2019年高中数学第5章合情推理（一）——归纳合情推理（二）——类比讲义（含解析）湘教版.docx

51.1& 5.1.2合情推理(一)归纳 合情推理(二)类比读教材填要点1合情推理的含义及方法“合乎情理”的推理，最常见的有归纳和类比(1)归纳由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法叫作归纳(2)类比根据两个不同的对象在某方面的相似之处，推测出这两个对象在其它方面也有可能有相似之处的推理方法，叫作类比2合情推理的过程小问题大思维1归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？提示：归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠2你认为下列说法正确的有哪些？由合情推理得出的结论一定是正确的；合情推理必须有前提有结论；合情推理不能猜想；合情推理得出的结论不能判断正误提示：由合情推理的定义及推理过程可知，合情推理必须有前提有结论，但结论不一定正确，故只有正确数列中的归纳推理 已知数列an的每一项均为正数，a11，aa1(n1,2,3，)，试归纳出数列an的一个通项公式自主解答当n1时，a11；当n2时，a2；当n3时，a3.由此猜想an的一个通项公式为an(nN)若将“aa1”改换为“an1”，试猜想an的一个通项公式解：当n1时，a11，由an1(nN)，得a2，a3，a4.由此猜想an的一个通项公式为an(nN)归纳推理的一般步骤归纳推理的思维过程大致是：实验、观察概括、推广猜测一般性结论该过程包括两个步骤：(1)通过观察个别对象发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)1已知数列an的前n项和为Sn，a1，且Sn2an(n2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式解：当n1时，S1a1；当n2时，2S1，所以S2；当n3时，2S2，所以S3；当n4时，2S3，所以S4.猜想：Sn，nN.几何中的归纳推理 如图，在圆内画一条线段，将圆分成两部分；画两条线段，彼此最多分割成4条线段，同时将圆分割成4部分；画三条线段，彼此最多分割成9条线段，将圆最多分割成7部分；画四条线段，彼此最多分割成16条线段，将圆最多分割成11部分那么：(1)在圆内画5条线段，它们彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？(2)猜想：圆内两两相交的n(n2)条线段，彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？自主解答将圆内两两相交的n条线段，彼此最多分割成的线段为f(n)条，将圆最多分割为g(n)部分(1)f(1)112，g(1)2；f(2)422，g(2)4；f(3)932，g(3)7；f(4)1642，g(4)11；所以n5时，f(5)25，g(5)16.(2)根据题意猜测：圆内两两相交的n(n2)条线段，彼此最多分割为f(n)n2条线段，将圆最多分割为g(n)部分解决图形中归纳推理的方法解决与图形有关的归纳推理问题常从以下两个方面着手：(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系(2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化2有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()A26B31C32 D36解析：有菱形纹的正六边形个数如下表：图案123个数61116由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是65(61)31.故选B.答案：B类比推理 (1)若数列an(nN*)是等差数列，则有数列bn：bn(nN*)也是等差数列类比上述性质，相应地，若数列cn(nN*)是等比数列，且cn0，则有数列dn：dn_(nN*)也是等比数列(2)如图所示，在ABC中，射影定理可表示为abcos Cccos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想自主解答(1)由等差数列与等比数列在运算上的相似性猜想：dn.答案：(2)如图所示，在四面体PABC中，S1，S2，S3，S分别表示PAB，PBC，PCA，ABC的面积，依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA与底面ABC所成二面角的大小我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为SS1cos S2cos S3cos .1类比推理的一般步骤类比推理的思维过程大致是：观察、比较联想、类推猜测新的结论该过程包括两个步骤：(1)找出两类对象之间的相似性或一致性；(2)用一类对象的性质去猜测另一类对象的性质，得出一个明确的命题(猜想)2解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何，相关类比点如下：平面图形点直线边长面积三角形线线角空间图形直线平面面积体积四面体面面角3在平面几何中：ABC的C内角平分线CE分AB所成线段的比为.把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中(如图)，DEC平分二面角ACDB且与AB相交于E，则得到类比的结论是_解析：由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得.答案：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想巧思考虑到直角三角形的两条边互相垂直，所以可以选取有3个面两两垂直的四面体，作为直角三角形的类比对象妙解如图(1)，(2)所示，与RtABC相对应的是四面体PDEF；与RtABC的两条边构成的1个直角相对应的是四面体PDEF的3个面在一个顶点构成的3个直二面角；与RtABC的直角边边长a，b相对应的是四面体PDEF中的DEF，FPD和DPE的面积S1，S2和S3；与RtABC的斜边c相对应的是四面体PDEF中的PEF的面积S.我们知道，在RtABC中，由勾股定理，得c2a2b2.于是，类比直角三角形的勾股定理，在四面体PDEF中，我们猜想：S2SSS成立1已知数列an的前n项和Snn2an(n2)，而a11，通过计算a2，a3，a4，猜想an等于()A.B.C. D.解析：Snn2an(n2)，a11，S24a2a1a2a2；S39a3a1a2a3a3；S416a4a1a2a3a4a4.猜想an.答案：B2.观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为()A. BC. D解析：观察可发现规律：每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，每行、每列有两阴影一空白，即得结果答案：A3观察(x2)2x，(x4)4x3，(cos x)sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(x)()Af(x) Bf(x)Cg(x) Dg(x)解析：观察可知，偶函数f(x)的导函数g(x)是奇函数，所以g(x)g(x)答案：D4在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为14，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积比为_解析：由平面和空间的知识，可知很多比值在平面中成平方关系，在空间中成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积之比为18.答案：185观察下列等式：1211222312223261222324210照此规律，第n个等式可为_解析：观察规律可知，第n个式子为12223242(1)n1n2(1)n1.答案：12223242(1)n1n2(1)n16在RtABC中，若C90，则cos2Acos2B1，在立体几何中，给出四面体性质的猜想解：如图，在RtABC中，cos2Acos2B221.把结论类比到四面体PABC中，我们猜想，在三棱锥PABC中，若三个侧面PAB，PBC，PCA两两互相垂直，且与底面所成的二面角分别为，则cos2cos2cos21.一、选择题1已知数列1，aa2，a2a3a4，a3a4a5a6，则数列的第k项是()Aakak1a2kBak1aka2k1Cak1aka2kDak1aka2k2解析：利用归纳推理可知，第k项中第一个数为ak1，且第k项中有k项，且次数连续，故第k项为ak1aka2k2.答案：D2把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论仍然正确的是()A如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交B如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直C如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行D如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行解析：推广到空间以后，对于A，还有可能异面，对于C，还有可能异面，对于D，还有可能异面答案：B3对于命题“正三角形内任意一点到各边的距离之和为定值”推广到空间是“正四面体内任意一点到各面的距离之和为”()A定值B变数C有时为定值、有时为变数D与正四面体无关的常数解析：设正四面体SABC的棱长为a，正四面体内任意一点O到各面的距离分别为h1，h2，h3，h4，由体积关系得VSABCa2(h1h2h3h4)a2a，h1h2h3h4a(此为正四面体的高)答案：A4下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子的颜色应该是()A白色B黑色C白色可能性大 D黑色可能性大解析：由图知：三白二黑周而复始相继排列，因3657余1，所以第36颗应与第1颗珠子的颜色相同，即为白色答案：A二、填空题5已知a13，a26且an2an1an，则a33_.解析：a33，a43，a56，a63，a73，a86，故an是以6个项为周期循环出现，a33a33.答案：36设等差数列an的前n项和为Sn，则S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列类比以上结论有：设等比数列bn的前n项积为Tn，则T4，_，_，成等比 数列解析：等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列bn的前n项积为Tn，则T4，成等比数列答案：7可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得的线段的比都为k，那么甲的面积是乙的面积的k倍你可以从给出的简单图形、中体会这个原理现在图中的两个曲线的方程分别是1(ab0)与x2y2a2，运用上面的原理，图中椭圆的面积为_解析：由于椭圆与圆截y轴所得线段之比为，即k，椭圆面积Sa2ab.答案：ab8已知f(x) ，x0，若 f1(x)f(x)，fn1(x)f(fn(x)，nN，则f2 018(x)的表达式为_解析：由f1(x)f2(x)f；又可得f3(x)f(f2(x)，故可猜想f2 018(x).答案：f2 018(x)三、解答题9已知椭圆具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值试对双曲线1写出具有类似特征的性质，并加以证明解：类似的性质为：若M，N是双曲线1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值证明：设点M，P的坐标分别为(m，n)，(x，y)，则N(m，n)