2019年高考数学总复习专题基本不等式及其应用导学案理.docx

第四节基本不等式及其应用最新考纲1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.知识梳理1.重要不等式a2b22ab(a，bR)(当且仅当ab时等号成立)2.基本不等式：(1)基本不等式成立的条件：a0，b0. (2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号.(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数. 基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数3.几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)，当且仅当ab时取等号.(2)ab(a，bR)，当且仅当ab时取等号.(3)(a，bR)，当且仅当ab时取等号.(4)2(a，b同号)，当且仅当ab时取等号.4.利用基本不等式求最值已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2(简记：积定和最小).(2)如果和xy是定值s，那么当且仅当xy时，xy有最大值是(简记：和定积最大).5.不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)A在区间D上恒成立f(x)minA；若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)B在区间D上恒成立f(x)maxB.(2)能成立问题：若f(x)在区间D上存在最大值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)A成立f(x)maxA；若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)B成立f(x)minB.(3)恰成立问题：不等式f(x)A恰在区间D上成立f(x)A的解集为D；不等式f(x)B恰在区间D上成立f(x)B的解集为D.典型例题考点一 利用基本不等式证明不等式的方法【例1】 已知x0，y0，z0，求证：8.【证明 】x0，y0，z0，0，0，0，8，当且仅当xyz时等号成立规律方法 (1)利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等(2)利用基本不等式对所证明的不等式中的某些部分放大或者缩小，在含有三个字母的不等式证明中要注意利用对称性【变式训练1】已知a0，b0，c0，且abc1，求证：9.【证明 】a0，b0，c0，且abc1，3332229，当且仅当abc时，取等号考点二直接法或配凑法求最值【例2】(1)已知0x1，则x(33x)取得最大值时x的值为( )A B CD【答案】C【解析】0x2，x20，f(x)x(x2)222224，当且仅当x2，即(x2)21时，等号成立，x1或3.又x2，x3，即a3.(3)已知x，求f(x)4x2的最大值；(4) 设0x，则函数y4x(52x)的最大值为_【答案】【解析】因为0x0，所以y4x(52x)22x(52x)22，当且仅当2x52x，即x时等号成立，故函数y4x(52x)的最大值为. 规律方法(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.【变式训练2】(1)2015湖南高考若实数a，b满足，则ab的最小值为()A B2C2 D4【答案】C【解析】由知a0，b0，所以2，即ab2，当且仅当即a，b2时取“”，所以ab的最小值为2.(2)若对任意的x1，不等式x1a恒成立，则实数a的取值范围是_.【答案】.(3)函数y(x1)的最小值为_.【答案】22.【解析】y (x1)222.当且仅当x1，即x1时，等号成立.考点三常数代换或消元法求最值【例3】（1）已知m0，n0,2mn1，则的最小值为_.【答案】8.【解析】2mn1，()(2mn)4428.当且仅当，即n，m时，“”成立(2)若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值为_.【答案】5.【解析】法一由x3y5xy可得1，3x4y(3x4y)5,当且仅当，即x1，y时，等号成立，3x4y的最小值是5.法二由x3y5xy，得x，x0，y0，y，3x4y4y4y425，当且仅当y时等号成立，(3x4y)min5.(3)已知x0，y0，x3yxy9，则x3y的最小值为_.【答案】6.【解析】)由已知得x.法一(消元法)因为x0，y0，所以0y3，所以x3y3y3(y1)6266，当且仅当3(y1)，即y1，x3时，(x3y)min6.法二x0，y0，9(x3y)xyx(3y)，当且仅当x3y时等号成立.设x3yt0，则t212t1080，(t6)(t18)0，又t0，t6.故当x3，y1时，(x3y)min6（4）已知a0，b0，ab1，则的最小值为_【答案】4.【解析】a0，b0，ab1，2224，即的最小值为4，当且仅当ab时等号成立【题点发散1】本例的条件不变，则的最小值为_【答案】9.【解析】52549，当且仅当ab时，取等号【题点发散2】若将本例中的“ab1”换为“a2b3”，如何求解？【答案】1.【解析】a2b3，ab1.121.当且仅当ab33时，取等号故的最小值为1.规律方法 求条件最值注意的问题(1)要敏锐的洞察到已知条件与要求式子的联系，并能灵活进行转化；(2)常用的技巧有：“1”的代换，配凑法，放缩法，换元法 yx1.521.521.5，当且仅当x，即x10时取等号故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备课堂总结1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.2.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab，(a0，b0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.3.对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数yx(m0)的单调性.课后作业1.已知a0，b0，且4ab1，则ab的最大值为_【答案】.【解析】法一：a0，b0,4ab1，14ab24，当且仅当4ab，即a，b时，等号成立，ab.ab的最大值为.法二：4ab1，ab4ab，当且仅当4ab，即a，b(满足a0，b0)时，等号成立，ab的最大值为.2.2017山东高考若直线1(a0，b0)过点(1,2)，则2ab的最小值为_【答案】8.【解析】直线1(a0，b0)过点(1,2)，1，2ab(2ab)4428，当且仅当，即a2，b4时，等号成立故2ab的最小值为8.3.已知正数x，y满足x22xy30，则2xy的最小值是_【答案】3.【解析】由x22xy30得yx，则2xy2xx23，当且仅当x1时，等号成立，所以2xy的最小值为3.4.设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为()A80 B77 C81 D82【答案】C.【解析】xy2281，当且仅当xy9时等号成立，故选C.5若2x4y4，则x2y的最大值是_.【答案】2.【解析】因为42x4y2x22y22，所以2x2y422，即x2y2，当且仅当2x22y2，即x2y1时，x2y取得最大值2.62017江苏高考某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是_【答案】307函数y2x(x1)的最小值为_【答案】22【解析】因为y2x(x1)，所以y2x2(x1)22222.当且仅当x1时取等号，故函数y2x(x1)的最小值为22.8若正数x，y满足4x29y23xy30，则xy的最大值是()A. B. C2 D.【答案】C【解析】由x0，y0，得4x29y23xy2(2x)(3y)3xy(当且仅当2x3y时等号成立)，12xy3xy30，即xy2，xy的最大值为2.9函数y(x1)的最小值是( )A22 B22 C2 D2【答案】A【解析】 x1，x10.yx122222.当且仅当x1，即x1时，取等号10(1)当x时，求函数yx的最大值；(2)设0x2，求函数y的最大值【答案】(1)；(2).【解析】 (1)x，2x30，y(2x3)24，当且仅当32x，即x时，ymax.函数y的最大值为.(2)0x0，y，当且仅当2x42x，即x1时，ymax.11已知x0，y0，且2x8yxy0，求：(1)xy的最小值；(2)xy的最小值【答案】(1)64；(2)18.【解析】(1)x0，y0,2x8yxy0，xy2x8y28，(8)0，又0，8即xy64.当且仅当x4y即8y8y4y20时，即y4，x16时取等号，xy的最小值为64.(2)2x8yxy0，1，xy(xy)1010218.当且仅当，即x2y即4y8y2y20时，即y6，x12时取等号，xy的最小值为18.12.若正数a，b满足abab3，求： (1)ab的取值范围；(2)ab的取值范围13某地需要修建一条大型输油管道通过240 km宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为x km的相邻两增压站之间的输油管道的费用为(x2x)万元设余下工程的总费用为y万元(1)试将y表示成x的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使y最小，其最小值为多少？【答案】(1) y240x160(0x240)；(2) 需要修建11个增压站才能使y最小，其最