等差数列前n项和.ppt

复习引入,1. 等差数列定义： 即anan1 d (n2).,2. 等差数列通项公式：,(1) ana1(n1)d (n1).,(2) anam(nm)d .,(3) anpnq (p、q是常数),复习引入,3. 等差中项,成等差数列.,mnpq amanapaq.,(m，n，p，qN),4. 等差数列的性质,2.3 等差数列的 前n项和（一）,数列的前n项和：,称为数列an的前n 项和，记作Sn， Sn=,数列的通项公式能反映数列的基本特性，在实际问题中常常需要求数列的前n项和.对于等差数列，为了方便运算，我们希望有一个求和公式，这是一个有待研究的课题.,等差数列的 求和公式,你知道这个雄伟壮观的建筑是哪儿吗？,世界七大奇迹之一印度泰姬陵,泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？,探究发现,这是个什么问题呢？,从上而下第一层是1颗宝石，第一层是2颗宝石，第三层是3颗宝石 第一百层是100颗宝石,即: 1+2+3+100=？,2.2 等差数列的前n项和,德国古代著名数学家高斯10岁的时候就已经解决了这个问题：123100=？你知道高斯是怎样算出来的吗？,高斯的算法,计算： 1 2 3 99 100,高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组： 第一个数与最后一个数一组； 第二个数与倒数第二个数一组； 第三个数与倒数第三个数一组， 每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了。高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.,首尾配对相加法,中间的一组数是什么呢？,（1+100）+（2+99）+ +（50+51） =10150=5050,?,?,高斯的思路有什么特点？适合哪种类型？,特点：首尾配对（变不同数求和为相同数求和，变加法为乘法） 类型：项数是偶数的数列求和,高斯的办法行吗？能否有更简洁的求法？,S21=1 + 2 + 3 + + 21,2S21=(1+21) + (2+20) +(3+19 )+ + (21+1),S21 =21 + 20 + 19 + + 1,21个22,探究问题1：第1层到21层一共有多少颗圆宝石？,这实质上就是数学中数列求和的一种重要方法-倒序相加法,总结一下这种方法特点？可以叫什么法呢？,问题2:等差数列1,2,3,n, 的前n项和怎么求？,sn=1 + 2 + + n-1 + n,2sn =(n+1) + (n+1) + + (n+1) + (n+1),sn=n + n-1 + + 2 + 1,n可能是奇数也可能是偶数，怎么避免讨论？,利用倒序相加法,上式相加得：,由等差数列性质可知：,问题3: 对于一般等差数列an，首项为a1公差为d,如何推导它的前n项和公式Sn呢？,求和公式,等差数列的前n项和的公式：,思考：（1）公式的文字语言；,（2）公式的特点；,不含d,可知三求一,等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半。,公式的记忆,我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前 n 项和公式.,a1,an,公式的记忆,我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前 n 项和公式.,a1,(n-1)d,a1,an,将图形分割成一个平行四边形和一个三角形.,想一想,结论：知 三 求 二,公式应用,根据下列各题中的条件，求相应的等差数列an的Sn ： （1）a1=5，an=95，n=10 （2）a1=100，d=2，n=50,练一练,500,2550,. 根据下列条件，求相应的等差数列的前n项和,在等差数列 an 中，如果已知五个元素 a1, an, n, d, Sn 中的任意三个, 请问: 能否求出其余两个量 ?,结论：知 三 求 二,解题思路一般是:建立方程(组)求解,等差数列的前n项和公式,应用举例,例1求前n个正奇数的和.,解 由等差数列前n项和公式,得,思考:你能看出右图 与本题的关系吗?,练习：求前n个正偶数的和,n,1,1,n+1,例2 在我国古代,9是数字之极,代表尊贵之意,所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如北京天坛圆丘的地面由扇环形石板铺成,最高一层的中心是一块天心石,围绕它的第一圈有9块石板,从第二圈开始,每一圈比前一圈多9块,共有9圈.请问: (1)第9圈有多少块石板? (2)前9圈一共有多少块石板?,北京天坛圆丘,解 (1)设从第1圈到第9圈石板数构成数列 ,由题意可知 是等差数列,其中,故,(块),(2)由等差数列前n项和公式,方式1,(块),答 第9圈有81块石板, 前9圈一共有405块石板,方式2,(块),例2、计算 （1） 5+6+7+79+80 （2） 1+3+5+（2n-1） （3）1-2+3-4+5-6+（2n-1）-2n,-n,例题讲解,n2,3230,提示：n=76,法二：,例3 在等差数列an中， 已知 ，求S7.,例题讲解,知识打包 存放备用,an=a1+(n-1)d,对于Sn、an 、a1、n、d 五个量，“知三求二”.,方程(组)思想 (待定系数法),倒序求和法,掌握与应用,课堂小结,1等差数列前n项和的公式； 2等差数列前n项和公式的推导方法倒序相加法； 3.在两个求和公式中,各有五个元素,只要知道其中三个元素,结合通项公式就可求出另两个元素.,上页,下页,（两个）,2.在等差数列an中,已知S15=90,那么a8等于（ ） A. 3