2018_2019学年高中数学第二章空间向量与立体几何2.6距离的计算课时作业北师大版.docx

2.6 距离的计算基础达标已知AB，BC，CD为两两垂直的三条线段，且它们的长都为2，则AD的长为()A4B2C3D2解析：选D.法一：取以AB、BC、CD为棱的正方体，易得|AD|2|AB|2|BC|2|CD|2，|AD|2.法二：取基底，则，2()222222212.|AD|2.已知直线l过定点A(2，3，1)，且方向向量为n(0，1，1)，则点P(4，3，2)到l的距离为()A.BC.D解析：选A.(2，0，1)，|，则点P到直线l的距离d .如图，已知平面、平面的夹角为120，AC在内，BD在内，且ACAB，BDAB，ABACBDa，则CD的长是() AaB2aC3aD4a解析：选B.因为，所以|2()()|2|2|22()a2a2a22a2cos 604a2，所以|2a，CD2a.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则直线A1C1到平面ACD1的距离为()A1BC.D解析：选B.建立如图所示的空间直角坐标系，易求得平面ACD1的一个法向量为n(1，1，1)，故所求距离为C1到平面ACD1的距离，d.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1到平面BDC1的距离为()A.aBaC.aDa解析：选D.明显A1C平面AB1D1，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，则面AB1D1的一个法向量为n(1，1，1)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，(0，a，0)，则两平面间的距离为d|a.平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB1，AD2，AA13，BAD90，BAA1DAA160，则AC1的长为_解析：取基底，则，2()2222222122232223cos 60213cos 6023.故|.答案：三棱锥SABC中，SA平面ABC，ABAC，且ASABAC2，D是SA的中点，则点D到BC的距离为_解析：如图所示，建立空间直角坐标系，则D(0，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，(2，0，1)，(2，2，0)，在上的投影长为，故D到BC的距离为 .答案：已知ABCA1B1C1是各条棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，则点C1到平面AB1D的距离为_解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(a，a，0)，B1(a，a)，D(0，a，)，C1(0，a，a)，设平面AB1D的法向量为n(x，y，z)，则，即.，取z2，则y1，x，n(，1，2)，(0，0，)，则点C1到平面AB1D的距离为a.答案：a在如图所示的空间直角坐标系中有长方体ABCDABCD，且ABAD1，BB2，M，N分别是AD，DC的中点，求直线AC与直线MN的距离解：依据长方体的性质可知ACMN，故两直线间的距离为点M到直线AC的距离由题意得(1，1，0)，(0，2)所以点M到直线AC的距离d .如图，在四棱锥SABCD中，ADBC且ADCD，平面CSD平面ABCD，CSDS，CS2AD2，E为BS的中点，CE，AS.求点A到平面BCS的距离解：如图，以S(O)为坐标原点，OD、OC所在直线分别为x轴、y轴，建立空间直角坐标系设A(xA，yA，zA)，因平面COD平面ABCD，ADCD，故AD平面COD，即点A在xOz平面上，因此yA0，zA|1.又x12|23，xA0，解得xA.从而A(，0，1)因ADBC，故BC平面CSD，即平面BCS与平面yOz重合，从而点A到平面BCS的距离为xA.能力提升在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q分别为线段BD1，CC1上的动点，则PQ的最小值为()A.BC.D解析：选D.PQ的最小值即为异面直线CC1，BD1间的距离，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，D1(0，1，1)，C(1，1，0)，C1(1，1，1)，所以(1，1，1)，(0，0，1)，设Q(1，1，z)，z0，1，令(0，1)，则(，)，(1，)，(，1，z)，z，即P(，)，Q(1，1，)，故|PQ|.在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面为直角梯形，ABCD且ADC90，AD1，CD，BC2，AA12，E是CC1的中点，则A1B1到平面ABE的距离是_解析：取DD1的中点F，连接EF、AF，则EFCDAB，A、B、E、F四点共面，又A1B1平面ABEF，A1B1到平面ABE的距离等于A1到平面ABEF的距离法一：在矩形ADD1A1中，AA12，AD1，A1FAF，又平面ADD1A1平面ABEF，A1F平面ABEF，A1F.法二：建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，2)，E(0，1)，F(0，0，1)(1，0，1)，(1，0，1)，(0，0)，又0，0，(1，0，1)为平面ABEF的一个法向量，(0，0，2)，A1到平面ABEF的距离为.答案：如图所示，棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为BB1，C1C的中点，DGDD1，过E，F，G的平面交AA1于点H，求A1D1到平面EFGH的距离解：如图所示，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则由题意可知E(1，1，)，F(0，1，)，G(0，0，)，D1(0，0，1).(1，0，0)，(0，1，)，设平面EFGH的法向量n(x，y，z)，则n0且n0，即令z6，可得n(0，1，6)又(0，1，)，A1D1到平面EFGH的距离为.4已知斜三棱柱ABCA1B1C1，BCA90，ACBC2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA1AC1.(1)求证：AC1平面A1BC；(2)求点C1到平面A1AB的距离解：(1)证明：如图，取AB的中点E，连接DE，则DEBC，因为BCAC，所以DEAC，且A1D平面ABC，以射线DE，DC，DA1分别为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，则A(0，1，0)，C(0，1，0)，B(2，1，0)，设A1(0，0，t)，C1(0，2，t)，其中t0，则(0，3，t)，