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计算方法数值实验报告（一）班级：0902 学生：苗卓芳 倪慧强 岳婧实验名称： 解线性方程组的列主元素高斯消去法和LU分解法实验目的： 通过数值实验，从中体会解线性方程组选主元的必要性和LU分解法的优点，以及方程组系数矩阵和右端向量的微小变化对解向量的影响。实验内容：解下列两个线性方程组（1） （2） 解：（1） 用熟悉的算法语言编写程序用列主元高斯消去法和LU分解求解上述两个方程组，输出Ax=b中矩阵A及向量b, A=LU分解的L及U，detA及解向量。先求解第一个线性方程组 在命令窗口中运行A=3.01,6.03,1.99;1.27,4.16,-1.23;0.987,-4.81,9.34可得A = 3.0100 6.0300 1.9900 1.2700 4.1600 -1.2300 0.9870 -4.8100 9.3400b=1,1,1 可得b = 1 1 1H =det(A)可得 H = -0.0305列主元高斯消去法：在命令窗口中运行function x=Gauss_pivot(A,b)、A=3.01,6.03,1.99;1.27,4.16,-1.23;0.987,-4.81,9.34;b=1,1,1;n=length(b);x=zeros(n,1);c=zeros(1,n);dl=0;for i=1:n-1max=abs(A(i,i);m=i;for j=i+1:n if maxabs(A(j,i) max=abs(A(j,i); m=j; endendif(m=i)for k=i:n c(k)=A(i,k); A(i,k)=A(m,k); A(m,k)=c(k);enddl=b(i);b(i)=b(m);b(m)=dl; end for k=i+1:n for j=i+1:n A(k,j)=A(k,j)-A(i,j)*A(k,i)/A(i,i); end b(k)=b(k)-b(i)*A(k,i)/A(i,i); A(k,i)=0; endendx(n)=b(n)/A(n,n);for i=n-1:-1:1 sum=0; for j=i+1:n sum =sum+A(i,j)*x(j); end x(i)=(b(i)-sum)/A(i,i);end经程序可得实验结果 ans =1.0e+003 * 1.5926 -0.6319 -0.4936LU分解法：在命令窗口中运行 function x=lu_decompose(A,b) A=3.01,6.03,1.99;1.27,4.16,-1.23;0.987,-4.81,9.34;b=1,1,1;L=eye(n);U=zeros(n,n);x=zeros(n,1);c=zeros(1,n);for i=1:nU(1,i)=A(1,i);if i=1;L(i,1)=1;elseL(i,1)=A(i,1)/U(1,1);endendfor i=2:n for j=i:nsum=0;for k=1:i-1 sum =sum+L(i,k)*U(k,j);endU(i,j)=A(i,j)-sum;Ifj=n sum=0; for k=1:i-1 sum=sum+L(j+1,k)*U(k,i); end L(j+1,i)=(A(j+1,i)-sum)/U(I,i);endendendy(1)=b(1);for k=2:n sum=0; forj=1:k-1 sum=sum+L(k,j)*y (j); end y(k)=b(k)-sum;endx(n)=y(n)/U(n,n);260页最后一行c(k)=A(i,k); A(i,k)=A(m,k); A(m,k)=c(k);enddl=b(i);b(i)=b(m);b(m)=dl; end for k=i+1:n for j=i+1:n A(k,j)=A(k,j)-A(i,j)*A(k,i)/A(i,i); end b(k)=b(k)-b(i)*A(k,i)/A(i,i); A(k,i)=0; endendx(n)=b(n)/A(n,n);for i=n-1:-1:1 sum=0; for j=i+1:n sum =sum+A(i,j)*x(j); end x(i)=(b(i)-sum)/A(i,i);end经程序可得结果ans = 1.0e+003 * 1.5926 -0.6319 -0.4936再求解第二个线性方程组即A=10,-7,0,1;-3,2.099999,6,2;5,-1,5,-1;2,1,0,2;b=8,5.900001,5,1;重复上述步骤可的结果为 ans = 0.0000 -1.0000 1.0000 1.0000（2）将方程组（1）中系数3.01改为3.00，0.987改为0.990，用列主元高斯消去法求解变换后的方程组，输出列主元行交换次序，解向量x及detA，并与（1）中结果比较。先将方程组（1）中系数3.01改为3.00，0.987改为0.990，即A=3.00,6.03,1.99;1.27,4.16,-1.23;0.990,-4.81,9.34;b=1,1,1;在命令窗口中运行A=3.00,6.03,1.99;1.27,4.16,-1.23;0.990,-4.81,9.34可得A = 3.0000 6.0300 1.9900 1.2700 4.1600 -1.23000.9900 -4.8100 9.3400H=det(A)可得H = -0.4070用列主元高斯消去法求解变换后的方程组，可得ans = 119.5273 -47.1426 -36.8403（3） 将方程组（2）中的2.099999改为2.1，5.900001改为5.9，用列主元高斯消去法求解变换后的方程组，输出解向量x及detA，并与（1）中的结果比较。 先将方程组（2）中的2.099999改为2.1，5.900001改为5.9，即A=10,-7,0,1;-3,2.1,6,2;5,-1,5,-1;2,1,0,2;b=8,5.9,5,1;用列主元高斯消去法求解变换后的方程组，输出解向量x 可得ans = -0.0000 -1.0000 1.0000 1.0000H=det(A)可得H = -762.0000（4）用MATLAB的内部函数inv求出系数矩阵的逆矩阵，再输入命令x=inv(A)*b,即可求出上述各个方程组的解，并与列主元高斯消去法和LU分解法求出的解进行比较，体会选主元的方法具有良好的数值稳定性。用MATLAB的内部函数det求出系数行列式的值，并与（1）、（2）、（3）中输出的系数行列式的值进行比较。 在命令窗口中运行A=3.01,6.03,1.99;1.27,4.16,-1.23;0.987,-4.81,9.34;ni=inv(A)可得ni = 1.0e+003 * -1.0783 2.1571 0.5138 0.4281 -0.8560 -0.2039 0.3344 -0.6688 -0.1592实验要求：（1） 用你熟悉的算法语言编写程序用列主元高斯消去法和LU分解求解上述两个方程组，输出Ax=b中矩阵A及向量b, A=LU分解的L及U，detA及解向量x.（2） 将方程组（1）中系数3.01改为3.00，0.987改为0.990，用列主元高斯消去法求解变换后的方程组，输出列主元行交换次序，解向量x及detA，并与（1）中结果比较。（3） 将方程组（2）中的2.099999改为2.1，5.900001改为5.9，用列主元高斯消去法求解变换后的方程组，输出解向量x及detA，并与（1