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怎样用换元法证明不等式陆世永我们知道,无论在中学,还是在大学,不等式的证明都是一个难点。人们在证明不等式时创造了许多方法,其中有换元法。下面我们探索怎样用换元法证明不等式。所谓“换元法”就是根据不等式的结构特征,选择适当的变量代换,从而化繁为简,或实现某种转化,以便证题。其换元的实质是转化,关键是构造和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理。一、利用对称性换元,化繁为简例1 设求证:.分析:经过观察,我们发现,把中的两个互换,不等式不变,说明这是一个对称不等式,如果我们令则原不等式可化为:.这是一个较简单而且容易与已知不等式联系的不等式,因而可以按上述换元证明不等式。证明:令,则,.时,有；当时,有(否则中必有两个不为正值,不妨设,则,这与矛盾), 因此,综上所述,恒有,把代入上式得:.例2 设,求证: .分析:类似于例1,我们不难发现,这也是一个对称不等式,因此可考虑令则原不等式可化为2.这是一个简单的不等式,由已知条件可证该不等式,因此我们可按上述换元证明原不等式。证明:令则 ,原不等式可化为:,将代入上式得:,又由已知条件可知,2成立,而上述过程可逆,因此原不等式成立。对于类似于例1与例2的对称不等式，可以结合不等式的具体形式换元，简化不等式的结构，使得不等式容易证明。 二、借助几何图形换元例3 已知是三边的长，求证：.分析:(如图)作的内切圆,设为切点, 令(其中), 则原不等式可转化为: .利用重要不等式:可证该不等式,因此可以通过上述换元证明原不等式。证明:设为切点,令则原不等式可转化为:.又因为,则有 , ，所以(1)式成立,因此原不等式成立。从例3可以看出，在证明不等式时，我们可以根据题意结合几何图形进行分析、换元，从而借助几何图形的性质来证明不等式。三、借助三角函数的性质换元例4 已知:求证: .分析:由于并且不等式中有因此我们联想三角函数的平方关系: .经过对比,发现相当于，相当于，因而可令：.证明:令, 则，可见原不等式成立。例5 若求证: . 分析:由知点在圆的内部或边界上,因此可以考虑变换: .证明:设 , 则.从例4，例5可以看出，证明不等式时，我们可以结合已知条件或不等式的结构与三角函数的性质进行分析，利用三角函数换元，从而借助三角函数的性质来证明不等式。 四、借助均值不等式换元例6 个正数它们的和是1,求证: .分析:就这个不等式而言,我们容易想到均值不等式，但是直接用均值不等式却难以证明这个不等式，因此我们把分子变为两项，可令,（其
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