2019年高中数学第3章空间向量与立体几何3.7点到平面的距离讲义（含解析）湘教版.docx

37点到平面的距离读教材填要点1点到平面的距离(1)定义：从空间中一点P到平面作垂线PD交平面于D，则线段PD的长度d称为点P到平面的距离(2)求法：平面的法向量n以及平面上任一点A，则在法向量n所在方向上的投影长度d就等于点P到平面的距离，即d.2直线与平面的距离设直线l平行于平面，则l上所有的点到的距离相等，称为l与的距离，显然，只要在l上任取一点P，求出P到的距离，就得到l与的距离3平面与平面的距离设两个平面与平行，则上所有的点到的距离d相等，d称为两个平行平面，之间的距离显然，只要在上任取一点P，求出P到的距离，就得到了这两个平面的距离小问题大思维1求直线与平面的距离、平面与平面的距离时，直线与平面、平面与平面之间有什么关系？提示：直线与平面平行，平面与平面平行2点到平面的距离、直线与平面的距离、平面与平面的距离，三者之间有什么关系？提示：求直线与平面的距离，平面与平面的距离，其实质是求点到平面的距离求点到平面的距离 四棱锥PABCD中，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDDA2，F，E分别为AD，PC的中点(1)求证：DE平面PFB；(2)求点E到平面PFB的距离自主解答(1)证明：以D为原点， 建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,2)，F(1,0,0)，B(2,2,0)，E(0,1,1)(1,0,2)，(1,2,0)，(0,1,1)，平面PFB.又DE平面PFB，DE平面PFB.(2)DE平面PFB，点E到平面PFB的距离等于点D到平面PFB的距离设平面PFB的一个法向量n(x，y，z)，则令x2，得y1，z1.n(2，1,1)，又(1,0,0)，点D到平面PFB的距离d.点E到平面PFB的距离为.利用空间向量求点到平面的距离的四步骤1长方体ABCDA1B1C1D1中，AB4，AD6，AA14，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且|CP|2.求点M到平面AB1P的距离解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(4,0,0)，B1(0,0,4)，P(0,4,0)，M(2,3,4)设n(x，y，z)是平面AB1P的一个法向量，则n，n，(4,0,4)，(4,4,0)，因此可取n(1,1,1)，由于(2，3，4)，所以点M到平面AB1P的距离为d，故M到平面AB1P的距离为.求直线与平面、平面与平面的距离 棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，DGDD1，过E，F，G的平面交AA1于点H，求直线A1D1到平面EFGH的距离自主解答以D点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系则E，F，G，D1(0,0,1)，(1,0,0)，.设平面EFGH的一个法向量为n(x，y，z)，则n0，且n0，即令z6，可得n(0，1,6)又，d.(1)求直线到平面的距离和平面到平面的距离的实质就是求直线上的点到平面的距离(2)用向量法求点到平面的距离的关键是正确建系，准确求得各点及向量的坐标，然后求出平面的法向量，正确运用公式求解2正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离解：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1,0,1)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，(0,1，1)，(1,0，1)，(1,0,0)设平面A1BD的一个法向量为n(x，y，z)，则令z1，得y1，x1，n(1,1,1)点D1到平面A1BD的距离d.平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，平面A1BD与平面B1CD1间的距离为.解题高手 多解题 条条大路通罗马，换一个思路试一试如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，求直线BD与B1C的距离解法一：连接AC，交BD于点O，则O为AC，BD的中点，取CC1的中点M，连接BM交B1C于E，连接OM，AC1，则OMAC1，过E作EFOM交OB于F，则EFAC1，又斜线AC1的射影为AC，BDAC，BDAC1，EFBD.同理AC1B1C，EFB1C.EF为BD与B1C的公垂线M为CC1的中点，MECBEB1，.BMa，BEMBa，EFOM，故BFOBa，EFa.法二：(转化为直线到平面的距离)BD平面B1D1C，B1C平面B1D1C，故BD与B1C的距离就是BD到平面B1D1C的距离为h，由VBB1D1CVD1B1BC，即(a)2ha2a，解得ha.法三：(转化为两平行平面间的距离)易证：平面B1D1C平面A1BD，AC1平面A1BD，用等体积法易证A到平面A1BD的距离为a.同理可知C1到平面B1D1C的距离为a，而AC1a，故两平面间的距离为a.即BD与B1C的距离为a.法四：(垂面法)如图，BD平面B1CD1，B1D1A1C1，B1D1OO1，B1D1平面OO1C1C.平面OO1C1C平面B1D1CO1C，O1B1D1，故O到平面D1B1C的距离为RtO1OC斜边上的高，ha.法五：(极值法)如图，在B1C上取一点M，作MEBC交BC于E，过E作ENBD交BD于N，易知MN为BD与B1C的公垂线时，MN最小设BEx，则CEMEax，ENx，MN ，当xa时，MNmina.1ABC中，ABAC5，BC6，PA平面ABC，PA8，则点P到BC的距离是()A.B2C3D4解析：在平面ABC内作AHBC，垂足为H，连接PH，则PH即为点P到BC的距离PH4.答案：D2ABC中，C90，点P在ABC所在平面外，PC17，点P到AC，BC的距离PEPF13，则点P到平面ABC的距离等于()A7B8C9D10解析：点P在平面ABC内的射影在C的平分线上，易求d7.答案：A3已知夹在两平行平面，内的两条斜线段，AB8 cm，CD12 cm，AB和CD在内的射影的比为35，则，间的距离为()A. cmB. cmC. cmD. cm解析：设，间距离为d，AB，CD在内的射影长分别为3x,5x，由解得d.答案：C4.如图，在三棱锥ABCD中，AC底面BCD，BDDC，BDDC，ACa，ABC30，则C点到平面ABD的距离是_解析：设C到平面ABD的距离为h，则由VCABDVABCD得，SABDhSBCDAC，即BDCDACBDADh，解得ha.答案：a5.如图，等边三角形ABC的边长为4，D为BC中点，沿AD把ADC折叠到ADC处，使二面角BADC为60，则折叠后点A到直线BC的距离为_解析：取BC中点E，连接AE，DE，则AEBC，DEBC，BDAD，CDAD，BDAD，CDAD，BDC即为二面角BADC的平面角，BDC为正三角形，即|AE|为A到BC的距离，RtAEB中，|AE|.答案：6设A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(5，4,8)，求D到平面ABC的距离解：设平面ABC的法向量n(x，y，z)，n0，n0，即令z2，则n(3,2，2)cosn，点D到平面ABC的距离为d|cosn|.一、选择题1三个平面两两垂直，它们的三条交线交于一点O，点P到三个平面的距离之比是123，PO2，则点P到这三个平面的距离分别是()A2,4,6B4,8,12C3,6,9D5,10,15解析：将P点到三个平面的距离k,2k,3k看作是一个长方体的长、宽、高，而PO为其对角线，则PO2k2(2k)2(3k)2，解得k2，P点到这三个面的距离分别是2,4,6.答案：A2正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，设点C到平面ABC1D1的距离为d1，D到平面ACD1的距离为d2，BC到平面ADD1A1的距离为d3，则有()Ad3d1d2Bd1d2d3Cd1d3d2Dd2d1d3解析：易求d1a，d2a，d3a.答案：D3已知直二面角l，点A，ACl ，C为垂足，B，BDl，D为垂足，若AB2，ACBD1，则D到平面ABC的距离等于()A.B.C.D1解析：设点D到平面ABC的距离等于h.依题意得，AC，ACBC，BC，CD.由VDABCVADBC得，SABChSDBCAC，h1，由此解得h，即点D到平面ABC的距离等于.答案：C4.如图，正方体的棱长为1，C，D，M分别为三条棱的中点，A，B是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是()A.B.C.D.解析：设点M到ABCD的距离为h，连接AC，AM，作CFAB，垂足为F，连接CM，则VCABMVMABC，VCABMSABMCM1，又VMABCABCFhh，则由，得h.答案：C二、填空题5BAC在平面内，PA是的斜线，若PABPACBAC60，PAa，则点P到的距离为_解析：作PO于O.由PABPAC，可知AO平分BAC，作OCAC于C，连接PC，则PCAC，PAa，ACa，于是AOa，POa.答案：a6在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离为_解析：如图所示，设A1C1B1D1O1，B1D1A1O1，B1D1AA1，B1D1平面AA1O1，故平面AA1O1平面AB1D1，其交线为AO1，在平面AA1O1内过点A1作A1HAO1于H，则易知A1H的长即是点A1到平面AB1D1的距离在RtA1O1A中，A1O1，AO13，由A1O1A1AA1HAO1，可得A1H.答案：7.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为_解析：连接A1D交AD1于E.则A1DAD1，A1DAB，A1D平面ABC1D1，A1E为A1到平面ABC1D1的距离，A1EA1D，O为A1C1的中点，O到平面ABC1D1的距离等于A1E的，dA1E.答案：8已知平面，且它们之间的距离为d，给出以下命题：若直线a，则a到的距离也为d；若直线b，且b到的距离为d，则b；若平面l1，l2，则l1与l2间的距离的取值范围为d，)；若平面，且与的距离为d1，与的距离为d2，则d1d2d.其中假命题有_(填写序号)解析：a，上任意一点即为内的一点，它到平面的距离就是与间的距离，故命题为真命题；当平面与直线b在平面的两侧时，也可以有b且b与的距离为d，这时b，故命题为假命题；当与相交时，l1与l2间的距离为d，而当与，相交且不垂直时，l1与l2间的距离大于d，由此可知命题是真命题；当平面夹在与之间时，有d1d2d，但当不夹在与之间时，d1d2d，故命题为假命题综上所述，假命题为.答案：三、解答题9正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是C1C，D1A1，AB的中点，求点A到平面EFG的距离解：如图，建立空间直角坐标系D1xyz，则A(2,0,2)，E(0,2,1)，F(1,0,0)，G(2,1,2)，所以(1，2，1)，(2，1,1)， (0，1,0)设n(x，y，z)是平面EFG的法向量，则由n，n，得x2yz0,2xyz0，从而xy，所以可取n(1,1，1)，所以在n上射影的长度为，即点A到平面EFG的距离为.10正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，求平面A