弹性力学平面问题有限元法.ppt

3 弹性力学平面问题有限元法,材料力学主要研究杆、梁、柱 结构力学主要研究杆系（或梁系） 弹性力学主要研究实体和板得受力和变形 弹性力学假设所研究的物体：连续的、完全弹性的 均匀的、各向同性的、微小变形的和无初应力的 在这假设基础上研究受力物体一点上的应力、应变、变形和平衡关系。,线性： （非线性） 结构的应力与应变的关系（本构关系）呈线性变化。 弹性：（塑性） 结构在外力拆除后能够完全恢复原有形状的特性。 静力分析： （动态分析） 结构所受外力是不随时间变化的恒力。,一、弹性力学中的物理量 载荷、应力、应变、位移,1.载荷 载荷是外界作用在弹性体上的力，又称为外力。它包括体力、面力和集中力三种形式。 体力是分布于整个弹性体体积内的外力，如重力和惯性力。在弹性体内任一点，单位体积的体力用 表示，它可分解为给定坐标系x、y和z三个坐标轴上的投影 、 、 ，称为体力分量。,面力是作用于弹性体表面上的外力，如流体压力和接触压力。,如果外力作用面很小，或者说外力作用在某一点上，则这种外力称为集中力。,无论那个位置的体力、那一边界面上的面力，均以正 标向为正，且斜面上的面力是以单位斜面面积上的作用 力数值来表示。,内力,求解方法：截面法,定义：物体本身不同部分之间相互作用的力。,P,m,n,矢量 方向沿 的极限方向,量纲：,2. 应力:内力集度。反映内力分布情况（应力场）,沿截面切向和法向分解为 和,应力的两种不同分解方法,沿坐标轴分解 沿截面法向和切向分解,除了在推导公式过程中沿坐标轴分解外，通常 采用沿截面法向和切向分解的方式，即分解为正 应力 和切应力 ，因为与物体形变和材料强 度之间相关的是应力在其作用截面的法线方向和 切线方向的分量。,tyz,sy,tyx,sz,tzy,tzx,txy,sx,txz,P,A,B,C,正六面单元体的取法,经过物体内任一点如P点取出一个微小的正六面 体，它的棱边分别平行于三个坐标轴而长度分别 为： 。将每个面上的应力分 解为一个正应力和两个切应力。正应力用 表 示，切应力用 表示。,应力下标的含意：,作用面的外法线方向,力的指向,作用面的外法线方向,力的指向,在受力物体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等；两者都垂直于两平面的交线，方向共同指向或背离这一交线。,弹力规定,材力规定,切应力互等定理,3.形变,定义：形状的改变（长度的改变和角度的改变）,线应变（正应变）：线段单位长度的伸缩。,记号：,正负：伸长为正，压缩为负,切应变(剪应变)：两方向线段夹角的改变。,记号：,(以弧而非角度表示),正负：直角变小为正，变大为负,同一点的应力状态情况一样，可证明，在物体内任意一点，若已知 、 、 、 、 、 ，即可求得经过该点的任意截面上（方向余弦已知）的正应变和切应变。故这六个应变分量完全确定了该点的应变状态。,一点的形变状态的概念,几何规律：过空间一点有无数根直线。,力学特点：即使过同一点，不同方向线段的伸长也同； 任两根直线之间夹角的改变也不相同。,4.位移,定义：位置的改变。,记号： 、 、,正负：沿坐标轴正向为正，负向为负。,分类:与形变有关的位移和与形变无关位移（刚体位移）,二、弹性力学基本方程,弹性力学基本方程描述弹性体内任一点应力、应变、位移以及外力之间的关系，它包括平衡方程、几何方程和物理方程三类。,1.平衡方程（应力和体力之间关系）,平衡方程是弹性体内部必须满足的条件，它说明六个应力分量不是独立的， 它们通过三个平衡方程相互联系。,应力和体力在三个坐标方向上 满足一下平衡方程,在X方向有,2. 几何方程（几何量位移和应变）,3. 物理方程（应力分量与应变分量；与材料的物理特性有关）,从静力学角度导出了平衡微分方程和静力边界条件；从几何学角度导出了几何方程和应变协调条件；在推导过程中并没有涉及到弹性体本身材料的固有特性，故这些方程适用于一切连续介质。,从物理学的角度分析可知，不同材料的弹性体其应力应变关系即本构关系是不同的，对于对于理想弹性体，在小变形情况下，应力应变关系服从广义胡克定律,物理方程的表达形式,为材料的弹性模量；,为材料的切变弹性模量,为泊松比,由上可见，三类基本方程中包括15个方程，含6个应力分量、6个应变分量和3个位移分量共15个未知量。 实际求解时并不是同时求出全部未知量，而是先求出一部分（称为基本未知量），再通过基本方程求出其他未知量。 位移法、应力法、混合法选取基本未知量不同,1.平面应力问题,四、平面问题,工程中链传动中的链片、发动机中的连杆、 内燃机的飞轮、轧机的机架和齿宽较小的 直齿圆柱齿轮等,条件,弹性体是等厚的薄板（沿 向等厚度 ），厚度尺寸远远小于截面尺寸，tL/15；,体力、面力和约束都只有 平面内的量即 ,且都不沿 向变化；,应力边界（面力和约束只作用于板边，在板面上 没任何面力和约束的作用。应力边界为：,板很薄，外力不沿厚度方向变化，因应力沿厚度方向连续分布，故可认为所有各点：,由切应力互等定律得：,只有平行于 面的平面应力分量平面应力,由于物体形状、外力和约束沿 向均不变化，应力分量和应变分量均只是 的函数；从几何方程积分求位移可知位移与 有关。,平面应力问题只有平面应力分量 、 和 ，且仅为 的函数的弹性力学问题,物理方程,几何方程,物理方程,式中,称为平面应力问题的弹性矩阵,平面应变问题,工程中滚针轴承的滚针、轧钢机的轧辊、水坝、 受内压管道、齿宽较大的直齿轮等,条件,弹性体为常截面的很长柱体。,体力、面力和约束都只有 平面内的量 ,且都不沿 向变化；,假想柱体无限长，则任一 截面均为对称面，即 ，只有平面位移 和 存在，即平面位移。,由于截面形状、外力和约束沿 向均不变化，位移分量只是 的函数.,假想柱体无限长，则任一 截面均为对称面，即 ，只有平面位移 和 存在，即平面位移。,由于截面形状、外力和约束沿 向均不变化，位移分量只是 的函数.,只有平行于 面的平面应变分量平面应变,从数学和几何学角度推导,由对称性(对称结构承受对称荷载，反对称力为 零)可知：,由胡克定律可知：,由剪切互等定律可知：,从力学角度推导,平面应变问题只有平面应变分量 、 和 ，且仅为 的函数的弹性力学问题,可直接由 计算得到，故不作为独立的 未知量。,的存在说明了沿 向无限长的柱体的假设限 制了每一个横截面的纵向位移。当柱体受到垂直于 轴的外力作用时，这些衡截面之间必然产生挤压应力 。,物理方程,物理方程,物理方程,式中,称为平面应变问题的弹性矩阵,3-2 平面问题的有限元模型,连续体被分割为只在节点处连接的单元集合，受力后原来是一体的公共边可能出现裂缝，原来单元应该均匀变形，这时也可能出现非均匀变形。 选择适当的单元位移插值函数来限制单元的变形，使得连续体尽管被人为地分割成单元的集合，而且只在有限个节点处相连，但模型仍然能够部分满足连续性的要求。,位移插值函数应注意满足以下几个条件 （1）包括常数项（反映单元发生的整体移动） （2）包括一次项（反应发生的常应变） （3）尽量保证位移的连续性 使位移函数满足上述三个条件的目的就是要满足有限元解的收敛性，即当单元尺寸逐渐缩小时，有限元解收敛于实际问题的精确解。在单元边界上其值能由节点函数值唯一确定。 （4）几何各向同性（单元的位移分布不应与人为选取的坐标方位有关，即位移函数中坐标x,y应该是能够互换的）,3-3 平面问题的三角形单元求解,第一步：选择适当的坐标系，写出单元的位移和节点力向量,m,j,Fxi,Fyi,i,三角 形三节点单元,u1,v1,第二步：选择适当的位移插值函数,多项式项数越多，逼近精度越高。项数的多少应根据单元自由度数确定。三节点三角形单元有6个自由度，可以确定6个待定系数。,（49）,这一步的目的是求出待定系数。,第三步： 求单元中任一点位移,与节点位移,的关系,由于节点i、j、m在单元上，它们的位移自然也就满足 位移函数式。将三个节点坐标和位移值分别代入式中，得：,上式共有6个方程，可以求出6个待定系数。根据Gramer法则， 求出各待定系数,其中，节点的坐标值是已知的，令,为三角形单元的面积。,用节点坐标和节点位移表示的位移函数为,形函数，它们是坐标的函数，与节点坐标有关，而与节点位移无关。,其中，,以矩阵表示为,上式就是单元位移的插值表达式，它表明只有知道了节点位移，就可通 过形函数插值求出单元内任意一点的位移。,其中，,称为形函数矩阵；,为单元节点位移列阵。,第四步： 求单元应变单元位移节点位移之间的关系,第五步： 求应力应变节点位移之间的关系,由物理方程，,第六步： 求节点力与节点位移之间的关系,按节点号叠加单元刚度矩阵元素可得到结构总体刚阵，再引入一定的边界条件和外载荷就可以求解。最后的计算格式仍然是,第七步： 单元应力与节点位移的关系,二、约束条件处理,1、置大数法,总体刚度矩阵是一个奇异矩阵，施加约束条件后的方程组则是有唯一解的。 施加零位移后，将零位移所对应的行和列划去，使方程组减小。 但对改变矩阵阶数的方法在编程序时不方便，而且对非零位移的情况无法处理。,将该位移分量所对应的主对角元素置为大数，再将载荷列阵F中对应的分量置为大数乘以已知的节点位移，而其余各行保持不变,2、置1赋0法,将总刚度矩阵中给定位移a 分量所对应行和列的主对角元素置为1，而其他元素皆变为0。在节点载荷列阵中，将零位移分量所对应的节点载荷也变为a 。,六节点三角形单元,三节点三角形位移插值函数是线性的，单元内的位移是线性变化的。 几何方程、物理方程可知单元内的应变和应力都是线性的。,3-5 六节点三角形单元和矩形单元,6,3,1,4,5,2,四节点矩形单元,的物理意义是：当节点i在某坐标方向发生单位位移而其他 节点的位移为零时，单元内的位移分布形状。,形函数具有以下三条性质： （1） 在i节点上的值为1，而在其他节点处为零，即,（2）在单元的