《量子力学基础》PPT课件.ppt

第六篇 量 子 物 理 (2),第26章 量子力学基础 （8课时）,第26章 量子力学基础,261 德布罗意物质波假设 262 代维逊革末实验 （电子衍射实验） 263 不确定关系 （测不准关系） 264 波函数及其统计意义 265 薛定谔方程 266 势阱中的粒子 267 氢原子的量子力学处理 268 电子自旋 269 多电子原子中电子壳层结构,1924年德布罗意提出，实物粒子（电子、质子、中子、分子、 介子、子弹等）也具有波粒二象性。,261 德布罗意物质波假设,1. 德布罗意假设,（1）质量为 m 速度为 v 的粒子，具有能量 E 动量 P。,（2）上述粒子具有波长 ，频率 ,（3）它们之间的关系是：,2. 德布罗意公式,静止质量为 m 0 的实物粒子，若以速度 v 运动时，与 该粒子缔合在一起的平面单色波的波长为 这种波称为 “德布罗意波”或“物质波” 。,例1. 电子由电场加速，加速电压为V ， 求电子的德布罗意波长。,电子的德布罗意 波长很短,所以，电子的德布罗意波长为：,决定，即：,注意：若 v c 则,解：电子的速度由,262 代维逊革末实验 （电子衍射实验）,回顾 X 射线的布喇格衍射,当 d , 一定时,只有当 满足以上条件时,才能得到 电流强度的极大值。 即：,才能得到 I 的极大值,对应着一定的d , , k 取1,2时,由上式计算出来的V值恰好与实验相符。证实了实物粒子的波粒二象性。, 26 3 不确定关系 （测不准关系）,研究宏观质点运动时，质点的坐标和动量可以同时被测定。,1. 位置和动量的不确定关系式,粒子的坐标和动量不可能同时具有确定值。例：,*沿 y 方向运动的粒子穿过狭缝前 ，若粒子没有波动性， 它穿过狭缝时，仍有 。只要尽可能地将 缩小，就可同时准确地确定粒子在穿过狭缝时的坐标 和动量 。,*事实上，粒子具有波动性，当它穿过狭缝时，会发生衍射现象，粒子运动的方向将发生变化 Px 不可能总是零！,而微观粒子的坐标和动量不能同时被测定 。,*粒子的坐标不确定范围是,*动量在 ox 方向的分量,（单缝衍射一级极小的条件）,ox 轴上，动量的不准确量,*将德布罗意关系式 代入上式得：,*粒子的坐标 X ，动量Px 不可能同时有确定的值。,如果把次级极大包括在内，则有,对三维运动：,海森伯不确定关系 的数学表达式。,意义：在决定粒子坐标越准确的同时（即X 越小）决定 粒子在这坐标方向上动量分量的准确度就越差（ P x 越大），反之亦然。,例2. 对速度为 v=105 m.s-1 的 射线， 若测量速度的精确度为 0.1% 即,求：电子位置的不确定量,解：,例3. 用不确定关系讨论原子中电子的速度,*原子的线度的数量级是 10-10 m ，原子中确定电子位置的不准确量为 x 10-10 m ，,*原子中电子速度的不确定量按不确定关系,*按经典力学算氢原子的电子在轨道上速度的数量级为 10 6 m.s-1,不能用经典理论计算原子核外电子的速度。,估算为：,结论：,动量的不准确量为 P x h/ x .,例4. 试比较电子和质量为10g 的子弹在确定它们位置时 的不确定量 x ，假定它们都在 x 方向以 200m.s-1 的速度运动，速度的测量误差在 0.01% 以内。,解： 据不确定关系：,得,对电子,对子弹,结果分析.,关于h的几句话：,非常小,令：h0,那么：在任何情况下都可有x=0、Px=0,波,粒子,波粒二象性就将从自然界中消失！,让h大一点：,子弹射出枪口的横向速度：,波粒二象性就将统治到宏观世界中！,不大不小,正好！,10,2.能量和时间的不确定关系：,（1）若一体系处于某状态的时间不确定量为t 那么，这个状态 的能量也有不确定范围E 。（可解释光谱线宽度）,（2）原子在某激发状态的时间越长， 该态的能级宽度就越小,（3）E小的能级比较稳定， 基态最稳定。 即：基态的能量 是可以准确被测定的,爱因斯坦的时钟匣子,26 4 波函数及其统计意义,宏观物体,运动状态的描述：,运动规律的描述：,微观物体,运动状态的描述：,运动规律的描述：,1. 波函数的引入,由经典物理知：频率为 、波长为 、沿 X 方向传播的平面余弦波可表示为:,机械波 电磁波,波函数,薛定谔方程,上式可用复数的实部表示为：,但是，对于与自由粒子对应的平面波，还具有微粒性,将德布罗意关系式,得与自由实物粒子对应的平面物质波复数 表式：,这便是描述能量为 E 动量为 P 的自由粒子的德布罗意波,代入 ，,而 或 便称为波函数它既不是 y( 位移)，又不是 E (电矢量)。 波函数是什么？,2. 波函数的物理意义： （统计解释）,光波,波动：衍射图样最亮处，光振动的振幅最大，强度,微粒：衍射图样最亮处，射到此的光子数最多，,物质波,波动：电子波的强度 （ 波函数模的平方）,微粒：,结论：某时刻在空间某地点，粒子出现的几率正比于该时刻、该地点波函数模的平方。,*波函数是什么呢？,与粒子（某时刻、在空间某处）出现的几率成正比。,*物质波是什么呢？,不是机械波不是电磁波而是几率波!,* 对微观粒子，讨论其运动轨道及速度是没有意义的, 波函数所反映的只是微观粒子运动的统计规律。,宏观物体：讨论它的位置在哪里。,微观粒子：研究它在那里出现的几率有多大。,3. 波函数的归一化条件,且粒子在某区域出现的几率又正比于该区域的大小，,几率密度,表示某时刻、在空间某地点附 近单位体积内粒子出现的几率.,必定,这就是波函数的归一化条件,几率密度：,所以某时刻、在（ x,y,z ）附近的体积元 dV 中，出现粒子的几率为：,因 与粒子某时刻、在空间某处出现的几率成正比,4. 波函数的标准条件和归一化条件,单值 : 一定时刻，在空间某点附近，单位体积内， 粒子出现的几率应有一定的量值.,连续、有限。 （保证其平方可积）,归一化。, 265 薛定谔方程,1. 自由粒子 一维 定态 薛定谔方程,即：一维空间自由粒子的振幅方程。,自由粒子：没有外场作用，具有能量 E（恒量）、动量 P（恒量）的自由运动的粒 子， 粒子在某处出现的几率不随 时间 变化。,从物理、数学上看，归纳为：,一个沿 X 轴（一维）运动的自由粒子，具有确定的,动量：,能量：,它的平面波函数是：,振幅函数 也称波函数,将 (x) 对x 取二阶导数：,将 2mE 代入,这就是一维空间、自由粒子的振幅方程，因为 (x) 只是坐标的函数，与时间无关，所以 (x)描述的是粒 子在空间的一种稳定（定态）的分布。,式称为自由粒子一维、定态、薛定谔方程。,2. 粒子一维 定态 薛定谔方程,粒子在势场中作一维运动总能量,所以，,采用拉普拉斯算符,上式可表示为,2. 粒子一维 定态 薛定谔方程,回顾上次课：,1. 自由粒子 一维 定态 薛定谔方程,2. 粒子一维 定态 薛定谔方程,波 函 数,一般定态薛定谔方程的意义:,*质量为 m (不考虑相对论效应),并在势场中运动的一 个 粒子,有一个波函数与它的运动的稳定状态相联系, 这个 波函数满足薛定谔方程。,*这个方程的每一个解 (x,y,z) ,表示粒子运动的某一个稳定状态.与这个解相应的常数E (参数),就是粒子在这个稳定状态的 能量。,*同时说明, 根据题设的 U , 还要算出 (x,y,z) 合理: 单值、连续、有限、归一化。因此，,只有 E 为一些特定的值时，方程才有解，这些 E 值叫本征值，与这些 E 值对应的波函数 (x,y,z) 叫本征函数。,总之，解薛定谔方程，就是求出：,（1）波函数 ,（2）与这些状态对应的能量 E ，从而动量 P 。,表示粒子所处的各个可能稳定状态。,266 势阱中的粒子,1. 对一维 无限深 方势阱 求解薛定谔方程,设质量为 m 的粒子只能在 0xa 的区域 内自由运动,因此 ，在 x 0, x a 的区域中,定态 问题,在 0 x a 的区域中，粒子的定态 薛定谔方程为,求解此薛定谔方程：（1）求 （x） , （2）求 E,（1）先求 E,薛定谔方程改写为,(x)=0,其通解为：,式中 A、B、k 可用边界条件、 归一化条件确定。,边界条件,由（1）可得：,k 只能取一系列不连续的值.,注意：n 0 。 若 n=0, k=0, (x) 0, k 是什么？,k对应着能量！,k 取一系列不连续的值，就是 能量只能取一系列不连续的值。,由（2）可得：,这样的波函数不满足归一化条件!,！,即, 粒子在无限深方势阱中允许的状态的能量值为:,结论： 10 能量是量子化的这是量子力学中解薛定谔方程得到的必然结果，不是（玻尔理论中的）人为的假设。,20 可看出粒子的零点能（即粒子的最低能量状态）。,（ 与 a 有关，居然与 v 无关！）,经典理论中粒子的能量可以为零，量子理论认为势阱中的粒子能量不可能为零。,动能！ （ 因 U = 0 ）,30 相邻两能级的能量差：可以证明,当势阱的宽度 a 小到原子的尺度， E 很大，,当势阱的宽度 a 大到宏观的尺度， E 很小，,可把能量看成连续，量子理论回到了经典理论。,能量的量子化显著。,能量量子化不显著 。,40 对不同的 n , 得粒子的能级图 ,（2）再求(x),薛定谔方程本征解,与一定的 En 对应，得本征函数：,式中的 A 可由归一化条件确定：,查表求得,薛定谔方程 的解：,说明：10 粒子被限制在势阱中，它的状态称为束缚态，描述这些状态的波函数为实数，从物理意义上理解束缚定态方程 的解，是一些驻波。这些驻波图形,形象地表示出处在某个能量状态的粒 子在 0 x a 范围内哪些地方出现粒子的几率最大、最小。,20 束缚定态能级的高低，由驻波的半波数来定，半波数越多，（驻波波长越短），对应粒子的能级越高。,30 第 n 个能级,波函数在总区间内有 n-1个节点 ( 0 、a 除外）. 节点说明此处出现粒子的几率为零.,例：n=8,例5. 在宽度为 a 的一维无限深方势阱中运动的电子,（4）n=1 及 n=2时，几率密度最大的位置（5）处在基态的粒子 在 a/4 3a/4 范围内的几率（6）波函数图形,解（1）,（2）,由边界条件可求得,（4）几率密度：,求（1）系数A（2）基态能量（3）基态德布罗意波长,已知：,（3）,电子的质量,几率密度最大的位置：,由倍角公式，上式为：,若 n=2 可求得,(6)波函数图形:略,（5）处在基态的粒子在 a/4 到 3a/4 范围内的几率,将 n=1 代入此式：,2. 势垒贯穿（隧道效应）,（1）梯形势垒：,薛定谔方程：,O,I,II,其解为：,（EUU0,衰减解）,(EU0,振动解）,电子逸出金属表面的模型,31,（2）隧道效应,（3）扫描隧道显微镜,图象放大：108倍,分辨本领：10-10m,32,动画,碘原子在铂晶体上的吸附,硅表面的硅原子排列,砷化钾表面的砷原子排列,观看原子,石墨晶体表面原子的STM照片,34,量 子 阱,48个Fe原子形成“量子围栏”，围栏中的电子形成驻波.,移动原子,267 氢原子的量子力学处理,1. 氢原子的薛定谔方程,设 则 处：,（ U 是 r 的函数，不随时间变化，所以是定态问题。 不是一维）将一般的定态薛定谔方程改用球坐标表示：,解之，得氢原子中电子的波函数及氢原子的一些量子化特征，介绍如下：,（1）能量量子化：,玻尔理论与量子力学一致 。 (但量子力学无轨道而言),氢原子核外电子在核电荷的势场中运动，,（2）角动量量子化：,微观粒子有动量，此动量对坐标原点（核）就有角动量.,玻尔理论中角动量量子化的表式： ,玻尔理论与量子理论在角动量问题上的异同：,相同之处：电子运动的角动量是量子化的。 不同之处：,L= mvr 对应着轨道,无轨道可言,L与 En 的取值都由主量子数 n 决定,L的取值由角量子数 l 决定， En 的取值主要由主量子数 n 决定，与l 也有关。,玻尔理论,量子理论,n 取值不限,n一定时，,n 个值,（3）角动量的空间量子化（轨道平面取向的量子化）,玻尔和量子理论都认为：氢原子中角动量L在空间的取向不是任意的，只能取一些特定的方向（空间量子化），,轨道磁量子数，决定 L z 的大小。,L,L,L,L,Lz,Lz,动画,L,L,这个特征是以角动量在空间某一特定方向（例如 外磁场 方向）Z 轴上的投影来表示的。,对确定的 , m 有 个值。,例6. 画出 时电子轨道运动空间量子化情形,注意：量子力学中虽没有轨道的概念，但有电子的空间 几率 分布的概念。可以证明，玻尔理论中所谓 n=1时 所对应的r1=0.53A0 ，在数值上等于量子理论中，氢原 子处于基态 E1 时，核外电子出现几率最大的位置。,则,解： n=4 , 可取 0,1,2,3 四个值，,依题意 = 2,2. 氢原子中电子的稳定状态,（1）原子中电子的稳定状态用一组量子数来描述。,10 n主量子数：氢原子能量状态主要取决于 n 。,30 m（轨道）磁量子数：决定角动量空间量子化,n个值,（2）无外场时，电子的状态用 n , l 表示。,n 个值,20 角量子数（副量子数）: 角动量的量子化由 决定,2 +1个值,称为,电子,在无外场时，氢原子内电子的状态有：,例7 . （2612）,证明：氢原子 2P 和 3d 态径向几率密度的最大值分别位于距核 4a 0 和 9a 0 处，2P 和 3d 态波函数径向部分分别为,式中 a 0 为玻尔半径,解：在半径为 r 的单位球壳空间内 2p 电子出现的几率为,令,解出,故 r = 4a0 处为一几率 密度 极大值。,同理可证 r = 9a0 处为另 一几率密度极大值., 268 电子自旋,薛定谔方程解释不了原子光谱的双线结构问题。,1. 斯特恩盖拉赫实验：,一条谱线分裂成两条！,原子的磁矩,电流的磁矩,动画,可以证明,动画,被加热的原子射线在没有外场作用时，应有：,分析：,在非均匀的外磁场中 若所有的原子轨道磁矩 都相同,若每个原子有大小 不同的轨道磁矩， 而此磁矩又不是空间量子化的,若磁矩是空间量子化的（角动量空间量子化）,最奇怪的是：处于 S 态的银原子,而实际上却是,这种磁矩显然不是轨道磁矩，它是什么？,事实正是这样！,说明原子具有磁矩！,应有,原子本身没有轨道磁矩,2. 电子自旋,1925年,乌伦贝克,高斯密特提出电子自旋的半经典假设:,（1）电子是带电小球,除绕原子核旋转有轨道角动量以外，还绕自身的轴旋转有自旋角动量和自旋磁矩。,且自旋角动量的取值是量子化的,自旋量子数,（3）自旋角动量取向量子化，用 在外磁场方向的投影 来表示,ms 共2S+1 个值，实际 2 个值,自旋磁量子数,（2）,动