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周期函数的傅里叶级数展开：,周期函数的傅里叶级数展开： 奇函数的傅里叶展开：只含正弦项 偶函数的傅里叶展开：只含余弦项 定义在有限区间(0,l)：延拓成周期函数,必备的高等数学知识： 微积分：与三角函数有关的积分 三角函数自身： 三角函数之积：积化和差,必备的高等数学知识： 微积分：与三角函数有关的积分 多项式与三角函数之积：分部积分,周期函数的傅里叶级数展开： 例：P.92, 5.(1)题 有限区间 需要延拓 奇的周期函数：T=2 应展开为傅里叶正弦级数：,周期函数的傅里叶级数展开： 续上页： 故：,数学物理定解问题的“翻译”： 泛定方程的导出： 确定研究物理量 微元分析 偏微分方程 常见的三类泛定方程： 双曲型 抛物型 椭圆型 “二阶 线性 偏微分方程”？“齐次 方程”？,数学物理定解问题的“翻译”： 常见的三类边界条件： “齐次 边界条件”？ 初始条件：,数学物理定解问题的“翻译”： 【例】弦的振动 1. P179，第1题：无限长、自由振动 2. P201，第1题：有限长、自由振动,数学物理定解问题的“翻译”： 【例】弦的振动 3. 振动的几种常见边界条件：,数学物理定解问题的“翻译”： 【例】杆的纵振动 1. P161，第2题：端点受力，第二类边界条件 2. P179，第6题：半无限长、延拓,数学物理定解问题的“翻译”： 【例】杆的纵振动 3. P201，第4题：初始长度收缩,数学物理定解问题的“翻译”： 【例】杆的纵振动 4. 边界条件 or 初始条件：,数学物理定解问题的“翻译”： 【例】热传导 1. P161，第3题：端点有热流，第二类边界条件 2. P201，第2题：输运方程、一个初始条件,数学物理定解问题的“翻译”： P152，第5题：热传导方程、非齐次 热传导，温度u(x,t)，热量守恒定律、热传导定律,数学物理定解问题的“翻译”： 【例】稳定分布：拉普拉斯方程 1. P202，第17题：圆域，极坐标 2. 换成圆环？换成球壳？ 球坐标,数学物理定解问题的“翻译”： 学会“翻译”： 定解问题 = 泛定方程 + 定解条件（边界、初始） 物理分析：微元分析、受力平衡、守恒定律等 常见的三类泛定方程： 波动方程、输运方程、稳定场方程 特征判断：最高阶数、是否线性、是否齐次 常见的三类边界条件： 第一类、第二类、第三类 特征判断：是否齐次 方程所需的初始条件： 波动（2）、输运（1）、稳定场（0）,非直角坐标： 极坐标、球坐标 算符的表示,数学物理定解问题的求解方法： 行波法（达朗贝尔公式）： 物理意义：分别沿正、反方向传播的行波 适用：无界空间一维齐次波动方程 半无界情形：延拓（满足初始条件） 分离变数法： 基本思路：分解为几个常微分方程；本征值问题 分两种情况： 本征解是三角函数的情形：直角坐标、极坐标 主要步骤：分离变数 本征解 叠加解 定系数 非齐次问题的解决思路：齐次化（特解、叠加） 傅里叶级数展开（系数公式、常用积分）,必备的高等数学知识： 常微分方程： 齐次方程：一元、二元；通解 非齐次方程：特解 + 通解,达朗贝尔公式、行波法 ： 一维齐次波动方程的通解： 无界空间一维波动方程的达朗贝尔公式： 物理意义： 用途：解某些数理方程（行波法）,达朗贝尔公式、行波法 ： 【例】 1. P179，第1题：无限长 直接代入公式 2. P179，第6题：半无限长 延拓,分离变数法（傅里叶级数法）： 【例】齐次方程、齐次边界条件 1. P201，第1题：波动方程,分离变量法流程图,初始条件,边界条件,泛定方程,定解问题,分离变数法（傅里叶级数法）： 基本思路： 把偏微分方程分解为几个常微分方程来求解 其中有的常微分方程带有附加条件而构成本征值问题 主要步骤： 将未知函数写成不同变数函数的直积形式 代入泛定方程和齐次边界条件 分离变数 求解本征值问题 本征值、本征函数 所求解可写成本征解的叠加形式 根据初始条件确定叠加系数 傅里叶级数展开 适用于多种定解问题,分离变数法（傅里叶级数法）： 【例】齐次方程、齐次边界条件 2. P201，第2题：输运方程,分离变数法（傅里叶级数法）： 【例】齐次方程、齐次边界条件 3. P201，第11题：稳定场方程（拉普拉斯方程）,分离变数法要求很熟练地求解下列四个本征值问题，能直接写出本征值和本征函数,分离变数法（傅里叶级数法）： 【例】非齐次波动方程、输运方程 1. P215，第4题：两种方法 方法一：傅里叶级数法,分离变数法（傅里叶级数法）： 【例】非齐次波动方程、输运方程 1. P215，第4题：两种方法 方法二：冲量定理法,两种方法应得到相同结果！（请自行验算） 2. 换成整体受谐变力f(x,t)=Asint？ （定解条件不变，请自行练习）,分离变数法（傅里叶级数法）： 【例】非齐次稳定场方程