2019年高中数学第4章导数及其应用4.5定积分与微积分基本定理讲义（含解析）湘教版.docx

45定积分与微积分基本定理读教材填要点1曲边梯形的面积(1)曲边梯形：位于曲线yf(x)(axb)和x轴之间的图形，叫作函数yf(x)在区间a，b上的“曲边梯形”(2)曲边梯形面积的计算方法：化整为零、以直代曲，即把一个曲边梯形分成多个小曲边梯形，再用矩形代替小曲边梯形2计算变力所做的功的方法化整为零，以直代曲3定积分的概念设f(x)是在区间a，b上有定义的函数，在a，b之间取若干分点ax0x1x2xnb.记小区间xk1，xk为k，其长度xkxk1记作xk，xk中最大的记作d，再在每个小区间k上任取一点代表点zk，作和式：(zk)xk .如果(不论如何取分点xk和代表点zk)当d趋于0时和式以S为极限，就说函数f(x)在a，b上可积，并且说S是f(x)在a，b上的定积分，记作Sf(x)dx.4微积分基本定理如果f(x)是在a，b上有定义的连续函数，F(x)在a，b上可导并且F(x)f(x)，则 f(t)dtF(b)F(a)小问题大思维1求曲边梯形面积时，对曲边梯形进行“以直代曲”，怎样才能尽量减小求得的曲边梯形面积的误差？提示：为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”，而且分割的曲边梯形数目越多，得到的面积的误差越小2求曲边梯形的面积与计算变速直线运动的路程有哪些相同点？提示：(1)求曲边梯形的面积与求变速直线运动的路程的共同本质是“以直代曲”“以不变代变”的思想方法(2)求解的方法步骤相同3由定积分的定义可知，f(x)dx是一个常数还是一个变量？f(x)dx的值与哪些量有关？提示：由定义可得定积分f(x)dx是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即f(x)dxf(t)dtf(u)du.4如图所示，如何用阴影面积S1，S2，S3表示定积分f(x)dx的值？提示： f(x)dxS1S2S3.利用微积分基本定理求定积分 计算下列定积分：(1) (4xx2)dx; (2)(x1)5 dx；(3)(t2)dx; (4)dx.自主解答(1)取F(x)2x2，因为F(x)4xx2，所以 (4xx2)dxF(3)F(1).(2)因为(x1)5，所以(x1)5dxF(2)F(1)(21)6(11)6.(3)取F(x)(t2)x，因为F(x)t2，所以(t2)dxF(2)F(1)2(t2)(t2)t2.(4)f(x)，取F(x)ln xln(x1)ln，则F(x).所以dxdxF(2)F(1)ln .运用微积分基本定理求定积分时的4个注意点(1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和；(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分；(4)注意用“F(x)f(x)”检验积分的对错1计算下列定积分：(1) (3x22x1)dx；(2) dx；(3) (sin xcos x)dx；(4) |1x|dx.解：(1)取F(x)x3x2x，则F(x)3x22x1. (3x22x1)dxF(3)F(1)24.(2)取F(x)x2ln x，则F(x)x.dxF(2)F(1)ln 2.(3)取F(x)cos xsin x，则F(x)sin xcos x.(sin xcos x)dxF()F(0)2.(4)|1x|取F1(x)xx2,0x1，F2(x)x2x,1x2，则F1(x)1x，F2(x)x1.|1x|dxF1(1)F1(0)F2(2)F2(1)1.利用定积分求参数 已知函数f(x)ax2c(a0)，若f(x)dxf(x0)，0x01，求x0的值自主解答因为f(x)ax2c(a0)，取F(x)x3cx，则F(x)ax2c，所以f(x)dx(ax2c)dxF(1)F(0)caxc.解得x0或x0(舍去)即x0.利用定积分求参数时，注意方程思想的应用一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算；其次要注意积分下限不大于积分上限2已知f(x)是一次函数，且f(x)dx5，xf(x)dx，求f(x)的解析式解：设f(x)axb(a0)，取F1(x)ax2bx，F1(x)f(x)则(axb)dxF1(1)F1(0)ab，x(axb)dx(ax2bx)dx，取F2(x)ax3bx2且F2(x)ax2bx，则x(axb)dxF2(1)F2(0)ab，由解得a4，b3，故f(x)4x3.利用定积分求曲边梯形的面积 求由抛物线yx24与直线yx2所围成图形的面积自主解答由得或所以直线yx2与抛物线yx24的交点为(3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S，根据图形可得S (x2)(x24)dx (6xx2)dx，取F(x)6xx2x3，则F(x)6xx2，SF(2)F(3).若将本例中“直线yx2”换为“抛物线y3x2”，如何求解？解：如图所示，设所求图形面积为S，Sdxdx，取F(x)7xx3，则F(x)7x2，SF(2)F(2).利用定积分求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤(1)画出图形(2)确定图形范围，通过方程组求出交点的横坐标，确定积分上限和积分下限(3)确定被积函数及积分变量，确定时可以综合考察下列因素：被积函数的原函数易求；较少的分割区域；积分上限和积分下限比较简单(4)写出平面图形的面积的定积分表达式(5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积3求曲线yex，yex及直线x1所围成的图形的面积解：由图可知，积分区间为0,1，面积Sdx，取F(x)exex，则F(x)exex，SF(1)F(0)e2.定积分在物理中的应用 变速直线运动的物体的速度为v(t)1t2，初始位置为x01，求它在前2秒内所走的路程及2秒末所在的位置自主解答当0t1时，v(t)0，当1t2时，v(t)0.所以前2秒钟内所走的路程Sv(t)dtv(t)dt(1t2)dt(t21)dt取F1(t)tt3，F2(t)t3t，SF1(1)F1(0)F2(2)F2(1)2.2秒末所在的位置：x1x0v(t)dt1(1t2)dt.即它在前2秒内所走的路程为2,2秒末所在位置为x1.1有关路程、位移计算公式路程是位移的绝对值之和，从时刻ta到时刻tb所经过的路程s和位移s1分别为(1)若v(t)0(atb)，则sv(t)dt；s1v(t)dt.(2)若v(t)0(atb)，则sv(t)dt；s1v(t)dt.(3)在区间a，c上，v(t)0，在区间c，b上，v(t)s2 Ds1s2.答案：C4.x4dx_.解析：x4，取F(x)x5，x4dxF(2)F(1)25(1)5.答案：5若(2xk)dx2，则k_.解析：取F(x)x2kx，则F(x)2xk，(2xk)dxF(1)F(0)1k2，k1.答案：16求由曲线xy1及直线xy，y3所围成平面图形的面积解：作出曲线xy1，直线xy，y3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积求交点坐标：由得故A；由得或(舍去)，故B(1,1)；由得故C(3,3)，故所求面积SS1S2dx(3x)dx4ln 3.一、选择题1. dx等于() A2ln 2B2ln 2Cln 2 Dln 2解析：dxln 4ln 2ln 2.答案：D2一物体沿直线运动，其速度v(t)t，这个物体在t0到t1这段时间内所走的路程为()A. B.C. 1 D.解析：曲线v(t)t与直线t0，t1，横轴围成的三角形面积S即为这段时间内物体所走的路程答案：B3.如图所示，阴影部分的面积是()A2B2C. D.解析：S (3x22x)dx，即F(x)3xx3x2，则F(1)31，F(3)9999.SF(1)F(3)9.答案：C4定积分|x22x|dx()A5 B6C7 D8 解析：|x22x|取F1(x)x3x2，F2(x)x3x2，则F1(x)x22x，F2(x)x22x.|x22x|dx (x22x)dx (x22x)dxF1(0)F1(2)F2(2)F2(0)8.答案：D二、填空题5函数yxx2的图象与x轴所围成的封闭图形的面积等于_解析：由xx20，得x0或x1.因此所围成的封闭图形的面积为(xx2)dx.取F(x)x2x3，则F(x)xx2，面积SF(1)F(0).答案：6设函数f(x)(x1)x(x1)，则满足f(x)dx0的实数a_.解析： f(x)dxf(a)0，得a0或1或1，又由积分性质知a0，故a1.答案：17计算(2xex)dx_.解析：取F(x)x2ex，则F(x)2xex，所以(2xex)dxF(2)F(0)5e2.答案：5e28曲线y2x2e2x，直线x1，xe和x轴所围成的区域的面积是_解析：由题意得，所求面积为dx.取F(x)ln xx2e2x，则F(x)2x2e2x，所以dxF(e)F(1)e2e.答案：e2e三、解答题9计算下列定积分(1)dx；(2)dx.解：(1)取F(x)2，则F(x)2x.原式F(4)F(1)(22)2.(2)取F(x)ln(1x2)，则F(x).dxF(1)F(0)ln 2.10已知函数f(x)x3x2x1，求其在点(1,2