如何证明线段相等或成倍数关系.doc

如何证明线段相等或成倍数关系一. 本周教学内容： 如何证明线段相等或成倍数关系 本周我们要进行一次专题复习。如何证明线段相等或成倍数关系的方法进行总结。我们从八年级二册开始，经过猜想动手操作（测量、折叠等方法）获得感性认识理性思维。对三角形、四边形等几何图形的基本性质和判定做了一系列的探索活动。到目前为止，我们已经基本上掌握了有关知识。所以，今天我们就来运用这部分知识解决一些与线段相等或成倍数关系的问题。 1.全等三角形的性质:全等三角形对应边,对应边上的高、中线,对应角的平分线相等.2.等腰三角形的性质定理推论:等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.3.等腰三角形的判定定理: 等角对等边.4.线段垂直平分线性质定理: 线段垂直平分线上的点到该线段两端的距离相等.5.角平分线性质: 角平分线上的点到角两边的距离相等.6.三角形外心的性质: 三角形的外心到三个顶点的距离相等.7.三角形内心的性质:三角形的内心到三边的距离相等.8.平行四边形的性质:平行四边形的对边平行且相等. （推论:夹在两平行线间的平行线段相等）9.平行四边形的性质:平行四边形的对角线互相平分.10.矩形性质:矩形的对角线相等.11.菱形性质:菱形四边形相等.12.中心对称图形的性质:关于中心对称的两个图形对应线段平行且相等.13.轴对称图形的性质:关于轴对称的两个图形的对应线段相等.14.平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其它直线上截得的线段也相等. （推论:.经过梯形一腰中点与底平行的直线,必平分另一腰; 经过三角形一边中点与另一边平行的直线,必平分第三边;）【典型例题】（一）线段相等：证明线段相等的方法很多，主要有三角形全等、等腰三角形的判定、线段垂直平分线定理、角平分线定理、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理。另外证明线段相等还有一类题型，就是证明两条线段的和或差等于某一条线段，此种类型往往采用截长补短的方法进行证明。在例题讲解中，会出现此种类型的题目，请同学们注意。下面，我们就分析几个例题，希望能通过讲解，使同学逐步掌握证明线段相同的方法。 例1. 已知：四边形ABCD中，ADBC，ACBD。 求证：OAOB 分析：若要证OAOB，可证明OA、OB所在的三角形AOD和BOC全等。根据已知条件：1和2是对顶角知12，ADBC，还缺少一个条件。这时我们可以利用给出的已知条件ADBC，ACBD，再加上公共边CD，先求证出ACDBCD，得到34，即可证明OAOB了。本题利用了三角形全等来证明线段相等。 证明： 例2. ABC中，ABAC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，且BDCE，DE交BC于F。 求证：DFEF 分析：要证DFFE，可证DF、FE所在三角形全等，通过分析BDF和FCE不全等。故应考虑作辅助线构造全等三角形。 证明：过D作DM/CE交BC于M 例3. 已知：如图，AD/BC，BD平分ABC。 求证：ABAD 分析：要证明ABAD，我们从图中发现，它们并不处于两个三角形中，再用全等证明似乎不太可能。根据BD平分ABC，我们可知12，又利用AD/BC这个条件，可得23，能得到ABD的两个角相等，再利用等角对等边的性质，得出结论。所以，有时我们在证明线段相等时，可转化成证明角相等。 证明：BD平分ABC 12 AD/BC 23 13 ABAD（等边对等角） 例4. 已知：在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，且AECF。 求证：DEBF 分析：在做此题时，许多同学可能还会选择证明AEDBCF来推出DEBF，但我们还可以借助平行四边形的性质和判定定理来证明此题。 证明：ABCD是平行四边形 ABCD，ABCD AECF BEDF BEDF DEBF是平行四边形 DEBF 例5. 已知：在ABC中，AB的垂直平分线交AC于E，若AB8，DE3，求BE两点间的距离。 分析：根据已知我们可求出AE的长度，再利用线段垂直平分线定理来求证AEBE，即可。 解：DE是线段AB的垂直平分线 AEBE，ADBD 在RtADE中， AE5 BE5 例6. 在ABC中，AD平分BAC，ACB2B，求证：ABACCD。 分析：要证明一条长线段等于另两条线段之和的常用方法是延长一条短线段使其等于另一条短线段，再证明长线段等于延长的线段和。所以本题中，要证ABACCD，结论是三条线段间的关系。可延长AC到E，使CECD，则原结论可转化为证ABAE，只需证ABDAED。 证明：延长AC到E，使CECD，连结DE CECD，ECDE ACB2E 又ACB2B，BE 12，ADAD ABDAED ABAE，即ABACCD 这部分证明中常用到的定理有： （1）直角三角形中，30的角对的直角边等于斜边的一半。 （2）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。 （3）中位线定理。 下面就以几个例子来说明如何使用这三个定理解决线段倍数关系的证明。 例1. 已知：在ABC中，M是BC的中点，CEAB，BFAC。 求证：EMFM 分析：此题的结论虽然是证明线段相等，但在证明过程中，却用到了证明线段的倍数关系，使用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这个定理。 证明：在RtBCE和RtBCF中 EM、FM分别是斜边BC上的中线 EMFM 例2. 在ABC中，ACB90，A30，CD是AB边上的高。 分析：此题利用了两次直角三角形中，30角对的直角边等于斜边的一半。 证明：在RtABC中，A30 ADAB 例3. 已知：在ABC中，ABAC，EF是ABC的中位线，延长AB到D，使BDAB，连接CD。 分析： 证明： BF是ACD的中位线 ABAC，EF是ABC的中位线 BECF BCBC，ABCACB BFCE 【模拟试题】 1. 已知：C、F是BE上的两点，BFCE，ABDE，ABAC，DEDF。 求证：ACDF 2. 如图，在MNP中，H是高MQ与NR的交点。 求证：HNPM 3. 已知：如图DEF中，DEDF，过EF上一点A作直线分别与DE、DF的延长线交于B、C，且BECF。 求证：ABAC 4. 在ABC中，ABAC9cm，AD是ABC的中线，AE是BAD的平分线，DF/AB交AE的延长线于F。求DF的长。 5. 已知：点B在MN上，过AB的中点O作MN的平行线，分别交ABM的平分线和ABN的平分线于C、D。 求证：CDAB 6. 在ABC中，ABAC，DE是AB的垂直平分线，BCE的周长是24，BC10，求AB的长。 7. 已知：E是正方形ABCD边BC上的中点，F是CD上一点，AE平分BAF。 求证：AFBCCF 8. 已知：在ABC中，E、F分别是AB、AC边上的点，且EFDC是平行四边形，D是BC的中点。 求证：ADEF 9. 在ABC中，ABAC，求证：AB上的高线等于AB的一半。 10. 已知：在ABC中，ADBC，E是AC的中点，。 求证：ADBE【试题答案】 1. 在RtABC和RtDEF中， 2. 3. 过B作BG/CD交EF于G 4. ，AD平分BC AE平分BAD AB/DF 在RtADC中， 5. CBMCBA CD/MN CBMDCB CBADCB OCOB 同理可证：OBOD OCOD OAOB ADBC是平行四边形 OBCCBM，O