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第2章 正弦交流电路,2.2 正弦量的相量表示法,2.1 正弦电压与电流,2.6 电路中的谐振,2.7 功率因数的提高,2.5 阻抗的串联与并联,2.4 电阻、电感与电容元件串联的交流电路,2.3 单一参数的交流电路,2.8 三相电路,直流电路在稳定状态下电流、电压的大 小和方向是不随时间变化的，如图所示。,正弦电压和电流是按正弦规律周期性 变化的(统称为正弦量），其波形如图示。,正半周,负半周,电路图上所标的方向是指它们的参考 方向，即代表正半周的方向。,负半周时，由于的参考方向与实际方 向相反，所以为负值。,+,表征正弦量的三要素有,幅值,初相位,频率,2.1 正弦电压与电流,2.1.1 频率与周期,周期T：变化一周所需的时间 （s）,角频率：,（rad/s）,2.1.2 幅值与有效值,有效值：与交流热效应相等的直流定义为交流电的有效值。,幅值：Im、Um、Em,则有,交流,直流,同理：,瞬时值：i、u、e,相位：,注意： 交流电压、电流表测量数据为有效值。,交流设备名牌标注的电压、电流均为有效值。,初相位 ： 表示正弦量在 t =0时的相位角。,反映正弦量变化的进程。,2.1.3 初相位与相位差,如：,若,电压超前电流,两同频率的正弦量之间的初相位之差。,相位差 ：,电流超前电压,电压与电流同相,电流超前电压 ,电压与电流反相, 不同频率的正弦量比较无意义。, 两同频率的正弦量之间的相位差为常数， 与计时的选择起点无关。,注意:,2.2 正弦量的相量表示法,(2)瞬时值表达式,前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。,(1)波形图,.正弦量的表示方法,(3)相量,必须小写,a,A,O,b,r,模,幅角,代数式,三角式,指数式,极坐标式,正弦量的相量表示法就是用复数来表示正弦量。,A = a + jb,= r(cos + jsin ),= rej,= r / ,设复平面有一复数,复数可有几种式子表示:,复数在进行加减运算时应采用代数式， 实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。,复数进行乘除运算时应采用指数式或极 坐标式，模与模相乘除，幅角与幅角相加减。,2.2 正弦量的相量表示法,2.2 正弦量的相量表示法,设正弦量:,相量: 表示正弦量的复数称相量,电压的有效值相量,电压的幅值相量,相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。,注意:,？,只有正弦量才能用相量表示， 非正弦量不能用相量表示。,只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。,按照正弦量的大小和相位关系画出的若干个相量的图形， 称为相量图。,相 量 图,i1,i2,例 1 若 i1 = I1msin(t + i1) i2 = I2msin(t + i2)， 画相量图。,设 i1 = 30 i2 = 65,相量的书写方式, 模用最大值表示 ，则用符号：,相量的两种表示形式,相量图: 把相量表示在复平面的图形, 实际应用中，模多采用有效值，符号：,可不画坐标轴,如：已知,“j”的数学意义和物理意义,设相量,旋转 因子：,正误判断,1.已知：,？,有效值,？,3.已知：,复数,瞬时值,j45,？,最大值,？,？,负号,例: 已知,求：,解:,正弦电量 (瞬时值表达式),所求 正弦量,变换,相量 (复数),相量 结果,反变换,相量运算 (复数运算),正弦电量的运算可按下列步骤进行,例: 已知,有效值 I =16.8 A,求：,解:,2.3.1. 电阻元件的交流电路,设,大小关系：,相位关系 ：,u、i 相位相同,根据欧姆定律:, 频率相同,相位差 ：,2.3 单一参数的交流电路,功率关系,(1) 瞬时功率 p：瞬时电压与瞬时电流的乘积。,小写,结论: （耗能元件）,且随时间变化。,p,瞬时功率p在一个周期内的平均值。,大写,(2) 平均功率(有功功率)P,单位:瓦（W）,注意：通常铭牌数据或测量的功率均指有功功率。,基本关系式：, 频率相同, U =I L, 电压超前电流90,相位差,1. 电压与电流的关系,2.3.2 电感元件的交流电路,设：,或,则:,感抗(), 电感L具有通直阻交的作用,定义：,有效值:,感抗XL是频率f的函数,可得相量式：,电感电路复数形式的欧姆定律,2. 功率关系,(1) 瞬时功率p,(2) 平均功率P,L是非耗能元件,储能,放能,储能,放能, 电感L是储能元件。,结论： 纯电感不消耗能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐)。,可逆的能量 转换过程,用以衡量电感电路中能量交换的规模。 用瞬时功率的最大值来表征。,单位：var（乏）,(3) 无功功率 Q,瞬时功率 ：,(2) 当 f = 5000Hz 时,所以电感元件具有通低频阻高频的特性,(1) 当 f = 50Hz 时,解：,电流与电压的变化率成正比。,基本关系式：,1.电流与电压的关系, 频率相同, I =UC,电流超前电压90,相位差,则：,2.3.3 电容元件的交流电路,设：,或,则:,容抗（）,定义：,有效值,所以电容C具有隔直通交的作用,容抗XC是频率的函数,可得相量式,则：,电容电路中复数形式的欧姆定律,2.功率关系,(1) 瞬时功率p,(2) 平均功率,C是非耗能元件,瞬时功率 ：,充电,放电,充电,放电,所以电容C是储能元件。,结论： 纯电容不消耗能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐)。,同理，无功功率等于瞬时功率达到的最大值。,(3) 无功功率 Q,单位：var（乏）,为了同电感电路的无功功率相比较，这里也设,则：,指出下列各式中哪些是对的，哪些是错的？,在电阻电路中：,在电感电路中：,在电容电路中：,【练习】,单一参数正弦交流电路的分析计算小结,电路 参数,电路图 (参考方向),阻抗,电压、电流关系,瞬时值,有效值,相量图,相量式,功 率,有功功率,无功功率,R,i,u,设,则,u、 i 同相,0,L,C,设,则,则,u领先 i 90,0,0,基本 关系,+,-,i,u,+,-,i,u,+,-,设,u落后 i 90,交流电路， 与参数R、L、C、 间的关系如何？,1. 电流、电压的关系,直流电路两电阻串联时,2.4 RLC串联的交流电路,设：,RLC串联交流电路中,?,设：,则,(1) 瞬时值表达式,根据KVL可得：,1. 电流、电压的关系,2.4 RLC串联的交流电路,(2)相量法,则,总电压与总电流 的相量关系式,1)相量式,令,则,Z 的模表示 u、i 的大小关系，辐角（阻抗角）为 u、i 的相位差。,Z 是一个复数，不是相量，上面不能加点。,阻抗（）,复数形式的 欧姆定律,注意,根据,电路参数与电路性质的关系：,阻抗模：,阻抗角：,2) 相量图,( 0 感性),XL XC,选取参考相量,由电压三角形可得:,电压 三角形,( 0 容性),XL XC,由相量图可求得:,2) 相量图,由阻抗三角形：,电压 三角形,阻抗 三角形,2.功率关系,在每一瞬间,电源提供的功率一部分被耗能元件消耗掉,一部分与储能元件进行能量交换。,(1) 瞬时功率p,设：,(2) 平均功率P （有功功率）,单位: W,总电压,总电流,u 与 i 的夹角,(3) 无功功率Q,单位：var,总电压,总电流,u 与 i 的夹角,根据电压三角形可得：,根据电压三角形可得：,(4) 视在功率 S,电路中总电压与总电流有效值的乘积。,单位：VA,注： SNUN IN 称为发电机、变压器 等供电设备的容量，可用来衡量发电机、变压器可能提供的最大有功功率。,阻抗三角形、电压三角形、功率三角形,将电压三角形的有效值同除I得到阻抗三角形,将电压三角形的有效值同乘I得到功率三角形,例1：,已知:,求:(1)电流的有效值I与瞬时值 i ;(2) 各部分电压的有效值与瞬时值；(3) 作相量图；(4)有功功率P、无功功率Q和视在功率S。,在RLC串联交流电路中，,解：,(1),(2),方法1：,方法1：,通过计算可看出：,而是,(3)相量图,(4)功率,或,(4),或,呈容性,方法2：复数运算,例2：,已知:,在RC串联交流电路中，,解：,输入电压,求输出电压U2，并讨论输入和输出电压之间的大小和相位关系 。,方法2：复数运算,方法3：相量图,1.假设R、L、C 已定，电路性质能否确定？阻性？感性？容性？,2.RLC串联电路的 是否一定小于1？,4.在RLC串联电路中，当LC时，u超前i，当LC时，u滞后i，这样分析对吗？,正误判断,？,？,？,？,在RLC串联电路中，,？,？,？,？,？,？,？,？,？,？,2.5 阻抗的串联与并联,2.5.1 阻抗的串联,分压公式：,通式:,解：,同理：,或利用分压公式：,注意：,相量图,下列各图中给定的电路电压、阻抗是否正确？,思考,2.5.2 阻抗并联,分流公式：,通式:,例2:,解:,同理：,相量图,注意：,或,思考,下列各图中给定的电路电流、阻抗是否正确？,若正弦量用相量 表示，电路参数用复数阻抗（ )表示，则直流电路中介绍的基本定律、定理及各种分析方法在正弦交流电路中都能使用。,相量形式的基尔霍夫定律,相量（复数）形式的欧姆定律,注意,有功功率 P,有功功率P 等于电路中各电阻有功功率之和， 或各支路有功功率之和。,无功功率等于电路中各电感、电容无功功率之 和，或各支路无功功率之和。,无功功率 Q,或,或,一般正弦交流电路的解题步骤,1、根据原电路图画出相量模型图(电路结构不变),2、根据相量模型列出相量方程式或画相量图,3、用相量法或相量图求解,4、将结果变换成要求的形式,例1：,已知电源电压和电路参数，电路结构为串并联。求电流的瞬时值表达式。,一般用相量式计算:,分析题目：,已知:,求:,解：用相量式计算,同理：,例2：,下图电路中已知：I1=10A、UAB =100V，,求：总电压表和总电流表 的读数。,解题方法有两种：,(1) 用相量(复数)计算,(2) 利用相量图分析求解,求：A、V 的读数,已知：I1= 10A、 UAB =100V，,解法1: 用相量计算,所以A读数为 10安,求：A、V 的读数,已知：I1=10A、 UAB =100V，,解法2: 利用相量图分析求解,画相量图如下：,设 为参考相量,由相量图可求得：,I =10 A,求：A、V 的读数,已知：I1=10A、 UAB =100V，,超前,UL= I XL =100V,V =141V,由相量图可求得：,求：A、V 的读数,已知：I1=10A、 UAB =100V，,设 为参考相量,由相量图可求得：,例3：,已知,开关闭合后 u，i 同相。,开关闭合前,求:,解：(2)用相量计算,开关闭合后 u，i 同相，,由实部相等可得,由虚部相等可得,因为,所以,2.6 电路中的谐振,在同时含有L 和C 的交流电路中，如果总电压和总电流同相，称电路处于谐振状态。此时电路与电源之间不再有能量的交换，电路呈电阻性。,研究谐振目的，一方面在生产上充分利用谐振的特点(如在无线电工程、电子测量技术等许多电路中应用)；另一方面又要预防它所产生的危害。,谐振的概念：,在图示电路中，当,即,时，则,即 u 与 i 同相，这时电路中发生串联谐振。,谐振条件,谐振频率,串联谐振电路特征,(1),其值最小。电路呈电阻性。,(3) 电源电压,。,2.6.1 串联谐振,2.6.1 串联谐振,相量图,当,时，UL 和 UC 都高于电源电压 U。因此，,串联谐振又称为电压谐振。如果电压过高时，可能会击穿线 圈和电容的绝缘。在电力系统中应避免发生串联谐振。而在 无线电工程中则用串联谐振以获得较高电压。,品质因数：,串联谐振应用举例,接收机的输入电路,为来自3个不同电台(不同频率) 的电动势信号。,例1：,已知：,解：,若要收听 节目，C 应配多大？,则：,结论：当 C 调到 204 pF 时，可收听到 的节目。,(1),例1：,已知：,信号在电路中产生的电流 有多 大？在 C 上 产生的电压是多少？,(2),这时,解: (1),例2: 电路如图所示，已知R = 3 、XL=4 ，电源电压 u =17sin314t V 。求：(1) 容抗为何值(容抗不等于零)开关 S 闭合前后，电流的有效值不变，其值等于多少？(2) 容抗 为何值，开关S闭合前电流 I 最大，这时的电流是多少？,UL,R,jXC,jXL,+,S,+,+,+,根据题意有,代入已知数据，解得,解: (2),例2: 电路如图所示，已知R = 3 、XL= 4 ，电源电压 u = 17sin314t V 。求：(1) 容抗为何值（容抗不等于零）开 关 S 闭合前后，电流的有效值不变，其值等于多少？(2) 容 抗为何值，开关 S 闭合前电流 I 最大，这时的电流是多少？,UL,R,jXC,jXL,+,S,+,+,+,开关闭合前，在电路发生谐振时，电路中电流最大，阻抗最小，此时,XC=XL= 4 ,2.6.2 并联谐振,1. 谐振条件,实际中线圈的电阻很小，所以在谐振时有,则：,1. 谐振条件,2. 谐振频率,或,可得出：,由：,3. 并联谐振的特征,(1) 阻抗模最大，电路呈电阻性,(当满足 0L R时),(2)恒压源供电时，总电流最小；,恒流源供电时，电路的端电压最大。,(3)支路电流与总电流 的关系,支路电流是总电流的 Q倍,相量图, 电流谐振,品质因数,(3)支路电流与总电流 的关系,例3：,解：(1) 利用相量图求解,相 量 图,由相量图可知：,又：,(2) 用相量法求解,例3：,思考题:,(1)图(a):现要求在接收端消除噪声,问LC并联电路应工作在什么频率下?,(2)图(b):现要求工作信号到达接收端,问LC串联电路应工作在什么频率下?,功率因数低引起的问题,功率因数,1. 电源设备的容量将不能充分利用,2. 增加输电线路和发电机绕组的功率损耗,在 P、U 一定的情况下， cos 越低，I 越大，损耗越大。,下，cos 越低，P 越小，设备得不到充分利用。,P = UI cos ,电压与电流的相位 差角(功率因数角),在电源设备 UN、IN 一定的情况,2.7 功率因数的提高,1,电路功率因数低的原因,感性负载的存在,提高功率因数的方法,并联电容后，电感性负载的工作 状态没变，但电源电压与电路中总电 流的相位差角减小，即提高了电源或 电网的功率因数。,已知感性负载的功率及功率因数 cos 1 ，若要求把电路功率因数提高到 cos ，则应并联电容 C 为,由相量图可得,又因,所以,例 1 有一电感性负载，P = 10 kW，功率因数 cos1 = 0.6，接在电压 U = 220 V电源上，电源频率 f = 50 Hz。(1) 如果将功率因数提高到 cos = 0.95 ，试求与负载并联的电容器的电容值和电容并联前后的线路电流。(2) 如果将功率因数从 0.95 再提高到 1，试问并联电容器的电容值还需增加多少？,解,所需电容值为,电容并联前线路电流为,电容并联后线路电流为,(2)若将功率因数从 0.95 再提高到 1，所需增加的电容值为,(1),三相交流发电机示意图,工作原理：动磁生电,三相绕组示意图,电枢绕组及其电动势,2.8 三相电路,2.8.1 三相电压,2.8.1 三相电压,三相电压是由三相发电机产生的频率相同、幅值相等、相位互差 120 的三相对称正弦电压，若以 uA 为参考正弦量，则,也可用相量表示,uC,以 uA为参考正弦量，则有,对称三相电压的波形图,对称三相电压相量图,120,120,120,2.8.1 三相电压,三相交流电到达正最大值的顺序称为相序。,2.8.1 三相电压,三相电源的星形联结,N,中点 或零点,火线,中性线,两始端间的电压称为 线电压。 其有效值用 UAB、 UBC、 UCA 表示或一般用 Ul 表示。,始端与末 端之间的电 压称为相电压; 其有效值 用 UA 、 UB、 UC 表示或一 般用 UP 表示。,线、相电压之间的关系,2.8.1 三相电压,三相电源的星形联结,N,线、相电压间相量关系式,相量图,同理,则,三相 负载,对称(三个相的复阻抗相等),不对称(由多个单相负载组成),由三相电源供电的负载称为三相负载,三 相 四 线 制,三角 形联 接,星形联结,三相负载采用何种连接方式由负载的额定电压决定。,当负载额定电压等于电源线电压时采用三角形联结；,当负载额定电压等于电源相电压时采用星形联结。,2.8.2 三相电路中负载的联接方式,1. 负载星形联接的三相电路,线电流：流过端线的电流 ，用Il表示。,相电流：流过每相负载的电流,用IP表示。,结论： 负载 Y联 接时，线电 流等于相电 流。,(1) 联接形式,N：电源中性点,N：负载中性点,即,N,uC,+,N,设 为参考正弦量,则有,每相负载中的电流,(2) 星形联接电路的计算,N,N,设 为参考正弦量,则有,每相负载中的电流 的有效值为,各相负载的电压与电流的相位差为,中性线中的电流为,(2) 星形联接电路的计算,uC,+,N,负载不对称电压、电流相量图,A,B,C,N,(2) 星形联接电路的计算,图中，若负载对称，即,或,因为电压对称，负载电流也对称，即,因此,中线电流为零，即,(3) 对称负载Y 联接三相电路的计算,负载对称时,中性线无电流,省掉中性线，成为三相三线制。,N,N,Z,Z,Z,对称负载电压电流相量图,N,uC,+,iA,N,例 1 图中电源电压对称，UP = 220 V；负载为电灯组，在额定电压下其电阻分别为 RA= 5 ，RB= 10 ， RC =20 。电灯额定电压UN = 220 V。求负载相电压、相电流及中线电流。,RA,RB,RC,A,B,C,解 负载不对称有中性线时(其上电压 若忽略不计)，负载的相电压与电 源 的相电压相等。,+,+,+,iA,N,例 2 在上例中，(1)A 相短路时，(2) A 相短路而中线又断开时，试求各相负载的电压。,RA,RB,RC,A,B,C,N,因有中线，B、C 两相未受影响，其上电压仍为 220 V。,解 (1)此时 A 相短路电流很大将A 相中熔断器熔断。,(2)此时负载中点即为 A，因此， 负载各相电压为,在此情况下，B、C 两相都超过了负载 的额定电压 220 V， 这是不允许的。,A,+,+,+,iA,N,例 3 在例 1 中，(1)A 相断开时，(2)A 相断开而中线又断开时，试求各相负载的电压。,RA,RB,RC,A,B,C,N,因有中线，B、 C 两相未受影响，其上电压仍为 220 V。,解(1)此时 A 相断路，电流为 0。,(2)此时电路成为单相电路，B、 C 两相串联接在 380 V 的电源上， 两相电流相等。由于 B 相电 阻为 10 ，故其上电 压约为 127 V，而 C 相电阻为 20 ，故其上电压将 约为 253 V。,在此情况下，B、C 两相的电压均与负载的额 定电压 220 V 不同，将产生什么后果？如何避免此 类情况发生？,想一想,中性线的作用是什么？在什么情况下可以没有中性线？,结论,（1）不对称负载Y联结又未接中性线时，负载相电压不再对称，且负载电阻越大，负载承受的电压越高。 （2） 中性线的作用：保证星形联结三相不对称负载的相电压对称。 （3）照明负载三相不对称，必须采用三相四线制供电方式，且中性线（指干线）内不允许接熔断器或刀闸开关。,iC,A,B,C,iB,iA,iAB,iBC,iCA,+,uAB,+,uBC,+,uCA,(2)负载线、相电流之间的关系,电源线电压 = 负载相电压,(1)负载线、相电压之间的关系,负载三角形联接电路如图示，各 电压电流参考方向已在图中标出。,各相负载相电流有效值分别为,各相负载的电压与电流相位差分别为,2. 三角形联接,2. 三角形联接,iC,A,B,C,iB,iA,iAB,iBC,iCA,+,uAB,+,uBC,+,uCA,(2) 负载线、相电流之间的关系,根据 KCL，负载线、相电流 之间的关系为,若负载对称，即,和,则负载相电流也是对称的，即,不论负载是何种连接方式，总的有功功率必定等于各相 功率之和。当负载对称时，三相总功率为,注意： 是相电压与相电流的相位差角。,当对称负载是星形联结时，,当对称负载是三角形联结时，,由上述关系可得对称负载的三相功率为,注意： 仍是相电压与相电流的相位差角。