2020版高考数学复习第九章平面解析几何第6讲双曲线分层演练.docx

第6讲 双曲线1“k9”是“方程1表示双曲线”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选A.因为方程1表示双曲线，所以(25k)(k9)0，所以k25，所以“k0，b0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b()A2B.4C6 D8解析：选B.由题意得，2b2a，C2的焦距2c4c2b4，故选B.3(2018高考全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则点(4，0)到C的渐近线的距离为()A. B2C. D2解析：选D.法一：由离心率e，得ca，又b2c2a2，得ba，所以双曲线C的渐近线方程为yx.由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C的渐近线的距离为2.故选D.法二：离心率e的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是yx，由点到直线的距离公式得点(4，0)到C的渐近线的距离为2.故选D.4(2017高考天津卷)已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.y21 Dx21解析：选D.由OAF是边长为2的等边三角形可知，c2，tan 60，又c2a2b2，联立可得a1，b，所以双曲线的方程为x21.5设F1，F2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使F1AF290且|AF1|3|AF2|，则双曲线的离心率为()A. B.C. D解析：选B.因为F1AF290，故|AF1|2|AF2|2|F1F2|24c2，又|AF1|3|AF2|，且|AF1|AF2|2a，故10a24c2，故，故e.6已知双曲线的离心率为2，焦点是(4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为_解析：已知双曲线的离心率为2，焦点是(4，0)，(4，0)，则c4，a2，b212，双曲线方程为1.答案：17若双曲线1(a0，b0)的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为_解析：由双曲线的渐近线过点(3，4)知，所以.又b2c2a2，所以，即e21，所以e2，所以e.答案：8双曲线1(a0，b0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点若正方形OABC的边长为2，则a_.解析：双曲线1的渐近线方程为yx，由已知可得两条渐近线方程互相垂直，由双曲线的对称性可得1.又正方形OABC的边长为2，所以c2，所以a2b2c2(2)2，解得a2.答案：29已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且点(4，)，点M(3，m)都在双曲线上(1)求双曲线的方程；(2)求证：0；(3)求F1MF2的面积解：(1)因为e，则双曲线的实轴、虚轴相等所以可设双曲线方程为x2y2.因为双曲线过点(4，)，所以1610，即6.所以双曲线方程为x2y26.(2)证明：设F1(2，0)，F2(2，0)，则(23，m)，(23，m)所以(32)(32)m23m2，因为M点在双曲线上，所以9m26，即m230，所以0.(3)F1MF2的底边长|F1F2|4.由(2)知m.所以F1MF2的高h|m|，所以SF1MF246.10已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求AB的长解：(1)因为双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点，所以解得c3，b，所以双曲线的方程为1.(2)双曲线1的右焦点为F2(3，0)，所以经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30的直线的方程为y(x3)联立得5x26x270.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.所以|AB| .1已知直线l与双曲线C：x2y22的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则AOB的面积为()A. B.1C2 D4解析：选C.由题意得，双曲线的两条渐近线方程为yx，设A(x1，x1)B(x2，x2)，所以AB中点坐标为，所以2，即x1x22，所以SAOB|OA|OB|x1|x2|x1x22，故选C.2已知点F1，F2分别是双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若|AB|BF2|AF2|345，则双曲线的离心率为()A2 B.4C. D解析：选C.由题意，设|AB|3k，|BF2|4k，|AF2|5k，则BF1BF2，|AF1|AF2|2a5k2a，因为|BF1|BF2|5k2a3k4k4k2a2a，所以ak，所以|BF1|6a，|BF2|4a，又|BF1|2|BF2|2|F1F2|2，即13a2c2，所以e.3(2018高考全国卷)已知双曲线C：y21，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若OMN为直角三角形，则|MN|()A. B3C2 D4解析：选B.因为双曲线y21的渐近线方程为yx，所以MON60.不妨设过点F的直线与直线yx交于点M，由OMN为直角三角形，不妨设OMN90，则MFO60，又直线MN过点F(2，0)，所以直线MN的方程为y(x2)，由得所以M，所以|OM|，所以|MN|OM|3，故选B.4(2019东北四市模拟)F为双曲线1(ab0)的左焦点，过点F且斜率为1的直线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为_解析：设双曲线的两条渐近线分别为l1，l2，l1：yx，l2：yx，由于kFA1，则FA的方程为yxc，由，可得A(，)，由，可得B(，)，因为，所以点A为FB的中点，故，则b3a，即b29a2，所以c2a29a2，即 e210，所以e.答案：5中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|2，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为37.(1)求椭圆和双曲线的方程；(2)若P为这两曲线的一个交点，求cosF1PF2的值解：(1)由题知c，设椭圆方程为1，双曲线方程为1，则解得a7，m3.所以b6，n2.所以椭圆方程为1，双曲线方程为1.(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|PF2|14，|PF1|PF2|6，所以|PF1|10，|PF2|4.又|F1F2|2，所以cosF1PF2.6一条斜率为1的直线l与离心率为的双曲线1(a0，b0)交于P，Q两点，直线l与y轴交于R点，且3，3，求直线和双曲线的方程解：因为e，所以b22a2，所以双曲线方程可化为2x2y22a2.设直线l的方程为yxm.由得x22mxm22a20，所以4m24(m22a2)0，所以直线l一定与双曲线相交设P(x1，y1)