[工学]第六章_一维应变平面波ppt.ppt

6.1 控制方程,一维应力状态：细长杆中，忽略横向效应，不考虑横向边界条件，仅考虑端部 一维应变状态：横向尺寸足够大，阻碍了任何横向运动，介质内只有轴向应变 的扰动传播，严格说来，不存在横向惯性效应问题，但有侧向法应力 和 起横向约束作用 ，介质处于三向应力状态。,第六章 一维应变平面波,一维平面应变波,有：,（6-1）,第六章 一维应变平面波,设 均匀作用在横截面上，所有非零的应力分量和应变分量都只是X和t的函数.根据对称性，有,(6-2),控制方程,以 为未知函数的一阶偏微分方程组：,或者可以得到以 为未知函数的一阶偏微分方程组：,第六章 一维应变平面波,当以纵向位移 为未知函数，有二阶偏微分方程组：,(6-5),其中， 为一维应变平面纵波波速,第六章 一维应变平面波,6.2 一维应变弹性波,对于各向同性线弹性体，Hooke 定律具有如下的形式：,(6-6),第六章 一维应变平面波,各应变分量定义如下：,当式（6-6）以张量形式表示时，有,(6-7),(6-8),第六章 一维应变平面波,和 是Lame系数：,引入体积应变 及静水压力 （即平均法应力之负值）,(6-9),引入代表畸变的应变偏量 和应力偏量,(6-10),(6-11),(6-12),第六章 一维应变平面波,广义Hooke定律：,由此，一维应变( )条件下的纵向应力应变关系为,容变律部分 畸变律部分,(6-13),为体积模量：,(6-14),(6-15),侧限弹性模量,第六章 一维应变平面波,将式(6-15)代入式(6-5)可知一维应变弹性纵波波速,侧限应力为：,(6-16),(6-17), 同号，三向受压或三向受拉.,一维应变弹性纵波速度比一维应力弹性纵波要快.,第六章 一维应变平面波,在1.1-1.22之间。,一维应变弹性纵波是各向同性、线弹性、无限介质中的平面无旋波。,6.3 一维应变下的弹塑性本构关系 屈服准侧可表示为： 当计及应变硬化性能时，Y是塑性应变 的函数： 也可取作塑性功 的函数 而一维应力下的塑性功为 应力对塑性应变的导数,第六章 一维应变平面波,(6-20),(6-22),(6-23),(6-21),可见 假定总应变 是弹性部分 和塑性部分 之和 且弹性阶段有 塑性阶段，根据式(6-22)(6-23)，应有 由此可知一维应力下塑性变形阶段 曲线的斜率可表示为 称为塑性硬化模量 ， 等于常数时即为线性硬化材料。,(6-24),(6-25),(6-26),(6-27),第六章 一维应变平面波,在三维应力的一般情况下，假定材料各向相同性的，静水压力对屈服没有影响，以及Bauschinger效应可以忽略，则最常用的两个屈服准则有：Mises准则（最大畸变能准则）和Tresca准则（最大切应力准则）,Mises准则：(弹性畸变能 达到临界值时材料开始塑性变形).,(6-28),第七章 一维应变平面波,Tresca准则:(最大切应力达到临界值是材料开始塑性变形)。,(6-29),在一维应变条件下，这两个屈服准则具有相同的形式：,(7-30),理想塑性材料(Y=Y0)屈服轨迹是固定不变的; 2)对于各向同性硬化材料， 则屈服轨迹的上下界将随着塑性变形或塑性功的增加，保持与静水压力线对称并且平行地向外扩大。,Hugoniot弹性极限:一维应变条件下对轴向应力 而言的初始屈服极限 为,(6-31),第七章 一维应变平面波,假定塑性变形对体积变形没有贡献，即 则容变律完全是弹性性质的，再结合 则一维应变条件下的弹塑性应力应变关系可写为：,容变律： 畸变律：,(6-34),(6-33),(6-35),(6-32),加载时的轴向弹塑性应力应变关系,(6-36),1)理想塑性材料， 2)各向同性硬化材料，为确定 ，实际上也是确定畸变律的斜率 ，即 。 由一维应变条件下变形的对称性 ，及塑性变形对体积变形无贡献的假定式（6-32）可知，三个塑性主应变中只有一个是独立的，即：,(6-38),(6-37),当 作为轴向塑性应变 的函数 ，计及应变硬化时，由式(6-35)中的畸变律可知在弹性阶段和塑性阶段分别有： 假定总应变是弹性部分和塑性部分之和，有： 定义畸变律塑性段曲线的斜率之半为塑性剪切刚度 ，则有,(6-40),(6-39),当 作为塑性功 的函数 时,由于一维应变条件下有 因而可得 塑性剪切模量可写作： 各向同性硬化材料在一维应变条件下的轴向应力应变关系的斜率可表示为,(6-41),(6-42),反向弹性加载； 反向屈服；,反向塑性加载；,加卸载轨迹：,6.4一维应变弹塑性波,一维应变条件下的 关系，是以假定弹性变形部分服从Hooke定律为前提的。在此基础上，来讨论一维应变弹塑性波的传播。 在加载阶段，一维应变弹性波波速按式为 塑性波波速为 由于 ，因而由上式可知 ，从而有,理想塑性材料: 1、应力应变关系的塑性段是水平线 ，应力应变之间不再具有一一对应的关系。,2.一维应变情况,可以用应变率无关理论来处理应力波问题;轴向应力 和轴向应变 之间则具有对应的单值函数关系，而且在塑性段呈线性，其斜率取决于k.,2、一般情况下，一维应变塑性波波速 是塑性应变 或塑性功 的函数。对于线性硬化材料和理想塑性材料，塑性波速为常数，分别以 和 表述为： 3、在一维应力下，塑性波速一般比弹性波速小得多，可相差一个量级。而一维应变下的塑性波速则较高，其下限是理想塑性假定下的体波波速 。如果 ，体波波速接近于杆中的弹性纵波波速， 。,(6-47),4.在卸载阶段，初始是弹性卸载，按式(6-44)卸载扰动以无限介质中弹性纵波波速 传播。由于 ，即弹性卸载扰动传播得比塑性加载扰动快，因此和一维应力中情况一样，视情况的不同存在有追赶卸载和迎面卸载等问题。不过，由于 比 大得不多，在追赶卸载过程中塑性加载波的衰减较一维应力波中的要慢。,5.和一维应力波相比，一维应变弹塑性波的一个最具特色的问题是在 尚未卸到零而满足反向塑性屈服条件时(见式7-30)，将传播所谓反向塑性加载波。 在反向塑性加载阶段，既然塑性波速 小于弹性波速 ，即晚传播的反向塑性加载扰动比早传播的弹性卸载扰动传播得慢，因此这两波阵面的距离在传播过程中将愈拉愈远。,7.6 固体高压状态方程,前面所讨论的一维应变弹塑性波，都以材料的弹性变形部分遵循Hooke定律为前提。显然，这只在小应变的条件下成立。在较高压力、较大变形时，弹性模量实际上不再是常数，而是应变或应力的函数。这时，本构方程中的弹性变形部分也是非线性的。 由于在高压下，固体材料抗畸变的能力(即剪切强度)常可近似地忽略不计，因而本构关系中的畸变律部分也就可暂时忽略不计，而只考虑容变律部分。换言之，此时本构关系就简化成了静水压力 和体积应变 或比体积 之间的关系，也称为固体高压状态方程。 相当于把高压下固体材料看成如同无粘性的可压缩流体一样,实际上，固体高压状态方程不仅在固体剪切强度可忽略的高压下，对于固体中冲击波的研究是必需的；而且在固体剪切强度不可忽略的条件下，对于非线性弹塑性波的传播的研究，也是必不可少的。 对体积应变，按工程应变来定义，记作 ，有 式中： 是材料初始化比体积（ ） 相应的体积模量为 这是以Lagrange观点来描述的体积模量，可称为Lagrange体积模量。,(6-48),(6-49),如果体积应变按对数应变（真应变）来定义，记作 ，有： 相应的体积模量为 这是以Euler观点来描述的体积模量，称为Euler体积模量。 显然， 和 之间有如下关系：,(6-50),(6-51),(6-52),一维应变条件下,Bridgman方程 P.W.Bridgman（1949）曾对数十种元素和化合物在高达1GPa10GPa（104bar105bar）的静高压条件下研究了它们的体积压缩随静压力变化的情况。根据试验测定结果，提出了如下经验公式：,(6-54),由式(6-54)可求得体积模量 作为静水压 的函数关系：,(6-55),可见， 随着 的增加而增大，如图所示。 凹曲线的形式反映了固体材料对体积压缩的抗力随压缩变形程度的增大而增大，从而愈来愈难压缩这一物理图像。,由于 约为10-5bar-110-6bar-1量级，式(6-55)表明至少需要0.1GPa1GPa(103bar104bar)量级的压力， 才变化约1%。这说明了为什么通常只在高压下才计及弹性容变律的非线性特则。当 时，把式(6-55)展开为幂级数并忽略高阶小量后可得: 可见 相当于低压时线弹性容变律的体积模量 ，而 是当 近似作为 的线性函数是表征 随 的变化率系数 有时也采用其它函数形式的 关系，利用Bridgman的试验数据进行曲线拟合来确定有关的材料常数。,(6-56),D.C.Pack,W.M.Evans,H.J.Jane(1948)在固体物理理论分析的基础上建议采用如下的 关系： 在一维应变条件下，由于 ，上式化为：,(6-57a),(6-57b),Murnagham方程 如果从Euler体积模量定义式(6-51)出发，并类似于式(6-56)来考察 随 线性变化的情况，即设 式中： 和 均为材料常数，则 关系归结为解常微分方程： 这里 。根据初始条件 可解得：,(6-58),(6-59b),(6-59a),在一维应变条件下则化为： 式(6-59a)在形式上与理想气体的等熵方程相类似。 因此，式(6-59)通常称为Murnagham方程或固体等熵状态方程。式中材料常数 和 常由等熵条件下的波传播实验测试来确定。对于金属， 的典型值为4.,(6-59c),Grneisen方程 Bridgman方程和Murnagham方程分别描述了等温过程和等熵过程的 关系，因而它们都只是特定热力学条件下的固体状态方程，不足以描述当温度T或熵S有变化时的更一般条件下的材料各状态参量间的相互关系。也就是说，一般条件下的固体状态方程不是能由 和 两个状态参量间的关系所能代表的，必须考虑 ， 和其他热力学参量间的关系。 例如，可以采用一系列不同温度下的Bridgman方程（等温p-V曲线），或一系列不同熵值下的Murnagham方程（等熵p-V曲线）来描述。,温度形式的状态方程 熵形式的状态方程 显然， Bridgman方程只不过是曲面与恒温平面的截线，而Murnagham方程只不过是曲面与恒熵平面的截线。这些截线的斜率则分别确定了等温体积模量 和等熵体积模量 。,(6-60),热力学状态量,上两式对于高压下固体中的冲击波研究来说，都是不太适用的。因为结合前面关于冲击波波阵面上质量守恒、动量守恒和能量守恒条件的讨论，这些守恒方程所涉及到的状态参量，在忽略材料畸变的情况下，只包含静水压力 、比体积 和内能 ，而并未直接涉及到温度T或熵S。所以，比较方便的是采用把 、 、 三者联系起来的所谓内能形式的状态方程： 或等价地： 引入如下定义的新参量 ： 称为Grneisen系数。,(6-61),Grneisen系数代表在定容条件下压力对于单位体积内能的变化率，即定容条件下每增加单位体积内能时增加的压力值。 根据热力学第一、第二定律，有： 对于等容过程有 这里 是定容比热容；另一方面，等容条件下还有 因而,(6-63),(6-62),于是; 上式给出了由易于测定的热力学参量 、 和 来确定Grneisen系数的基本关系式。几种元素的 参数可以计算出来。 假定 只是 函数： 对式(6-61)积分后可得 或改写为 Mie- Grneisen状态方程,(6-64),(6-65a),(6-65b),内能两部分组成：与温度无关的冷能 和与温度相关的热能 ；,冷能：0k时的内能；晶格势能（弹性能）；分子（离子，原子）间相互作用能，零点振动能等； 热能：晶格动能，晶格热振动和电子热激活能；,不完全状态方程： 利用 ，不能由热力学基本关系式直接得到其余各状态量，必须辅助其他热力学数据（如比容）。 一般测量材料 ，再理论计算物态方程，半经验半理论方法。,6.7 高压下固体中的冲击波,在固体剪切强度可以忽略的高压下，固体可当作非粘性可压缩流体来处理，只需计及固体高压状态方程与气体状态方程的差别。这种近似处理方法称为流体动力学近似。,6.7.1 冲击突跃条件 Lagrange形式 高压下的固体,按流体动力学近似,可忽略与畸变有关的项。 冲击突跃条件为 Rankine-Hugoniot关系,一维应力下的变形,(6-66),Euler形式 设平面冲击波以空间波速D沿空间坐标x轴方向传播，如图.,固定空间坐标系下的Euler形式的冲击突跃条件,(6-67),1）质量守恒条件，通过波阵面的质量流率守恒，即有：,或,2）动量守恒条件：,则有,3）能量守恒：,如果参考坐标系随冲击波前方的质点一起运动，则冲击波相对于其前方质点的相对空间波速为： 代入式(6-67)，并且 ，那么，运动空间坐标系下Euler形式的R-H关系是,(6-68),冲击波前未压缩；静止状态,五个未知参量：终态 和冲击波波速,对于一定的材料，在给定的初始条件和边界条件下，平面冲击波传播问题是定解的。,在撞击界面有：,6.7.2 冲击绝热线,冲击绝热线（Hugoniot线）： 如果不具体规定边界条件，则对于一定的平衡初态，R-H关系连同状态方程一起给出了它们所包含的五个未知参量中任意两参量间的关系，例如 ， 关系等等。,最常用的有三种：,（1） Hugoniot线,Jones O E，1972,特点：1）冲击突跃过程是一个非平衡的不可逆过程，冲击绝热线实际上只代表对于一定的平衡初态（称为Hugoniot 线的心点）通过冲击突跃所可能达到的平衡终态点的轨迹，而并不表示材料在这一冲击突跃过程中所经历的相继的状态点。,2）冲击波的波速取决于Rayleigh线的斜率，Rayleigh线下的面积恰好代表冲击波波阵面上的内能突跃值。 3）初态和终态为热力学平衡态外，其余均为非平衡态。,4）对于一定的材料，物质波速 将完全由Rayleigh线斜率所定，但空间波速则还同时取决于冲击波波阵面前方的初态密度 。,冲击突跃是不可逆熵增的过程,微分：,Rayleigh斜率上凹,终态B斜率,结论：,Hugoniot线与等熵绝热线以及等温线的关系 沿着 Hugoniot线作 对 的全微分： 正常情况下： 压缩过程中 与 同号，因此上式表明： 如果 ，则有,Hugoniot线AB 在经过初态点A的等熵线的上方，但在经过终态点B的等熵线的下方。 如果 ，则Hugoniot线斜率和等熵线斜率之差进一步增大，结论不变。 Rayleigh线AB与膨胀等熵线BC之间所包围的面积（阴影部分）正代表冲击突跃过程中不可逆的能量耗散，也表明冲击突跃是一个具有不可逆熵增的过程。,冲击压缩过程：,从A到B过程中比内能变化（面积MABN）：,等熵压缩过程中比内能变化（面积MAQN）,冲击压缩过