2020版高考数学复习第九章平面解析几何第7讲抛物线分层演练.docx

第7讲 抛物线1抛物线yax2(a0)的准线方程是()AyB.yCy Dy解析：选B.抛物线yax2(a0)的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线方程是()Ay212x B.y28xCy26x Dy24x解析：选B.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线定义，x1x2p8，因为AB的中点到y轴的距离是2，所以2，所以p4；所以抛物线方程为y28x.故选B.3(2018高考全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过点(2，0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则()A5 B6C7 D8解析：选D.法一：过点(2，0)且斜率为的直线的方程为y(x2)，由得x25x40，解得x1或x4，所以或不妨设M(1，2)，N(4，4)，易知F(1，0)，所以(0，2)，(3，4)，所以8.故选D.法二：过点(2，0)且斜率为的直线的方程为y(x2)，由得x25x40，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y10，y20，根据根与系数的关系，得x1x25，x1x24.易知F(1，0)，所以(x11，y1)，(x21，y2)，所以(x11)(x21)y1y2x1x2(xxx2)1445188.故选D.4设抛物线 y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足，如果直线AF的斜率为，那么|PF|()A4 B.8C8 D16解析：选B.如图，由kAF知AFM60.又APMF，所以PAF60.又|PA|PF|，所以APF为等边三角形故|PF|AF|2|MF|2p8.5已知点A(2，1)，抛物线y24x的焦点是F，若抛物线上存在一点P，使得|PA|PF|最小，则P点的坐标为()A(2，1) B.(1，1)C. D解析：选D.如图，设抛物线准线为l，作AAl于A，PPl于P，则|PA|PF|PA|PP|AA|，即当P点为AA与抛物线交点时，|PA|PF|最小，此时P.故选D.6若抛物线y22x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为_解析：设抛物线的顶点为O，焦点为F，P(xP，yP)，由抛物线的定义知，点P到准线的距离即为点P到焦点的距离，所以|PO|PF|，过点P作PMOF于点M(图略)，则M为OF的中点，所以xP，代入y22x，得yP，所以P.答案：7抛物线x22py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_解析：在等边三角形ABF中，AB边上的高为p，p，所以B.又因为点B在双曲线上，故1，解得p6.答案：68过点P(2，0)的直线与抛物线C：y24x相交于A，B两点，且|PA|AB|，则点A到抛物线C的焦点的距离为_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别过点A，B作直线x2的垂线，垂足分别为D，E(图略)，因为|PA|AB|，所以又得x1，则点A到抛物线C的焦点的距离为1.答案：9已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MNFA，垂足为N，求点N的坐标解：(1)抛物线y22px的准线为x，于是45，所以p2.所以抛物线方程为y24x.(2)因为点A的坐标是(4，4)，由题意得B(0，4)，M(0，2)又因为F(1，0)，所以kFA，因为MNFA，所以kMN.所以FA的方程为y(x1)，MN的方程为y2x，联立，解得x，y，所以N的坐标为.10已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)，则A(0，a)，又F(1，0)，所以(1，0)，(1，a)，由题意得与的夹角为120，得cos 120，解得a，所以圆的方程为(x1)2(y)21.答案：(x1)2(y)214.如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m水位下降1 m后，水面宽_m.解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x22py(p0)，则A(2，2)，将其坐标代入x22py，得p1.所以x22y.当水面下降1 m，得D(x0，3)(x00)，将其坐标代入x22y，得x6，所以x0.所以水面宽|CD|2 m.答案：25.如图，抛物线y24x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点(1)若2，求直线AB的斜率；(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值解：(1)依题意知F(1，0)，设直线AB的方程为xmy1.将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y24my40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1y24m，y1y24.因为2，所以y12y2.联立和，消去y1，y2，得m.所以直线AB的斜率是2.(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2SAOB.因为2SAOB2|OF|y1y2|4，所以当m0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4.6.如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上(1)写出该抛物线的方程及其准线方程(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1y2的值及直线AB的斜率解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y22px(p0)因为点P(1，2)在抛物线上，所以222p1，解得p2.故所求抛物线的方程是y24x，准线方程是x1.(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB