高中数学 推理与证明2.1合情推理与演绎证明2.1.1合情推理检测新人教A版.docx

2.1.1 合情推理A级基础巩固一、选择题1下列推理是归纳推理的是()AF1，F2为定点，动点P满足|PF1|PF2|2a|F1F2|，得P的轨迹为椭圆B由a11，an3n1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式C由圆x2y2r2的面积r2，猜想出椭圆1的面积SabD科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇解析：由归纳推理的定义知，B项为归纳推理答案：B2如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，若按这种规律排列下去，那么第36颗珠子的颜色是()A白色B黑色C白色的可能性大 D黑色的可能性大解析：由题图知，这串珠子的排列规律是：每5个一组(前3个是白色珠子，后2个是黑色珠子)呈周期性排列，而36571，即第36颗珠子正好是第8组中的第1颗珠子，其颜色与第一颗珠子的颜色相同，故它的颜色一定是白色答案：A3观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为()解析：观察可发现规律：每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，每行、每列有两个阴影一个空白，应为黑色矩形答案：A4设n是自然数，则(n21)1(1)n的值()A一定是零 B不一定是偶数C一定是偶数 D是整数但不一定是偶数解析：当n为偶数时，(n21)1(1)n0为偶数；当n为奇数时(n2k1，kN)，(n21)1(1)n(4k24k)2k(k1)为偶数所以(n21)1(1)n的值一定为偶数答案：C5观察如图所示的正方形图案，每条边(包括两个端点)有n(n2，nN*)个圆点，第n个图案中圆点的总数是Sn.按此规律推断出Sn与n的关系式为()ASn2n BSn4nCSn2n DSn4n4解析：由n2，n3，n4的图案，推断第n个图案是这样构成的；各个圆点排成正方形的四条边，每条边上有n个圆点，则圆点的个数为Sn4n4.答案：D二、填空题6观察下列不等式：1，1，1，照此规律，第五个不等式为_解析：观察知，每行不等式左端的最后一个分数的分母的底数与右端值分数的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列故第五个不等式为1.答案：17已知RtABC的两条直角边长分别为a，b，则其面积Sab.若三棱锥PABC的三条侧棱两两互相垂直，且|PA|a，|PB|b，|PC|c，类比上述结论可得此三棱锥的体积VPABC等于_解析：三棱锥体积VPABC|PA|PB|PC|abc.答案：abc8观察下列各式：(x3)3x2；(sin x)cos x；(exex)exex；(xcos x)cos xxsin x.根据其中函数f(x)及其导数f(x)的奇偶性，运用归纳推理可得到的一个命题是_解析：对于，f(x)x3为奇函数，f(x)3x2为偶函数；对于，g(x)sin x为奇函数，f(x)cos x为偶函数；对于，p(x)exex为奇函数，p(x)exex为偶函数；对于，q(x)xcos x为奇函数，q(x)cos xxsin x为偶函数归纳推理得结论：奇函数的导函数是偶函数答案：奇函数的导函数是偶函数三、解答题9如图所示为m行m1列的士兵方阵(mN*，m2)(1)写出一个数列，用它表示当m分别是2，3，4，5，时，方阵中士兵的人数(2)若把(1)中的数列记为an，归纳该数列的通项公式(3)求a10，并说明a10表示的实际意义(4)已知an9 900，问：an是数列第几项？解：(1)当m2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m3，4，5，时的士兵人数分别为12，20，30，故所求数列为6，12，20，30，(2)因为a123，a234，a345，所以猜想an(n1)(n2)，nN*.(3)a101112132.a10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.(4)令(n1)(n2)9 900，所以n98，则an是数列的第98项，此时方阵为99行100列10如图所示，在ABC中，射影定理可表示为abcos Cccos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想解：如右图所示，在四面体PABC中，设S1，S2，S3，S分别表示PAB，PBC，PCA，ABC的面积，依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA与底面ABC所成二面角的大小猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为SS1cos S2cos S3cos .B级能力提升1用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴的根数为()A6n2 B8n2C6n2 D8n2解析：从可以看出，从图开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n2.答案：C2若Sn是等差数列an的前n项和，则有S2n1(2n1)an，类似地，若Tn是等比数列bn的前n项积，则有T2n1_. 解析：T2n1b1b2b3b2n1(b1b2n1)(b2b2n2)bnb.答案：b3观察下列等式：sin210cos240sin 10cos 40；sin26cos236sin6cos36.由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想解：由知