2019年高考数学总复习专题函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与性质导学案理.docx

第四节 函数yAsin(x)的图象与性质最新考纲1.了解函数yAsin(x)的物理意义；能画出yAsin(x)的图象，了解参数A，对函数图象变化的影响.2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题知识梳理1.yAsin(x)的有关概念yAsin(x)(A0，0，0)，表示一个振动量时 振幅 周期频率 相位初相 ATfx2.作函数y=Asin(x+)(其中A0,0)的图象主要有以下两种方法:(1)用“五点法”作图:用“五点法”作y=Asin(x+)(其中A0,0)的简图,主要是通过变量代换,设z=x+,由z取0,2来求出相应的x,通过列表,计算得出五点的纵坐标,描点、连线后得出图象, 如下表所示xx02yAsin(x)0A0A0(2)用“图象变换法”作图:由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(x+)(其中A0,0)的图象,有两种主要途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.先平移后伸缩:y=sin x的图- y=sin(x+)的图象 (相位变换)- y=sin(x+)的图象 (周期变换)- y=Asin(x+)的图象. ( 振幅变换)先伸缩后平移:y=sin x的图象- y=sinx的图象- y=sin(x+)的图象- y=Asin(x+)的图象.【方法技巧】两种变换的差异先平移变换后伸缩变换，平移的量是|个单位，而先伸缩变换再平移变换，平移的量是(0)个单位，原因是平移变换与伸缩变换都是对x而言的3必清误区(1)把函数yAsin x的图象向右平移(0)个单位，得到的图象解析式为yAsin (x)，而不是yAsin(x)(2)把函数yAsin(x)的图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的k倍，得到的图象解析式为yAsin，而不是yAsin(kxk)典型例题考点一 三角函数的图象变换【例1】已知函数f(x)3sin，xR. （1）画出函数f(x)在一个周期的闭区间上的简图；（2）将函数ysin x的图像作怎样的变换可得到f(x)的图像？【解析】（1）列表取值：xx02f(x)03030描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图（2）先把ysin x的图像向右平移个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f(x)的图像【例2】已知a(2cosx，cos2x)，b(sinx，)，f(x)ab.(1) 求f(x)的振幅、周期，并画出它在一个周期内的图象；(2) 说明它可以由函数ysinx的图象经过怎样的变换得到【解析】(1) f(x)absin2xcos2x2sin，周期T，振幅A2.列表从略，图象如下：(2) f(x)可以由ysinx的图象上各点右移个单位后，再将纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标缩短到原来的而得到规律方法(1)变换法作图像的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用x确定平移单位(2)用“五点法”作图，关键是通过变量代换，设zx，由z取0，2来求出相应的x，通过列表，描点得出图像如果在限定的区间内作图像，还应注意端点的确定（3）“五点法”作图的列表技巧：表中“五点”相邻两点的横向距离均为.【变式训练1】(1)将函数y2sin的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为()Ay2sinBy2sinCy2sinDy2sin【答案】D.【解析】函数y2sin的周期为，将函数y2sin的图像向右平移周期即个单位长度，所得图像对应的函数为y2sin2sin，故选D(2)将函数ycos的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴是()Ax Bx Cx Dx【答案】D【解析】ycosycosycos，即ycos.(3)要得到函数f(x)cos的图像，只需将函数g(x)sin的图像()A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度【答案】C.【解析】f(x)cossin，故把g(x)sin的图像向左平移个单位，即得函数f(x)sin的图像，即得到函数f(x)cos的图像，故选C考点二 求函数yAsin(x)的解析式【例3 】 (1)(2016全国卷)函数yAsin(x)的部分图像如图所示，则()Ay2sinBy2sinCy2sinDy2sin【答案】A.(2)已知函数yAsin(x)b(A0，0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x是其图像的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为()Ay4sin By2sin2Cy2sin2Dy2sin2【答案】D.【解析】由函数yAsin(x)b的最大值为4，最小值为0，可知b2，A2.由函数的最小正周期为，可知，得4.由直线x是其图像的一条对称轴，可知4k，kZ，从而k，kZ，故满足题意的是y2sin2.规律方法确定yAsin(x)b(A0，0)的步骤和方法(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A，b；(2)求：确定函数的周期T，则可得；(3)求：常用的方法有：代入法：把图像上的一个已知点代入(此时A，b已知)或代入图像与直线yb的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口“第一点”(即图像上升时与x轴的交点)时x0；“第二点”(即图像的“峰点”)时x；“第三点”(即图像下降时与x轴的交点)时x；“第四点”(即图像的“谷点”)时x；“第五点”时x2.【变式训练2】（1）函数f(x)cos(x)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为()A.，kZ B.，kZC.，kZ D.，kZ【答案】D【解析】由图象可知2m，2m，mZ，所以，2m，mZ，所以函数f(x)coscos的单调递减区间为2kx2k，kZ，即2kx0，0)的图象过点P，图象上与点P最近的一个最高点是Q.(1)求函数的解析式； (2)求函数f(x)的递增区间【答案】（1）y5sin.（2）(kZ)【解析】 (1)依题意得A5，周期T4，2.故y5sin(2x)，又图象过点P，5sin0，由已知可得0，y5sin.(2)由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，故函数f(x)的递增区间为(kZ)13.已知f(x)cos(x)的最小正周期为，且f.(1) 求和的值；(2) 在给定坐标系中作出函数f(x)在0，上的图象；(3) 若f(x)，求x的取值范围【答案】（1）2，.（2）略.（3）.【解析】(1) 周期T，2，fcoscossin，2k2x2k，2k2x2k，kxk，kZ，x的取值范围是.14.已知函数f(x)Asin(x)，xR(其中A0，0，0)的周期为，且图象上一个最低点为M.(1) 求f(x)的解析式；(2) 当x时，求f(x)的最值【答案】（1）f(x)2sin.（2）x0时，f(x)取得最小值1；x时，f(x)取得最大值.(2) x， 2x. 当2x，即x0时，f(x)取得最小值1；当2x，即x时，f(x)取得最大值.15.已知函数f(x)4tan xsincos.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间上的单调性【答案】（1）.（2）f(x)在区间上是递增的，在上是递减的.【解析】(1)f(x)的定义域为.f(x)4tan xcos xcos4sin