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关于抛物线焦点弦的一个性质及其证明江苏省盱眙县马坝高级中学（211751）赵建宏性质：设线段是过抛物线 的焦点 的弦，记 则。本文给出下列九种证法：证法一：如图一,过分别作准线 的垂线，再作，垂足分别为。由抛物线定义得：于是，易知：APFFQBx图二A1BMNOFyDKC（）2EB图一APQMNOFxyK证法二：接图一,分别取延长，.1（180oNBA），2（180oMAB），又AMBNNBAMAB180o ，1290oMFN90o ,即MFFN在 RtMFN 中，点C 为斜边MN的中点。于是又 MFFN ，ACNF，.又FKAMBN， ，证法三：如图 二, 设直线 AB 倾斜角为而（见证法二） 又证法四：由题意，设直线 AB 的参数方程为：，代入抛物线方程设 t1、t2 分别为 A、B 两点所对应的参数,由参数 t 的几何意义知 ， 证法五：（i）当直线 AB 斜率不存在时，ABx 轴，此时即：（ii）当直线斜率存在时，设为 ，又过点直线 的点斜式方程为：与抛物线方程 设，.综合（i）（ii），原命题得证。证法六：设抛物线的参数方程为并设由A、F、B 三点共线得 化简得：又. 证法七：设所给抛物线的极坐标方程为点所对应的极角为，则点所对应的极角为.证法八：如图四，设，（见证法二） .由证法二知：由焦半径公式得：整理得：.证法九：如图五，设MAF，由证法二知：MFN90o ，.图五BAMNOFxyK（整理得：参考资料：
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