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计算题满分练(二)24如图所示，竖直平面内轨道ABCD的质量M0.4 kg，放在光滑水平面上，其中AB段是半径R0.4 m的光滑圆弧，在B点与水平轨道BD相切，水平轨道的BC段粗糙，动摩擦因数0.4，长L3.5 m，C点右侧轨道光滑，轨道的右端连一轻弹簧现有一质量m0.1 kg的小物体(可视为质点)在距A点高为H3.6 m处由静止自由落下，恰沿A点滑入圆弧轨道(g10 m/s2)求：(1)ABCD轨道在水平面上运动的最大速率；(2)小物体第一次沿轨道返回到A点时的速度大小 解析(1)由题意分析可知，当小物体运动到圆弧最低点B时轨道的速率最大，设为vm，假设此时小物体的速度大小为v，则小物体和轨道组成的系统水平方向动量守恒：以初速度的方向为正方向；由动量守恒定律可得：Mvmmv由机械能守恒得：mg(HR)Mvmv2 解得：vm2.0 m/s (2)由题意分析可知，小物体第一次沿轨道返回到A点时小物体与轨道在水平方向的分速度相同，设为vx，假设此时小物体在竖直方向的分速度为vy，则对小物体和轨道组成的系统，由水平方向动量守恒得：(Mm)vx0 由能量守恒得：mgH(Mm)vmvmg2L 解得vx0；vy4.0 m/s 故小物体第一次沿轨道返回到A点时的速度大小vA m/s4 m/s答案(1)2.0 m/s(2)4 m/s25控制带电粒子的运动在现代科学实验、生产生活、仪器电器等方面有广泛的应用现有这样一个简化模型：如图所示，y轴左、右两边均存在方向垂直纸面向里的匀强磁场，右边磁场的磁感应强度始终为左边的2倍在坐标原点O处，一个电荷量为q、质量为m的粒子a，在t0时以大小为v0的初速度沿x轴正方向射出，另一与a相同的粒子b某时刻也从原点O以大小为v0的初速度沿x轴负方向射出不计粒子重力及粒子间的相互作用，粒子相遇时互不影响(1)若a粒子能经过坐标为(l，l)的P点，求y轴右边磁场的磁感应强度B1；(2)为使粒子a、b能在y轴上Q(0，l0)点相遇，求y轴右边磁场的磁感应强度的最小值B2；(3)若y轴右边磁场的磁感应强度为B0，求粒子a、b在运动过程中可能相遇的坐标值解析(1)设a粒子在y轴右侧运动的半径为R1，由几何关系有(R1l)2(l)2R甲由于B1qv0m 解得B1(2)B2最小，说明Q点是a、b粒子在y轴上第一次相遇的点，由图乙可知，a、b粒子同时从O点出发，且粒子在y轴右侧运动的圆周运动半径 乙R2 又B2qv0m 解得B2 (3)由图丙可见，只有在两轨迹相交或相切的那些点， 才有相遇的可能性，所以有y轴上的相切点和 y轴左侧的相交点经分析可知，只要a、b粒子从O点出发的时间差满足一定的条件，这些相交或相切的点均能相遇 丙粒子在y轴右侧的运动半径r1粒子在y轴左侧的运动半径r2y轴上的相切点坐标为0，(k1,2,3，) y轴左侧的相交点相遇由丙图可知，OAACOCr2 可得xAr2sin 60
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