2018_2019高中数学第四讲数学归纳法证明不等式复习学案新人教A版.docx

第四讲数学归纳法证明不等式一、知识梳理二、题型、技巧归纳题型一、归纳递推要用好归纳假设数学归纳法中两步缺一不可，第一步归纳奠基，第二步起到递推传递作用在第二步的证明中，首先进行归纳假设，而且必须应用归纳假设(nk时命题成立)，推出nk1时，命题成立例1用数学归纳法证明：对于nN，.再练一题1数列的前n项的和记为Sn.(1)求出S1，S2，S3的值；(2)猜想出Sn的表达式；(3)用数学归纳法证明你的猜想题型二、不等式证明中的强化命题如果c为常数，用数学归纳法证明f(n)c一类不等式时，从k到k1的归纳过渡很易卡断思路，此时利用g(n)c，且g(n)c，把命题结论强化，即把c换成g(n)由于归纳假设也随之加强，这样强化了命题更易于用数学归纳法证明例2证明不等式1(n2，nN)再练一题2设0a1，定义a11a，an1a，求证：对一切正整数nN，有1an.题型三、从特殊到一般的数学思想方法探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此种问题未给出结论，需要从特殊情况入手，猜想、探索出结论，再对结论进行证明，主要是应用数学归纳法例3已知数列bn是等差数列，且b11，b1b2b10145.(1)求数列bn的通项公式bn；(2)设数列an的通项anloga(其中a0，且a1)，Sn是数列an的前n项和试比较Sn与logabn1的大小，并证明你的结论再练一题3在数列an，bn中，a12，b14，且an，bn，an1成等差数列，bn，an1，bn1成等比数列(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测an，bn的通项公式，并证明你的结论；(2)证明：5)时命题成立3设nN，则2n与n的大小关系是()A2nnB2n0，nN，n2.(1)证明：函数Fn(x)fn(x)2在内有且仅有一个零点(记为xn)，且xnx；(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为gn(x)，比较fn(x)和gn(x)的大小，并加以证明参考答案1【解析】左边等比数列求和Sn21()n，即1()n，()n.()n()7.n7，n取8，选B.【答案】B2【解析】由题意知n5，nN，故应假设nk(k5)时命题成立【答案】C3【解析】2n(11)n，根据贝努利不等式有(11)n1n11n，上式右边舍去1，得(11)nn，即2nn.【答案】A4【解】(1)证明：Fn(x)fn(x)21xx2xn2，则Fn(1)n10，Fn1220，故Fn(x)在内单调递增，所以Fn(x)在内有且仅有一个零点xn.因为xn是Fn(x)的零点，所以Fn(xn)0，即20，故xnx.(2)法一：由题设，gn(x).设h(x)fn(x)gn(x)1xx2xn，x0.当x1时，fn(x)gn(x)当x1时，h(x)12xnxn1.若0xxn12xn1nxn1xn1xn1xn10.若x1，h(x)xn12xn1nxn1xn1xn1xn10.所以h(x)在(0,1)上递增，在(1，)上递减，所以h(x)h(1)0，即fn(x)gn(x)综上所述，当x1时，fn(x)gn(x)；当x1时，fn(x)0.当x1时，fn(x)gn(x)当x1时，用数学归纳法可以证明fn(x)gn(x)当n2时，f2(x)g2(x)(1x)20，所以f2(x)g2(x)成立假设nk(k2)时，不等式成立，即fk(x)gk(x)那么，当nk1时，fk1(x)fk(x)xk10)，则hk(x)k(k1)xkk(k1)xk1k(k1)xk1(x1)所以当0x1时，hk(x)1时，hk(x)0，hk(x)在(1，