究,力排