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文档简介
动态模型,描述对象特征随时间(空间)的演变过程 分析对象特征的变化规律 预报对象特征的未来性态 研究控制对象特征的手段,微分方程建模,根据函数及其变化率之间的关系,确定函数本身 根据建模目的和问题分析作出简化假设 按照内在规律或用类比法建立微分方程,传染病模型,问题,描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到来的时刻 预防传染病蔓延的手段 按照传播过程的一般规律,用机理分析方法建立模型,模型1 (SI模型) 模型假设: 健康人和病人在时刻t这两类人在总人数中所占的比例分别记作和 s(t)和i(t). 每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为 , 称日接触率。,模型建立,(1),(2),若记初始时刻(t=0)病人的比例为 ,则 模型求解 解得:,(3),模型分析 但 必须修改模型。,模型2 传染病无免疫性,病人治愈成为健康人,健康人可再次被感染(SIS模型),模型假设 1)、2)条与模型1相同,增加的条件为 3)病人每天被治愈的占病人总数的比例为 ,称为日治愈率。病人治愈后成为仍可被感染的健康人。 模型建立,(4),(5),模型求解,(5)的解为,(6),模型分析,定义 , 是一个传染期内每个病人有效接触的平均人数,称为接触数。易知,当 时,,(7),模型3 传染病有免疫性,病人治愈后即移出感染系统,称移出者(SIR模型)。,模型假设: 1) 人数N不变,健康人、病人和移出者比例分别为 2) 模型建立:,和,病人的日接触率为,,日治愈率为,,传染期接触,数为,(8),(9),方程(9)无法求出 和 的解析解,在相平面 上研究解的性质。 相轨线的定义域为 在方程(9)中消去 dt并注意到 的定义,可得,(10),(11),容易求得(11)的解为 (12)即为相轨线。 模型分析 在D内作相轨线 的图形,,(12),相轨线及其分析 故 是阈值。,从而得预防传染病蔓延的手段:,习题:,在SIR模型中,证明: 若 ,则 先增加,在 处达到
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