教材梳理(二用数学归纳法证明不等式.doc

庖丁巧解牛知识巧学 一、数学归纳法证明不等式的基本步骤（1）证明当n取第一个值n0（如n0=1或n0=2等等）时，命题正确；（2）证明如下事实：假设当n=k（kN且kn0）时，命题正确，由此推出当n=k+1时命题也正确. 完成了以上两步后，就可断定命题对于从n0开始的所有自然数都正确. 用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个步骤是缺一不可的.但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从n=k到n=k+1的转化，这个转化要求在变化过程中结构不变，先比较n=k与n=k+1这两个不等式间的差异，以决定n=k时不等式做何种变形.一般地,只能变出n=k+1等式的一边，然后再利用比较、分析、综合、放缩及不等式的传递性来完成由n=k成立推出n=k+1不等式成立的证明.辨析比较 数学归纳法与其他证明不等式的方法 数学归纳法证明不等式有它的局限性，它只能用来证明与自然数有关的不等式.而其他证明不等式的方法运用比较广泛.但具体运用时，各自都有自己的具体要求，比如数学归纳法就有严格的两个步骤，反证法就有严格的格式（必须先假设结论的否命题，再推出矛盾，最后否定假设，肯定原命题），分析法也有自己的格式（综合法的逆过程），综合法是广泛运用已知的定理、性质、推论等来证明.但是与自然数有关的不等式其他方法不如数学归纳法来得简洁，在数学归纳法的第二步中，也经常使用反证法、分析法、综合法、放缩法等作为辅助手段.二、数学归纳法证明不等式的重点和难点 1.重点：巩固对数学归纳法意义和有效性的理解，并能正确表达解题过程，以及掌握利用数学归纳法证明不等式的基本思路. 2.难点：在证明中，对于n=k+1时的证明是整个数学归纳法证明过程中的难点.要注意分离出该命题中，可以使用归纳假设的部分（没有使用归纳假设的证明不是数学归纳法的证明），即假设f(k)g(k)成立，证明f(k+1)g(k+1)成立.对这个条件不等式的证明，除了灵活运用作差比较法、作商比较法、综合法、分析法等常用的不等式证明方法外；放缩法作为证明不等式的特有技巧，在用数学归纳法证明不等式时，更被经常使用.误区警示 数学归纳法证明不等式，不能简单套用两个基本步骤，一定要用到归纳假设，对于n=k+1时的证明注意以下几点：（1）在从n=k到n=k+1的过程中，应分析清楚不等式两端（一般是左端）项数的变化，也就是要认清不等式的结构特征；（2）瞄准当n=k+1时的递推目标，有目的地进行放缩、分析；（3）活用起点的位置；（4）有的试题需要先作等价变换.三、数学归纳法证明不等式的运用范围 数学归纳法是用来证明与自然数有关命题的一种有效方法，在我们高中数学中，经常会以数列和函数为知识载体，构造一些与自然数有关的命题，数学归纳法是证明它们的有效手段，但不是唯一手段.联想发散 在上一节中，我们还学习了归纳猜想证明的方法，在数学归纳法证明不等式的运用中，可不可以也先根据题目的条件归纳出一般规律，大胆猜想出一个不等式的命题，然后运用数学归纳法来证明呢？典题热题知识点一： 命题的结构特征例1 求证：,n2,nN.思路分析：本题在由n=k到n=k+1时的推证过程中，不是第k项，应是第2k项，数列各项分母是连续的自然数，最后一项是以3k收尾.根据此分母的特点，在3k后面还有3k+1、3k+2,最后才为3k+3，即3（k+1）.不等式左端增加了,共三项，而不是只增加一项.证明：（）当n=2时，右边=+，不等式成立.（）假设当n=k(k2,kN)时命题成立，即.则当n=k+1时，=.所以当n=k+1时，不等式也成立.由（）（）可知，原不等式对一切n2,nN*均成立.误区警示 错误的思维定式认为从n=k到n=k+1时，只增加一项，求和式中最后一项即为第几项的通项，所以一定要认清不等式的结构特征.例2 已知，Sn=1+,nN，用数学归纳法证明：1+,n2,nN.思路分析：本题在由n=k到n=k+1时的推证过程中，不等式左端增加了2k项，而不是只增加了这一项，否则证题思路必然受阻.证明：（）当n=2时，=1+=1+1+，命题成立.（）假设当n=k(k2,kN)时命题成立，即=1+.则当n=k+1时，=1+1+所以当n=k+1时，不等式也成立.由（）（）可知，原不等式对一切n2,nN均成立.方法归纳 本题在由n=k到n=k+1时的推证过程中，一定要注意分析清楚命题的结构特征，即由n=k到n=k+1时不等式左端项数的增减情况.知识点二： 比较法例3 求证：1+.思路分析：本题在由n=k到n=k+1时的推证过程中，关键的是证明，为证此，我们采用了不等式证明方法中的比较法.证明：（）当n=1时，左式=1，右式=，左式=右式;当n=2时，左式=1+=,右式=;,左式右式.当n=1或n=2时，不等式成立.()假设当n=k(k1)时，不等式成立，即1+.则当n=k+1时，左式=1+.0,=右式.由不等式的传递性，可得左式右式，当n=k+1时，不等式也成立.由（）（）可得，对一切nN,不等式都成立.误区警示 在用数学归纳法证明不等式的过程中，我们经常因思维定式认为只能做代数变形，比较法是一种综合证明法，不能在数学归纳法中使用，这是一种错误的认识.证明不等式的基本方法在数学归纳法的第二步中都可以使用，究竟选择哪种方法要因具体题目而定.知识点三： 放缩法例4 证明：，n2,nN.思路分析：本题在由n=k到n=k+1时的推证过程中，在证明时，使用了均值定理进行放缩.证明：()当n=2时，左边=，右边=.左边Tn.思路分析：要证SnTn，只需证32n+1+2n-63n2+11n，即证2n+1n2+3n+2.这就证明了原不等式的等价不等式，从而将命题简化.证明：an=3n+2，=32n+2，Sn=a2+a4+a8+a=3(2+4+8+2n)+2n=32n+1+2n-6.而Tn=n(9+an)=3n2+11n.要证SnTn，只需证32n+1+2n-63n2+11n，即证2n+1n2+3n+2.用数学归纳法来证明：()当n=4时，S4=98,T4=92,S4T4成立.()假设当n=k(k4)时，结论成立，就是2k+1k2+3k+2，那么2k+2-(k+1)2+3(k+1)+22(k2+3k+2)-(k2+5k+6)=k2+k-2=(k+2)(k-1).k4,(k+2)(k-1)0.2k+2(k+1)2+3(k+1)+2.这就是说，当n=k+1时，SnTn也成立.由()()知，对n4,SnTn都成立.方法归纳 本题用数学归纳法证明2n+1n2+3n+2，第二步采用的是作差比较法：作差利用归纳假设变形（因式分解）定号.这比通常的“作差变形定号”多了利用归纳假设这一步，这是因为归纳假设是用数学归纳法证明命题时所必需的.巧解提示 也可不用数学归纳法来证明2n+1n2+3n+2(n4)，而是利用二项展开式和放缩法直接证得.当n4时，2n+1=22n=2(1+1)n=2()2()=n2+3n+4n2+3n+2.知识点五： 单调性例6 已知数列an中，所有项都是正数，且an+1an-a2n，求证：an0,a20，可得a11，命题成立.（）假设当n=k(k1)时命题成立，即ak.则当n=k+1时，ak+1ak-a2k=ak(1-ak)，ak1-=. 由于以上二式不是同向不等式，所以无法完成由k到(k+1)的证明.所以我们可以利用函数f(x)=-x2+x的单调性进行证明：函数f(x)=-x2+x的最大值为f()=，且在(-,上为增函数.证明：（）当n=1时，由a2a1-a12=a1(1-a1)，且a10,a20，可得a11，命题成立.而a2a1-a12=f(a1)，故n=2时命题也成立.（）假设n=k(k2)时，命题成立，即ak，因为函数f(x)=-x2+x在(-,上为增函数，所以由ak及ak+1ak-a2k得ak+1f(ak)f()=+=,即ak+1，所以当n=k+1时，命题也成立.根据（）（）可知，对任何nN*，an.知识点六： 活用起点的位置例7 已知函数f(x)=ax-x2的最大值不大于，又当x,时，f(x).（1）求a的值；（2）设0a1,an+1=f(an),nN*,证明:an.思路分析：在用数学归纳法证明不等式的过程中，充分利用了数列递推关系式an+1=f(an)=a2n+an的函数单调性，需注意命题的递推关系式中起点位置的推移.(1)解：由于f(x)=axx2的最大值不大于,所以f()=,即a21.又x,时f(x),所以解得a1.a=1.(2)证明：（）当n=1时，0a1，不等式0an0,x(0,),所以0a2=f(a1),故n=2时不等式也成立.（）假设n=k(k2)时，不等式0ak成立，因为f(x)=x-x2的对称轴为x=,知f(x)在0,为增函数，所以由0ak得0f(ak)f(),于是有0ak+1-.所以当n=k+1时，不等式也成立.根据（）（）可知，对任何nN*，不等式an成立.方法归纳 将起点的位置推移至2的目的，就是要将ak和置于函数f(x)的单调区间0,内，从而由0ak得0f(ak)f().问题探究交流讨论探究 问题1 我们已经学习过贝努利不等式（1+x）n1+nx的证明，如果我们加强条件，如：已知x-1，且x0，nN，n2.如何来证明不等式（1+x）n1+nx.证明的方法有哪些呢？探究过程:老师：首先验证n=2时的情况.（1）当n=2时，左边=（1+x）2=1+2x+x2，右边=1+2x，因x20，则原不等式成立.（2）假设n=k时（k2），不等式成立，即（1+x）k1+kx.现在要证的目标是（1+x）k+11+（k+1）x，请同学们考虑. 同学甲：因为应用数学归纳法，在证明n=k+1命题成立时，一定要运用归纳假设，所以当n=k+1时.应构造出归纳假设适应的条件.所以有（1+x）k+1=（1+x）k（1+x）.因为x-1（已知），所以1+x0,于是（1+x）k（1+x）（1+kx）（1+x）. 同学乙：现将命题转化成如何证明不等式（1+kx）（1+x）1+（k+1）x.显然，上式中“=”不成立.故只需证：（1+kx）（1+x）1+（k+1）x. 老师：证明不等式的基本方法有哪些？ 同学丙：证明不等式的基本方法有比较法、综合法、分析法. 老师：在第二步证明中，合理运用归纳假设的同时，其本质是不等式证明，因此证明不等式的所有方法、技巧手段都适用. 同学丁：证明不等式（1+kx）（1+x）1+（k+1）x，可采用作差比较法.（1+kx）（1+x）-1+（k+1）x=1+x+kx+kx2-1-kx-x=kx20（因x0，则x20）.所以，（1+kx）（1+x）1+（k+1）x. 同学甲：也可采用综合法的放缩技巧.（1+kx）（1+x）=1+kx+x+kx2=1+（k+1）x+kx2.因为kx20，所以1+（k+1）x+kx21+（k+1）x，即（1+kx）（1+x）1+（1+k）x成立. 老师：这些方法，哪种更简便，更适合数学归纳法的书写格式？学生丙用放缩技巧证明显然更简便，利于书写.探究结论:在证明中，对于n=k+1时的证明是整个数学归纳法证明过程中的重点和难点.要注意分离出该命题中可以使用归纳假设的部分（没有使用归纳假设的证明不是数学归纳法的证明），并借助于其他数学方法（如分析法、比较法、综合法、反证法等）.问题2 我们在证明不等式的时候，常用放缩法的技巧来达成目的，可在具体的题目中究竟如何放缩还要视具体的题目而定，我们不妨来看看这样一个命题的证明，求证：2上标n+2n2，nN.探究过程:老师：（1）当n=1时，左边=21+2=4；右边=1，左边右边.所以原不等式成立.（2）假设n=k时（k1且kN）时，不等式成立，即2k+2k2.现在，请同学们考虑n=k+1时，如何论证2k+1+2（k+1）2成立. 同学甲：利用归纳假设2k+1+2=22k+2=2（2k+2）-22k2-2. 老师：将不等式2k2-2（k+1）2，右边展开后得k2+2k+1.由于转化目的十分明确，所以只需将不等式的左边向k2+2k+1方向进行转化，即2k2-2=k2+2k+1+k2-2k-3.由此不难看出，只需证明k2-2k-30，不等式2k2-2k2+2k+1即成立. 同学乙：因为k2-2k-3=（k-3）（k+1），而kN，故k+10，但k-30成立的条件是k3，所以当kN时，k-30未必成立. 老师：不成立的条件是什么？ 同学乙：当k=1，2时，不等式k-30不成立. 老师：由于使不等式不成立的k值是有限的，只需利用归纳法，将其逐一验证原命题成立，因此在证明第一步中，应补充验证n=2时原命题成立.那么，n=3时是否也需要论证？ 同学丙：n=3需要验证，这是因为数学归纳