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文档简介
计量经济学,授课人:田立法 教材:张晓峒计量经济学基础(第3版) 授课班级:金融0905、0906,信用0901 公共信箱:sd_jiliang_2011163.com tianlifa,计量经济学,天津商业大学经济学院,天津商业大学经济学院,2011年10月,第四章 非线性回归模型的线性化,第一节:变量间的非线性关系 第二节:线性化方法 第三节:案例分析,第一节 变量间的非线性关系,1. 线性回归模型与非线性回归模型的形式有何不同?,线性模型 非线性模型,2. 非线性回归模型可分为几类? 第一类:非标准的线性回归模型; 第二类:可线性化的非线性回归模型; 第三类:不可线性化的非线性回归模型。,第一节 变量间的非线性关系,第一类:非标准的线性化模型 Y与解释变量 之间不存在线性关系,但与未知参数 之间存在线性关系。 举例:总成本函数模型,第一节 变量间的非线性关系,第二类:可线性化的非线性回归模型 此类模型可通过适当的变换化为标准的线性回归模型。如,柯布道格拉斯(Cobb-Dauglas)生产函数模型,简称C-D生产函数模型: 其中,Y 表示产出量,K 表示资金投入量,L 表示劳动投入量,A 为效率系数, 和 非别为K 和 L的产出弹性,A、 和 均为待估未知参数。 取对数后:,第一节 变量间的非线性关系,第三类:不可线性化的非线性回归模型 有些回归模型无论通过什么样的变换,都无法使其化为标准的线性回归模型,这类回归模型被称为不可线性化的非线性回归模型。如:,第二节 线性化方法,1. 非标准线性回归模型的线性化方法 变量替换法 变量替换公式为 则,第二节 线性化方法,(1)多项式函数模型 令 则 例4.1 假设某企业在15年中每年的产量和总成本的 统计资料如表4.1所示,试估计该企业的总成 本函数模型。 解:详见教材。,第二节 线性化方法,(2)双曲函数模型 令 则,化为标准的线性回归模型,第二节 线性化方法,(3)对数函数模型 令 则 (4)S-型曲线模型 取倒数 令 则,第二节 线性化方法,2. 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 (1)指数函数模型 取对数 令 则 (2)幂函数模型,第二节 线性化方法,例 4.2 对于柯布道格拉斯(C-D)生产函数 其中,Y 表示产出量,K 表示资金投入量,L表示劳动投入量,u 表示随机误差项,A、 、 为未知参数。试利用天津市1980年1996年间的有关统计资料,估计天津市全社会的C-D生产函数模型。 解:详见教材。,第二节 线性化方法,3. 不可线性化的非线性回归模型的线性化估计方法 迭代线性化法 第一步:根据经济理论和历史统计资料,选定 作为未知参数 的一组初始估计值。接着将模 型的非线性函数 在这组初始估计值附近作泰勒级数展 开,得 舍掉二阶和二阶以上的高阶项,得:,第二节 线性化方法,3. 不可线性化的非线性回归模型的线性化估计方法 移项整理后得: 令 得,3. 不可线性化的非线性回归模型的线性化估计方法 第二步:对变换好的标准线性回归模型应用普通最小二乘法 估计未知参数。由给定的样本观察值 和 初始估计值 计算出一组新的样本观测值 。利用这组新的样本观测值, 就可以得到线性回归模型的一组新的最小二乘估计量。 第三步:将非线性函数 在这组新的参数估计值 附近作泰勒级数展开,线性化后得到一个新的标准线性回 归模型。对这个新的标准线性回归模型再应用普通最小二 乘法,又得到一组新的最小二乘估计量 。,第二节 线性化方法,3. 不可线性化的非线性回归模型的线性化估计方法 重复这一过程:一直到参数估计值满足下式为止, 即对于预先给定的任意小的正数 ,不等式成立。 例 4.3 写出利用迭代线性化法估计下面的非线性消费函数模型的具体步骤。 其中,C 表示总消费,Y 表示可支配收入。,第二节 线性化方法,第二节 线性化方法,3. 不可线性化的非线性回归模型的线性化估计方法 解:若C 与 Y 之间存在线性关系,则 ,因此可将参数的初始估计值取为 。将非线性消费函数在这组初始估计值附近作泰勒级数展开,然后取线性近似。 代入消费函数模型,得 移项得 令 得,第二节 线性化方法,3. 不可线性化的非线性回归模型的线性化估计方法 解: 将参数初始估计值 换成 重复上述步骤,又得到一组新的最小二乘估计值 直至估计值达到预定的精度为止。 美国1947年第1季度1995年第2季度的时间序列数据,经过22次迭代后达到收敛,得到的消费函数的估计模型为,第三节 案例分析,例4.4 两要素不变替代弹性(CES)生产函数的参数估计 解:两要素不变替代弹性生产函数,简称CES生产函数,是由Arrow、Chenery、Mihas和Solow等人于1961年提出,其一 般形式如下: 其中 A效益系数,是广义技术进步水平的反映,应满足A0; 分配系数,应满足 ; 替代系数,应满足 ; m规模报酬参数,m1表示规模报酬递增。,第三节 案例分析,例4.4 两要素不变替代弹性(CES)生产函数的参数估计 解:,1928年 Cobb,Dauglas C-D生产函数 1937年 Dauglas,Durand C-D生产函数的改进型 1957年 Solow 含体现技术进步生产函数 1960年 Solow 两要素CES生产函数 1961年 Arrow 二级CES生产函数 1967年 Sato VES生产函数 1968年 Sato,Hoffman 边界生产函数 1971年 Revanker VES生产函数 1973年 Christensan,Jorgenson 超越对数生产函数 1980年 三级CES生产函数,第三节 案例分析,例4.4 两要素不变替代弹性(CES)生产函数的参数估计 解: CES生产函数是一个关于四参数 A、 、 、m 的非线性函数,而且无法通过简单的变换实现线性化。教材介绍了一种由Kementa于1967年提出的线性化估计方法。首先,对函数两边取对数,得: 设,第三节 案例分析,例4.4 两要素不变替代弹性(CES)生产函数的参数估计 解:将 在 处作泰勒级数展开,取0阶、1阶和2阶项, 得 将上式代入 得,第三节 案例分析,例4.4 两要素不变替代弹性(CES)生产函数的参数估计 解: 设 为被解释变量, 为解 释变量, 为未 知参数,
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