概率统计习题1、2答案.doc

习题12. 设都是事件,试通过对中的一些事件的交及并的运算式表示下列事件: 1) 中仅有发生. 2) 中至少有两个发生. 3) 中至多两个发生. 4) 中恰有两个发生. 5) 中至多有一个发生.答案 1) ; 2) ; 3) (或); 4) ; 5) .3. 袋中有四个球,其中有两个红球,一个黄球和一个白球.有放回地抽三次,求出现下列情况的概率: “三次都是红的”,“三次颜色全同”,“三次颜色全不同”,“三次颜色不全同”,“三次中无红”,“三次中无红或无黄”.解 每次抽球都可以抽到4个球中的任意一个，有4钟可能，3次抽球共有种可能，因此样本空间含有64个样本点。 每次抽球都可以抽到2个红球中的任意一个，有2种可能，3次抽球都抽到紅球共有种可能，因此事件含有8个样本点。 3次抽球都抽到紅球共有种可能，3次抽球都抽到黄球共有种可能，3次抽球都抽到白球共有种可能，因此事件含有个样本点。 3种颜色的排列有种，对应于每一种排列，抽到的球有种可能，因此事件含有个样本点。 因为事件含有个样本点，故事件含有个样本点。 每次抽球都可以抽到黄球和白球中的任一个，有2种可能，3次抽球都抽不到紅球共有种可能，因此事件含有8个样本点。 3次都抽不到红球有8种可能，3次都抽不到黄球有中可能，3次都抽不到红球和黄球有中可能，因此事件含有个样本点。 由上可得， ， ， 。7. 某小学六个年级各年级学生人数相同,从中任意抽出4名代表.求下列事件的概率. 1) 从一年级到四年级每个年级恰好有一名代表. 2) 每个年级的代表都至多有一名. 3) 三年级恰好有两名代表.(设学生人数很多,抽出几个代表后各年级学生人数比例的变化可以忽略).解：1）2）3）答案 1) 1/54, 2) 5/18, 3) 125/392（？）.10. 在8对夫妻中任意选出5人.求至少有一对夫妻被选中的概率.解 设“没有一对选中” ，答案 23/39.11. 在今年元旦出生的婴儿中任选一人,又在今年头两天出生的婴儿中再任选一人.求这两人的出生时间相差不到半天的概率.解 设第一个和第二个婴儿出生时间分别是元旦开始后的天和天，则两人的出生时间相差不到半天当且仅当（如右图），从图中看到,矩形面积为2，阴影部分面积为，故两人的出生时间相差不到半天的概率为。13. 在一条线段上随意放两点把这条线段一分为三,求得到的三条线段能成为一个三角形的三条边的概率.解 ，答案 1/4.14. 某城市的调查表明,该城市的家庭中有65%订阅日报,有55%订阅晚报,有75%订阅杂志,有30%既订阅日报又订阅晚报,有50%既订阅日报又订阅杂志,有40%既订阅晚报又订阅杂志,有20%日报晚报和杂志都订阅.该城市的家庭中至少订阅有一份报纸或杂志的家庭占百分之几?解 设“订阅日报”，“订阅晚报”，“订阅杂志”,则至少订阅有一份报纸或杂志的家庭所占的百分数为 。17. 掷五枚硬币.已知至少出现两个正面,问正面数刚好是三个的条件概率是多少?解 掷五枚硬币，有种结果，样本点总数是32。则“恰好出现个正面”，。在5枚硬币中选出个，有种可能，选种的硬币出现正面，其余的硬币出现反面，有1种可能。故事件含有个样本点。设“至少出现两个正面”，则的对立事件“至多出现一个正面”含有个样本点，事件含有个样本点。因而.又含有个样本点，故。从而所求的条件概率为。19.投掷一个骰子两次. 1) 已知第一次是6点,求两次都是6点的条件概率. 2) 已知两次中至少有一次是6点,求第二次是6点的条件概率. 3) 已知两次中至多有一次是6点,求第二次是6点的条件概率.4) 已知两次中恰好有一次是6点,求第二次是6点的条件概率.解 第一次得6点，第二次得6点。1）.2)3) , 4) ,答案 1/6 6/11 1/7 1/2. 21. 已知某种病菌在全人口的带菌率为10%.在检测时,带菌者呈阳性和阴性反应的概率分别为95%和5%,而不带菌者呈阳性和阴性反应的概率分别为20%和80%. 1) 随机地抽出一个人进行检测,求结果为阳性的概率.2) 已知某人检测的结果为阳性,求这个人是带菌者的条件概率.解 ,答案 1) 0.275, 2) 19/55.22. 张先生给李小姐发出电子邮件,但没有收到李小姐的答复.如果李小姐收到电子邮件一定会用电子邮件答复,而电子邮件丢失的概率是.求李小姐没有收到电子邮件的条件概率.解 设”李小姐没有收到电子邮件”,“张先生没有收到李小姐的答复”.则，。26. 设都是事件.又和独立,和独立,和互不相容., ,.求概率.解 。29. 设线路中有元件如图6.1,它们是否断开是独立的,断开的概率分别是0.6,0.5,0.4,0.3,0.2.求线路断开的概率.解 设, , , .则,. 解2 , , .35*. 同时投掷4个骰子,求掷出的4个面的点数之和是12的概率.解 求中的系数，即中的系数.故系数为16540125习题24. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为,若以表示直至掷到正、反面都出现为止所需投掷的次数,求的概率分布.解 对于,前次出现正面,第次出现反面的概率是,前次出现反面,第次出现正面的概率是,因而有概率分布,.5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布. 第1个能正确回答的概率是, 第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是, 前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是, 前4个都不能正确回答的概率是. 设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为,则有分布01235/815/565/561/566. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算.解 设一天中某人收到位朋友的电子邮件,则,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是. 1) 用二项分布公式计算. 2) 用泊松近似律计算.8. 设服从泊松分布,分布律为.问当取何值时最大？解 设,则,数列是一个递减的数列. 若,则最大. 若,则当且时,最大.由此得 1) 若,则最大. 2) 若,则. 由上面的1)和2)知,无论或,都有.12. 设随机变量的概率密度为.求的分布函数,并作出与的图形.解 .11. 设随机变量的概率密度为.求常数和的分布函数,并求概率.解 , . .15. 设随机变量的密度为.求常数.解 .由上式得.15. 离散型随机向量有如下的概率分布:012300.10.10.10.1100.10.10.12000.10.2求边缘分布.又问随机变量是否独立？解 有分布 0120.40.30.3有分布 01230.10.20.30.4因为,所以,不独立.18 设随机向量服从矩形上的均匀分布,求条件概率.解 , , .22. 随机向量有联合密度,其中.求系数和落在圆内的概率.解 因而.而 .27. 设,分别找出,使得.其中, ,.解1 . .代入的值查得,.解2 设,则. . .代入的值查得,.28. 某商品的每包重量.若要求,则需要把控制在什么范围内.解 设,则. .28. 设服从自由度为的分布,即有密度.求的密度.解1 当时,.当时, .因而.解2 设,则. 设, ,则有反函数, ,其中.因而有密度 .29. 由统计物理学知道分子运动的速率遵从麦克斯威尔(Maxwell)分布,即密度为.其中参数.求分子的动能的密度.解1 当时,.当时, .因而.解2 设,则. 设, ,则有反函数, ,其中.因而有密度 .30. 设服从上的均匀分布,.求的分布.解 有密度.有分布函数 .31. 质点随机地落在中心在原点,半径为的圆周上,并且对弧长是均匀地分布的.求落点的横坐标的概率密度.解 设落点极坐标是,则服从上的均匀分布,有密度.设落点横坐标是,则,的分布函数为.当时,.当时,.当时.因而落点的横坐标有概率密度.34. 设随机变量服从在上的均匀分布,求的分布.解 设,则. 设, ,则有反函数, ,其中.因而有密度 .36. 设和独立,密度分别为和,求的密度.解 .37. 设系统由两个相互独立的子系统联接而成,联接的方式分别为串联,并联和备用(当系统损坏时,系统开始工作),如图7.1所示.和的寿命为和,分别有密度和,其中且.请就这三种联接方式分别写出系统的寿命的密度.解 ,独立,分别服从参数为和的指数分布,因此分别有分布函数和. 1) 联接的方式为串联时, , . 2) 联接的方式为并联时, , . 3) 联接的方式为