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专题21 与导数有关的应用题【自主热身，归纳总结】1如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图已知AB为直径，且AB2 km，O为圆心，C为圆周上靠近A 的一点，D为圆周上靠近B 的一点，且CDAB.现在准备从A经过C到D建造一条观光路线，其中A到C是圆弧，C到D是线段CD.设AOCx rad，观光路线总长为y km.(1) 求y关于x的函数【解析】式，并指出该函数的定义域；(2) 求观光路线总长的最大值【解析】： (1) 由题意知x1x，(2分)CD2cosx.(5分)因为C为圆周上靠近A的一点，D为圆周上靠近B的一点，且CDAB，所以0x.所以yx2cosx，x.(7分)(2) 记f(x)x2cosx，则f(x)12sinx.(9分)令f(x)0，得x.(11分)当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：xf(x)0f(x)极大值所以函数f(x)在x处取得极大值，这个极大值就是最大值，(13分)即f.答：观光路线总长的最大值为 km.(14分)2、几名大学毕业生合作开3D打印店，生产并销售某种3D产品已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为34元该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其他固定支出20 000元假设该产品的月销售量t(x)(件)与销售价格x(元/件)(xN*)之间满足如下关系：当34x60时，t(x)a(x5)210 050；当60x76时，t(x)100x7 600.设该店月利润为M(元)(月利润月销售总额月总成本)，求：(1) M关于销售价格x的函数关系式；(2) 该打印店月利润M的最大值及此时产品的销售价格(注：写到上一步，不扣分)(2) 设g(u)(2u220u10 000)(u34)20 000，34u60，uR，则g(u)6(u216u1 780)令g(u)0，解得u182(舍去)，u282(50,51)(7分)当34u0，g(u)单调递增；当51u60时，g(u)8，所以在相应的t的范围内，v2v36，(v6)t1,16vt,126t均为正数，可知f(t)在和上递增，在和上递减即f(t)在上递增，在上递减，所以f(t)maxf.令f25，得14，解得8v. 当分段函数f(t)的图像连续时，整体考虑函数的单调性求最值，可减少很多(无效)计算量一个小窍门是：分段函数的各个分界点，能用“闭区间”就不用开区间【变式1】、某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全要求60x120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为 L，其中k为常数，且60k100.(1) 若汽车以120 km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L，欲使每小时的油耗不超过9 L，求x的取值范围； v(0,2)2(2，80)y0y极小值在v2时，y最小(13分)答：以上说明，当0a1 600时
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