2019版高考数学复习三角函数、解三角形第2讲小题考法——三角恒等变换与解三角形学案.docx

第2讲小题考法三角恒等变换与解三角形一、主干知识要记牢1两组三角公式(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan()辅助角公式：asin bcos sin()(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sin cos cos 2cos2sin22cos2112sin2降幂公式：sin2，cos2tan 22正弦定理2R(2R为ABC外接圆的直径)变形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；sin A，sin B，sin C；abcsin Asin Bsin C3余弦定理a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C推论：cos A，cos B，cos C4三角形面积公式SABCbcsin Aacsin Babsin C二、二级结论要用好1在ABC中，tan Atan Btan Ctan Atan Btan C2ABC中，内角A，B，C成等差数列的充要条件是B603ABC为正三角形的充要条件是A，B，C成等差数列，且a，b，c成等比数列4SABC(R为ABC外接圆半径)三、易错易混要明了1对三角函数的给值求角问题，应选择该角所在范围内是单调的函数，这样，由三角函数值才可以唯一确定角，若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好2利用正弦定理解三角形时，注意解的个数，可能有一解、两解或无解在ABC中，ABsin Asin B考点一三角恒等变换与求值1三角恒等变换的策略(1)常值代换：特别是“1”的代换，1sin2cos2tan 45等(2)项的拆分与角的配凑：如sin22cos2(sin2cos2)cos2，()等(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次(4)弦、切互化：一般是切化弦2解决条件求值问题的关注点(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示(3)求解三角函数中的给值求角问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小1(2018邵阳模拟)若角的终边经过点(1,2)，则sin(C)ABC D解析由题得sin ，cos ，所以sinsin cos ，故选C2(2018延安一模)已知sin3cos()sin()，则sin cos cos2的值为(C)A BC D解析sin3cos()cos 3cos 2cos sin()，tan 2，则sin cos cos2，故选C3(2018湖北联考)已知34，且 ，则(D)A或 B或C或 D或解析34，2，cos 0，sin 0，cos sin cos，cos，2k或2k.kZ，即4k或4k，kZ，34，或，故选D考点二利用正、余弦定理解三角形解三角形问题的求解策略已知条件解题思路两角A，B与一边a由ABC及，可先求出角C及b，再求出c两边b，c及其夹角A由a2b2c22bccos A，先求出a，再求出角B，C三边a，b，c由余弦定理可求出角A，B，C两边a，b及其中一边的对角A由正弦定理可求出另一边b的对角B，由C(AB)可求出角C，再由可求出c，而通过求角B时，可能有一解或两解或无解的情况1(2018潍坊二模)在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，则A(C)A BC D解析，由正弦定理可得，即abcos B(2cb)bcos A由余弦定理可得ab(2cb)b，整理可得bcb2c2a2.cos A，A(0，)，A.故选C2(2018武汉一模)在ABC中，AB1，BC2，则角C的取值范围是(A)A BC D解析，所以sin Csin A，所以0sin C，因ABBC，C必定为锐角，故C3(2018郴州二模)在锐角ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2b2c2)tan Cab，则角C的值解析在ABC中，由(a2b2c2)tan Cab，整理得，即cos C，cos C0，sin C，C为ABC内角，C或，因为ABC为锐角三角形，C，故答案为考点三正、余弦定理的实际应用解三角形实际问题的常见类型及解题思路(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解已知条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解1如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30，45，且BAC135.若山高AD100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度约为_22.6_m/s(精确到0.1，1.414，2.236)解析因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30，45，所以BAD60，CAD45.设这辆汽车的速度为v m/s，则BC14v在RtADB中，AB200在RtADC中，AC100在ABC中，由余弦定理，得BC2AC2AB22ACABcosBAC，即(14v)2(100)220022100200cos 135，所以v22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s2如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15，经过420 s后看山顶的俯角为45，则山顶的海拔高度为_2_650_m(取1.4，1.7)解析如图，作CD垂直于AB交AB的延长线于点D，由题意知