平面几何中线段相等的证明几种方法.doc

平面几何中线段相等的证明几种方法平面几何中线段相等的证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，特别是在有限的两个小时考试中。恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。笔者在教学中总结了几种方法，供中学生读者参考。一、利用全等三角形的性质证明线段相等这种方法很普遍，如果所证两条线段分别在不同的三角形中，它们所在三角形看似全等，或者，通过简单处理，它们所在三角形看似全等，可考虑这种方法。例1如图，C是线段AB上一点，ACD和BCE是等边三角形。求证：AE=BD。证明 ACB和BCE都是等边三角形ACD=60，BCE=60，DCE=60ACE=ACDDCE=120BCD=BCEDCE=120AC=CD，CE=CBACEDCB（SAS）AE=DB例2如图，已知ABC中，AB=AC，点E在AB上，点F在AC的延长线上，且BE=CF，EF与BC交于D，求证：ED=DF。证明：过点E作EG/AF交BC于点GEGB=ACB，EGD=FCDAB=ACB=ACB，B=FGB，BE=GEBE=CF，GE=CF在EGD和FCD中，EGD=FCD，EDG=FDC，GE=CFEGDFCD（AAS） ED=FD二、利用等腰三角形的判定（等角对等边）证明线段相等如果两条所证线段在同一三角形中，证全等一时难以证明，可以考虑用此法。例1如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE=AC，延长BE交AC于F。求证：AF=EF。证明：延长AD到G，使DG=AD，连结BG。AD=GD，ADC=GDB，CD=BDADCGDBAC=GB，FAE=BGEBE=ACBE=BG，BGE=BEGFAE=BGE=BEG=AEFAE=EF例2如图，已知ABC中，AB=AC，DFBC于F，DF与AC交于E，与BA的延长线交于D，求证：AD=AE。证明：DFBCDFB=EFC=90，D=90B，CEF=90CAB=AC，B=CD=CEFCEF=AEDD=AEDAD=AE三、利用平行四边形的性质证明线段相等如果所证两线段在一直线上或看似平行，用上面的方法不易，可以考虑此法。例1如图，ABC中，C=90，A=30，分别以AB、AC为边在ABC的外侧作正ABE和正ACD，DE与AB交于F，求证：EF=FD。证明：过D作DOAC交AB于点OOD垂直平分AC，ACB=90BCACO点必为AB的中点，连结EO，则EOABCAB=30，BAE=CAD=60ADAB，AEACOE/AD，AE/OD四边形ODAE为平行四边形EF=FD例2如图，AD是ABC的中线，过DC上任意一点F作EG/AB，与AC和AD的延长线分别交于G和E，FH/AC，交AB于点H。求证：HG=BE。证明：延长AD到A”，使DA”=AD又BD=CD四边形BACA”是平行四边形BA=A”C由题设可知HFGA也是平行四边形HF=AGHF/AC，又，HF=AG，BA=A”CBH=EG四边形BEGH是平行四边形HG=BE四、利用中位线证明线段相等如果已知中含有中点或等边等，用上面方法较难，可以考虑此法。例1如图，以ABC的边AB、AC为斜边向外作直角三角形ABD和ACE，且使ABD=ACE，M是BC的中点。证明：DM=EM。证明：延长BD至F，使DF=BD。延长CE到G，使EG=CE，连结AF、FC，连结AG、BGBD=FD，ADB=ADF=90，AD=ADRtABDRtAFDBAD=FAD同理可得：CAE=GAEABD=ACEFAB=GAC，故FAC=GAB在ABG和AFC中，AB=AF，GAB=CAF，AG=ACABGAFCBG=FC又DF=DB，EC=EG，M是BC的中点DM=EM，即DM=EM例2如图，ABC中，C为直角，A=30，分别以AB、AC为边在ABC的外侧作正ABE与正ACD，DE与AB交于F。求证：EF=FD。证明：过D作DG/AB交EA的延长线于G，可得DAG=30BAD=3060=90ADG=90DAG=30=CAB，AD=ACRtAGDRtABCAG=AB，AG=AEDG/ABEF/FD五、利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证明线段相等。如果所证两线段所在的图形能构成直角三角形，并且可能构成斜边及斜边上的中线，用上面方法一时证不出来，可以考虑此法。例如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，EC和DF相交于G，连接AG，求证：AG=AD。证明：作DA、CE的延长线交于HABCD是正方形，E是AB的中点AE=BE，AEH=BECBEC=EAH