线性变换、时域法、频域法.ppt

为这条铁路而工作！,小故事,盛夏的一天，一群人正在铁路的路基上工作。这时，一列缓缓开来的火车打断了他们的工作。火车停了下来，一节特制的并且带有空调车厢的窗户被人打开了，一个低沉、友好的声音：“大卫，是你吗?” 大卫这群人的主管回答说： “是我，吉姆，见到你真高兴。”于是，大卫和吉姆铁路的总裁，进行了愉快的交谈。在长达1个多小时的愉快交谈之后，两人热情地握手道别。,大卫下属立刻包围了他，对于他是吉姆铁路总裁的朋友感到非常震惊。大卫解释说，20多年以前他和吉姆是在同一天开始为这条铁路工作的。 其中一个下属半认真半开玩笑地问大卫，为什么他现在仍在骄阳下工作，而吉姆墨菲却成了总裁。大卫非常惆怅地说“23年前我为1小时1.75美元的薪水而工作，而吉姆却是为这条铁路而工作。” 这就是平凡者与卓越者之间差别的根源所在。,积极心态的重要性！,態,= 掌控心的能力,第六讲 回顾,1、从普通函数微积分的概念推广到随 机过程均方微积分 2、用自相关函数刻划随机过程连续、可导和可积的条件 3、微分与积分作为线性变换，来看输出自相关、输入与输出互相关 4、作为平稳随机过程，以上2、3有更进一步的结论,案例1：滤波器设计，如何消除噪声？ 案例2：信道均衡，如何获得h(t)估计？ 案例3：雷达目标估计、石油探测等 案例4：故障检测与故障诊断,回顾线性系统与变换,时域分析与设计方法 频域分析与设计方法,第07讲：,主要内容,线性系统描述及其分类 线性系统基本关系式 随机过程线性变换时域法 随机过程线性变换频域法,一、线性系统描述及分类,1、描述系统 2、描述线性系统 3、分类基于系统末端特性 4、分类基于微分方程 5、分类确定性系统,1、系统 定义,系统定义 为实现某种特性要求而构成的集合 数学观点 系统的输出只不过是系统对输入信号进行一定数学运算的结果 系统可以看作是由输入到输出的数学映射,2、系统 描述,T表示函数x(t)与y(t)之间对应的变换规则,3、基于系统末端特性的分类,假定对两个试验结果 和 有： 当 有,T为确定性变换 T为随机性变换,4、基于描述线性系统的微分方程的分类,系数是随机变量，为随机系统 系数是常系数，为定常线性系统,5、分类确定性系统,线性时不变 非线性时不变 线性时变 非线性时变,二、线性系统基本关系式,1、线性系统 变换规则 2、线性系统 叠加性 3、线性系统 比例性 4、线性系统 时不变性 5、线性系统 数学模型 6、线性系统 频率响应,1、线性系统：变换规则,若x(t)是线性系统的输入信号，则输出y(t)可以表示成 y(t) = L x(t) L表示 x(t)和y(t)之间的相对应的变换规则，这个线性系统就由变换规则L来定义。,2、线性系统 叠加性,对任意的 都成立，则称该系统具有叠加性,若等式,3、线性系统 比例性,若k为任一常数，有下列等式成立 则该系统具有比例性。,4、线性系统 时不变性,若线性系统的输出对输入的依赖关系不随时间的推移而改变，即 则称线性系统为具有时不变性， 例如：常系数线性微分方程所描述的系统。,如无特殊声明，以后提到的线性系统都指线性时不变系统。,5、数学模型,线性时不变系统：常系数线性微分方程：,思考1：为什么nm? 思考2：拉氏变换与 傅里叶变换,运用拉氏变换来解方程式，则有,称它为系统传递函数 它与系统的特性有关,6、系统的频率响应函数,若系统的输入x(t)是平方可积的函数，即 则x(t)可表示为傅立叶积分 。,称为频谱函数,x(t)是 的极限,若L是连续的，当 收敛于x(t)时，,比较两式：,表明了系统输出、输入在频域上的关系,系统的频率响应和冲激响应函数,利用时域卷积定理，有 表明了线性系统的输出是输入和系统冲激响应的卷积。,物理可实现系统，也即 其输出可表述为：,如果h(t)绝对可积，即 则该系统稳定。,频率响应 函数为,三、时域法冲击响应法,随机过程通过线性系统 数字特征自相关函数 数字特征协方差函数,目的是寻找输出自相关、输入自相关和系统函数的关系,1、线性系统的输出响应,冲激响应为h(t)，输入随机过程为X(t)， 则系统输出端的随机过程Y(t)为：,1、线性系统的输出响应,也即：,系统的输出响应 = 系统的输入过程与冲激响应的卷积,2、自相关函数 法,若假定输入、输出过程均为平稳随机过程，且输入过程的相关函数为 则输出过程的自相关函数为,作变量代换，令 ，则有,得到,令z=u-v，并消去u，上式可以改写为,上式中 称为系统权函数的自相关函数。,由此：,可见，输出过程的自相关函数等于输入过程的自相关函数与系统权函数的自相关函数的卷积。,3、协方差函数方法 （一）,输出过程Y(t)的协方差函数为,证明：对于一个广义平稳过程，有,输出随机过程的均值和自相关函数分别为,因此,类似于求 ，令z=u-v，并消去u,上式可以改写为：,4、协方差函数方法2,思考题？,既然微分变换与积分变换都是线性变换，那么借用自相关定理得出的结论是否与前面介绍的定理一致？ 微分变换的输出自相关函数、自协方差函数； 积分变换的输出自相关函数、自协方差函数；,四、频域法,1、输出过程的功率谱密度 2、时域法和频域法总结,1、功率谱密度,对于平稳随机过程，按维纳辛钦定理，输出过程有 和,将 代入式 可得：,令 ，则 有, 是功率增益因子，无相位，功率谱密度是无相位的实函数。 即输出功率谱密度仅与系统传递函数的幅频特性有关，而与其相频特性无关。,直接求解?,两边求傅里叶变换,问题：复杂证明的意义何在？可以简化证明吗？,举例说明,已知输入平稳过程X(t)的自相关函数 ，求通过RC积分电路后，输出随机过程Y(t)在稳态时的相关函数。 解：第一种方法，时域法： 线性系统的冲击响应为,第一项积分,第二项积分,于是可得：,第二种方法：频域法,输入过程得功率谱密度,RC积分电路传递函数：,2、时域法 总结,时域法是求随机过程线性变换后输出随机过程自相关函数的一种基本方法。 优点： 可以用于平稳与非平稳